Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 33
Текст из файла (страница 33)
дх ду дг связанном с системой Охух, а †, †, — координаты вектодх' дх' дх' ра т;, то, очевидно, соотношение (6.63) может быть переписано в следующей форме: иг = тг ягас1 и. (6.64) Используя формулы Гиббса (см. формулы (6.6)) для вектора кгас1 и и формулы (6.64), получим ртас1 и = (т; 8таб и) т' = ист'. Итак, градиент скалярного поля и в криволинейных координатах выражается следующим образом: нгас1 и = и,т' (тн = — '1. (6.65) дх' / На практике часто встречается случай ортогональной криволинейной системы координат.
В предыдущем пункте мы получили (см. и. 3' предыдущего пункта) выражение для векторов т' взаимного базиса для ортогональной системы. Используя эти выражения и формулу (6.65), найдем для йтас1 и в ортогональных координатах следующую форхлулу: 1 ди 1 ди 1 ди йгас1и = —,— т, + —,— т. + —,— тз. (6.66) Нг дх' Нг дхг Нг дхг Наряду с ортогональным базисом т; рассматривают ортопормированный базис е, = тс)Нс.
Легко видеть, что в базисе е, выражение для ради имеет вид 1 ди 1 ди 1 ди бгас1 и = — — е1 + — — ег + — — ез. (6.67) Нг дх,' Нг дхг Нг дх" 2'. Выраогсенсге производгюй скалярного поля и(М) по направлению е в криволинейных коордитсатпах. Пусть е' контра- вариантные координаты единичного вектора е в базисе т,, так что ь е=е ты 172 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гл.
в ди Для производной — мы получили в и. 2 2 2 этой главы следуюде ю огмл: Г ф1 — = е йтас1и де (сы, формулу (6АО)). Подставляя в эту формулу выражение для е в базисе и, и формулу (6.65) для 8гаг1 и, получим — = г,е геКпг~ ) = е иг1гь ) — е гггбь — иге . де Таким образом, производная скалярного поля и по направлению е выражается в криволинейных координатах следующим образом: — = и;е'. (6.68) де 3. Выражение дивергенции, ротора и производной по направлению для векторного поля в криволинейных координатах. Пусть в области П, в которой введены криволинейные координаты, задано дифференцируемое векторное поле р(М).
При этих у(ловиях дивергенция и ротор поля р определены в каждой точке области П, и в каждой точке П по любому направлению е может быть вычислена производная —. Дивердр де гепцию, ротор и производную по направлению в данной точке М мы будем относить к базису г„г' в этой точке. 1'. Выражение дивервенции векторного полл в криволинейньгх координатная. После введения в области П криволинейных координат х~, хэ, хэ векторное поле р будет, очевидно., функцией переменных х, х, .г:: р=р'1к' х', ') Эта функция может рассматриваться как результат суперпозиции функции р(хг у, х) и функций (6.58).
Поэтому для вычисления производных — мы можем применить правило дифферендр дх' цирования сложной функции. Обозначая — через р„получим др дх' (6.69) дх дх' дя дх' д» дх' Так как — = Ах, — = Ауг — = А7ег где А линейный опедр . др др дх ' ди ' дх ратор, определенный равенством Ьр = АЬт+ о(~ЬГ~) (см. п. 3 8 2 этой главы), то из соотношений (6.69) и свойств линейного оператора получим р; = А( — 'х+ — ",у + — 'й) = Атп (6.70) ~а * дх дх *з 3 ВыРлукение ОпеРл11ий В кРиВОлинейных кООРДинлтлх 173 По определению с))кр = с))чА = т'Ат,.
Поэтому, согласно фор- муле [6.70), в криволинейной системе координат дивергенция векторного поля р[М) может быть вычислена по формуле дзир = т'р; (р; = — 'Р). [6.71) Найдем выражение для дивергенции для случая ортогональной криволинейной системы координат. Используя выражение для векторов т' взаимного базиса для ортогональных криволиней- ных координат и формулу [6.71), получим Мур = — р1т1+ — рзтз + — Рзтз (р; = — ). [6.72) у др) Нт Н' Н2 дх' Формула [6.72) записывается также и другим способом. Обозна- чим через Р' координаты поля р в ортонормированпом базисе е, = — ' ') . Тогда после ряда преобразований выражение [6.72) Ей для сйк р примет следующий вид; 1 ~д[Р НгНв) + д1Р НэНь) д1Р Н~Нэ)З С)1ЧР = Н~НэНэ дх~ дх~ дхэ 2'. Выражение распори векторного поля и криволинейных ко- орди11атах.
По определению го1 р = го1 А = [т1Ат,). Поэтому, согласно формуле [6.70), получим го1р = [т'р,) (р, = †). [6.74) Найдем выражение ротора в ортогональной криволинейной си- стеме координат. Используя выражение для векторов т' взаим- ного базиса для ортогональной системы и формулу [6.74), полу- 1 1 1 др ) го1 Р = —,[т1Р1[+ —,[тзрз) + —., [тзрз) 1(Р, = —" [6.76) Н1 Нээ т, В ортонормированном базисе е, = — ' ротор векторного поля р Н, имеет координаты ) [ 1 [д1РэН ) д1Р~Н ) ~[ 1 [д1Р'Н ) д1РэН ) ~ НэНэ 1 дх' дхв ! НзН, 1 дхв дх' 1 ~д(РэН') д[Р'Нд) ~ ) 3'. Выражение для производной векиюрного поля по направ- ле11ию в криволинейных координатах.
Воспользуемся формулой — Р=Ае, [6.46) де ') В оравой части этой Фоомулы суммирование по индексу 1 вв производится. 174 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАИИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гл. б полученной нами в п. 3 3 2 этой главы. Пусть е = е'гь Тогда из формулы 16.46) и свойств линейного оператора получим — си = есАт,. де Так как Ат, = р„где р, = —, то для производной векторного др де' поля р по направлеписо е получим следующее выражение: — = е'р,. 16.77) де 4.
Выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах. Мы определили оператор Лапласа Ьи как повторную операцию с11ийтас1и. Используя выражения 16.67) и 16.73) для градиента и дивергенция в криволинейных ортогональных координатах, мы сюлучим выражение для оператора Лапласа. В рассматриваемом случае векторным полем р., дивергенцию которого нужно вычислить, является поле йгас1и. Подставляя сс6.67) в (6.73), получим ИсЯ Я [дкс ( Ис диз) дкз ( О дтз) дкз ( Из дкз)~ 16.78) 5. Выражение основных операций теории поля в цилиндрической и сферической системах координат. 1'.
Цилиндрссческал система координат. В силу результатов в 1' п. 1 3 3 параметры Ламе для цилиндрических координат имеют вид Н1 — 1, Н2 =р, НЗ =1-. В таком случае из формул 16.67), 16.73), 16.76) и 16.78) вытекают следу ющие равенства: ди 1 ди ди ягас1 и = — ер + — — е„+ — есо др рдр дз 1 д 1дР д!', с1зи р = — — 1рРр) + — — + — ', рдр р дзз дз го1 = ( — — ')е + ( ' — )е + ( — ~' е) — — ')е р др дз дз др р др р др 1 д с' ди1 1 дзи дзи Ьи = — — (р — ) + —,— + —..
, др~, др1 рзд,з дзз' 2'. Сферическая система координат. В этом случае пара- метры Ламе имеют вид Н,=1, Н,=рэ1пВ, На=р. 1 3 ВыРАгкение ОпеРА11ий В кРиВОлинейных кООРДинАРАх 175 Следовательно, ди 1 ди 1ди Ягас1и = — ер+ — е„, + — — еВ, др ряпВ др р дВ н,,р= [р Р,)+ ° + [.1 Вр,), 1д з 1 дР, 1 д рг др ряпВ др ряпВдВ 1 (д(япВР ) дРгй го1р = — )ер+ рв!пВ ], дВ дгг ) 1 дРр 1 д(рР ) "1 с'1 д(рРг) 1 дРс,1 1ряпВ дгг р др / 1р др р дВ / В заключение этой главы приведем сводку формул, связы- вающих операции взятия градиента, дивергенции и ротора с ал- гебраическими операциями: 1'. дгас1(и я о) = йгас1и я ягас1о. 2'.
ягас1(сг о) = иягас1гг+ оягас1и. га,~(и~ оа""г'-иа"" [о Р, и) ~о/ ог 4'. с11о(ряс/) = Жгр ~ ймс/. 5'. с11о(ир) = р йгас1 и + и бсгпгр. 6'. с11г[рсг] = с1го1 р — рго1 сг. 7'. гсй [р ~ с7] = гое р ~ го1 с7. 8'. го1(ир) = иго1р — [рягас1и]. В справедливости этих формул читатель легко убедится са- мостоятельно. Заключительные замечания.
Вэтойглавемыпо- знакомились с основными операциями теории поля. При этом мы не опирались на какие-либо физические представления, по- скольку пашей целью являлось построение математического ап- парата теории. В следующей главе мы получим ряд важных интегральных соотношений, связывающих некоторые операции теории поля. Эти соотношения позволят нам указать физиче- скую интерпретацию понятий и операций, введенных в настоя- щей главе.
ГЛАВА 7 ФОРМЪ"ЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО В этой главе мы получим важные формулы, играющие большую роль в различных приложениях и, в частности, в теории поля. Эти формулы в определенном смысле представляют собой обобщения на ьпюгомерный случай формулы Ньютона — Лейбница для одномерных интегралов. й 1.
Формула Грина ') 1. Формулировка основной теоремы. Пусть Р - конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости Оху с кусочно-гладкой границей Е а) . Область Р с присоединенной границей Ь мы будем обозначать Р. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.1. Пусть функцсси Р(х, у) и Я(х, 11) непрерьсвньс в Р и имесот негсрерывные частнъсе производные первого порядка в Р. Если сусцествуют несобственные исстегральс по обласспи Р от квоссдой 'аз часгссньсх производных функций Р(х, у) и Г)1х, у) з), 'спо справедливо соопсноиление П1-"..--':)" =1 '" " гс Ь называемое форм улой Грина. При этом стоясс4ий в гс1хсвой части (7.1) интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы Ес на которых указано такое направление обхода, при котором область Р остается слева.
') Дж. Грин — английский математик С1793-1841). ) Граница й пазываотся кусочно-гладкой, если она составлена из конечного числа гладких кривых. Если граница Ь состоит из коночного числа замкнутых кусочно-гладких кривых б„то связную область 19 обычно называют многосвязной, а кривые Ь, называют связными компонентами границы. з) Так как частные производные функций Р(х, у) и СС1х, у) существуют лишь в открытой области 1з, то упомянутые интегралы являются несобственными. При дополнительном предположении о непрерывности указанных частных производных в сз упомянутые интегралы переходят в собственные. 177 ФОРМУЛА ГРИНА Мы докажем сначала формулу Грина для специального, но достаточно широкого класса областей. Затем мы установим ряд вспомогательных утверждений, которые понадобятся для доказательства сформулированной теоремы.
2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей. Пусть Р односвязная конечная область с кусочно-гладкой границей 1. Будем считать, что каждая прямая, параллельная любой координатной оси, пересекает границу Ь не более чем в двух точках. Такие области будем называть областями шипа К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
