Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим ту окрестность точки М, которая однозначно проецируется на каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координат Охух. Эта окрестность содержит одну из частей Я„, которая также будет однозначно проецироваться на три координатные плоскости системы Охух. А это противоречит выбору частей Я„. Таким образом, предположение о несправедливости утверждения леммы ведет к противоречию. Лемма доказана. Перейдем теперь к доказательству теоремы 7.3.
Разобьем Я кусочно-гладкими кривыми на конечное число гладких частей Ян размер каждой из которых меньшие б, указанного в только что доказанной лемме. При этом к числу кривых, разбивающих Я, присоединим и ребра поверхности. Так как часть Я; проецируется однозначно па три координатные плоскости некоторой декартовой системы координат, то в силу инвариантности формулы Стокса (см. п.
3 этого параграфа) и выводов и. 2 этого параграфа, формула Стокса верна для части Я,. Просуммирусм теперь левые и правые части формул Стокса для частей Я,. Очевидно, сумма левых частей этих формул представляет собой ФОРМУЛЛ ОСТРОГРЛДСКОГО двойной интеграл Ц пго1 рдо, а в правой части будет стоять я сумма интегралов у р8д1 по границам Г, частей Ям Ясно, что Г„ интегралы по общим участкам границы частей Е, сократятся, ибо эти участки обходятся в противоположных направлениях (для пояснения можно обратиться к рис. 7.6).
Поэтому указанная выше сумма криволинейных интегралов равна криволинейному интегралу по границе Г поверхности о'. Из наших рассуждений вытекает справедливость формулы О уьго$рсЬ = у'рйд1, 3 Г Рис. 7.6 которая и является формулой Стокса. Теорема 7.3 доказана. й 3. Формула Остроградского = ОРаудг+ б)д дх+ Лдхду, (7.27) 5' называемое формулой Остроградского.
При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компоненпгам границы о', на котпорых выбрана внтинля по огпноитению к 17 сторона. ) Граница 5 называется кусочно-гладкой, если она составлена из конечного числа гладких поверхностей, примыкаюгцих друг к другу по гладким кривым — ребрам поверхности.
Если граница б состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких поверхностей б„то б, называют связными номвовснпгими о, а связную область 1'.- многосвязной. 7* 1. Формулировка основной теоремы. Пусть Ъ' конечная, вообще говоря, многосвязная область в пространстве Охуг с кусочно-гладкой границей Е 7) . Область Ъ' с присоединенной границей будем обозначать через Г Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 7.5. Пусть функции Р(х, у, г), сз(х, у, г) и 33х, у, г) непрерывны в Г и имеют непрерывные частные производные первого порядка в Ъ'. Если существуют несобственные интегралы по области Ъ' от каждой из частных производных функций Р, б,) и В, то справедливо соотношение 196 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 М ы ограничимся доказательством формулы Остроградского лишь для специального класса областей. Отметим, что теорема 7.5 может быть доказана путем обобщения метода, который был использован в з1 этой главы при доказательстве формулы Грина.
2. Доказательство формулы Остроградского для специального класса областей. Односвязную конечную область Ъ' с кусочно-гладкой границей Я будем называть облаегпью Гпи; па К, если каждая прямая, параллельная любой координатной оси, пересекает границу о области 17 не более чем в двух точках. Для области типа К будут использо- Я" Б„" ваны специальные системы исчерпывающих областей )17„).
Опишем построение такого типа систем. Пусть область В на плоскости Оху Я' представляет собой проекцию на эту плоскость области $'. Через граничные ~а О точки области В проведем прямые, паГз У раллельные оси Ог. Каждая из этих прямых пересекается с границей Я области 17 лишь в одной точке. Множество этих точек разделяет я на две части о" и яа Рис.
7.7 (рис. 7.7), которые представляют собой графики непрерывных в В и кусочно-дифференцируемых в 0 функций г7(х, у) И гз(Я', у). Отметим, что г7(х. у) ~( гз(х, у) (равенство имеет место лишь в точках границы области 17). Рассмотрим произвольную последовательность областей 1В„), монотонно исчерпывающих область 17. Пусть ~,', и Я„" графики функций г7(х, д) + е„и гз(х, у) — е„, заданных на В„(число е„выбирается столь малым, чтобы поверхности ~„' и ~а не пересекались) .
Границей области Гп является поверхность, составленная из поверхностей Я„' и о',", и части цилиндрической поверхности, с образующими, параллельными оси Ог. При этом направляющей цилиндрической поверхности служит граница области Т„. Область Г„э.7 строится аналогичным образом, только вместо области У„берется область |)пч 7 и е„т7 выбирается меньше е„. ОЧЕВИДНО, ЧтО Прн Еп — 7 О СИСтЕМа 1Гп) МОНОТОННО ИСЧЕрПЫВаЕт область 17.
Докажем следующее, утверждение. Теорелаа 7.6. Пусть в области Ъ' гамаа К функции Р(х, у, г), сЗ1х, у, г) и Рс1х, у, г) удовлетворяют условиям теоремы 7.5. Тогда длл этой области и длл функций Р, Я и К справедлива формула Остроградского. ФОРЫУЛЛ ОСТРОГРЛДСКОГО о. Очевидно, достаточно у д бе иться в Доказательство. чев справедливости равенств — дхдудв = РдугЬ, 5 У Г (~д'2,~,~ д (7.28) ,Ц ду в — дхдуйг = ййхдд. ся о нотипно, мы провеТак как зти раве авенства доказываются од дем доказательство д. р .. них. ля т етьего из них. Рассмотрим тройной интеграл — г»х оу (Ь.
дй , 2 нк ии — в интЕ- Г и для подынтегральнои ч у ц тся все усьтовия, при которых д гр . але (7729) выполняются все, ых фо м ла повторного интегрир и ования. о »»(х У) сп дй — ЙхпусЬ = пхну — Йе = = л х, ., — п1 — Я 77~Х у в1(х у)+с~) пхну — ВАХ~ у'. Х2(х~ у) еп) дхду д„ (7.29) В (7.30) .ния (7.30) при и, — » оо имеет предел, равЛевая часть соотношения . п н ой неп ерывности функд — и' о г»юВсилуравномерноин р р ный д — х у д» б.
асти Г каждое из сл агаемых в ел равн1 ~й ~ ля перво амкн тон о .т ~~7.30) имоет при п -+ оо пред ., ))д с1 го слагаемого Д'Л(х, у, 2(:,, ', ля ' ' го г (х, у,х,у и для д что "казанных ин- О 27(х, у, 21(х у у )) ах о, . Первый из только чт у вл б " ри выборе внешней стороны поверх ГГ О, ) сХ, сР, торой (с учетом стовляет со ои п и верхности Я интеграл,,:... т . пака «минус») интеграл ящего перед ним знака «.
ГР 198 ФОРмУлы ГРинА, стОксА и ОстРОГРАдскОГО Гл. 7 Итак, правая часть соотношений (7.30) имеет при и — + ж предел., равный 0 Л(х, у, г) ахду. Следовательно, третья из фору мул (7.28) доказана. Доказательство первой и второй из формул (7.28) проводится аналогично (нужно рассмотреть проекции Р' на плоскости Оуг и Охг соответственно и повторить проведенные рассуждения). Теорема доказана.
3. Инвариантная запись формулы Остроградского. Пусть функции Р, ег и Л удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной связной области Р' с кусочно-гладкой границей Я. Определим в Р векторное поле р, координаты которого в данной декартовой системе координат Охуг равны Р, Я, Л. Очевидно, при условиях, наложенных на эти функции, поле р будет непрерывным в Г и дифференцируемым в И. Найдем дивергепци7о поля р. Используя выражение для дивергснции поля р в ортонормированном базисе г, 7', к, получим ИГУР = — + — + —. дР де2 дй де ду дг 3 ам е ч ание. Перейдем к новой декартовой системс координат в пространстве. Пусть г~, 7~, к~ ортонормированный базис, связанный с этой системой, а Р', Я', Л'.--координаты поля р в этом базисе.
Очевидно, функции Р', Ц', Л' непрерывны в Г и дифференцируемы в И (эти функции представляют собой линейные комбинации функций Р, сг, Л). Так как в новой системе координат дР' дс2' дВ' гйур = дх' ду' д-' ' то в силу ипвариантности дивергенции справедливо равенство дР дЯ дй дР' дЯ' дй' дх ду дг дх' ду' дг' Таким образом, если Р, Ц, Л рассматривать как координа- дР д0 дВ ты векторного поля р, то выражение — + — + — нс меняет дх ду дг ни значения, ни формы прн переходе к новой декартовой прямоугольной системе координат, т. е. представляет собой инвариант. Мы можем поэтому сделать следующий важный вывод: интеграл, находящийся в левой часта формулы Ос7проградского (7.27), имеет инвариангпньгй харакгпер его значение и, форма не менл7отсл при переходе к новой декартовой системе координат.
Действительно, при таком преобразовании координат абсолютное знамение якобиана преобразования равно единице. Согласно же замечанию подынтегральное выражение не меняет ни значения, ни формы при таком преобразовании координат. ФОРМУЛЛ ОСТРОГРЛДСКОГО 199 Обратимся теперь к интегралу ЦРдусЬ+ Ядгдх+ Лдхду, (7.31) находящемуся в правой части формулы Остроградского (7.27). Убедимся, что этот интеграл также имеет ипвариаитпый характер его значение и форма подынтегрального выражения не.
меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Используя замечание 2 и. 2 3 3 гл. 5 о форме записи гюверхностного интеграла второго рода и обозначения Х, У, Я для углов, которые образует нормаль п к поверхности с осями координат, можно переписать интеграл (7.31) следующим образом: Ц (Р сов Х + Я сов У + Л сов Я) йт. (7.32) Я Подынтегральное выражение в интеграле (7.32) представляет собой скалярное произведение пр, и поэтому интеграл (7.32) (или, что то же, интеграл (7.31)) может быть записан в следующем инвариантном виде: Ц прдо. я Отметим, что этот последний интеграл обычно называется потоком векторного поля р через поверхность Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
