Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Доказательство формулы Стокса для гладкой по- верхности, однозначно ггроецирующейся на три коорди- натные плоскости. Справедлива следующая теорема. Теорема 7.4. Пусть Я ограниченная, полная, гладкал, двуспи>ронняяс односвязная поверхность с кусочно-гладкой гра- ницей Г. Будем считать, что Я однозначно проецируется сса каждую из координатных плоскостей сиспсемы Охуг. Пусть в некоторой окрестнослпи Я заданы. функции Р, цг и Рц нессрерьсв- гсыс в .этой' окрестности и имеющие в ней ссепрерывгсые част- нъсе производные первого порядка. Тогда справедлива формула Сгпокоэ, (7.11).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства обратимся к фор- ме (7.12) записи формулы Стокса. При этом будем считать, что единичные векторы нормали образуют острые углы с осями ко- ординат. Очевидно, теорема будет доказана, если будут доказаны ра- венства ф"„.с — ОРс„я)С. =~с Сь, Я г г — с,.к — —...х)с =усср, 1гдо дел дх дг 3 г )~(~" в..х — с" с)с = 1вс, Я г Поскольку соотношения (7.13) доказываются однотипно, ос- тановимся на доказательстве первого из них.
Обозначим через 1 интеграл в левой части первого из ра- венств (7.13); Гг Удд дР 1 = г г су — сов У вЂ” — сов Я) дгг. ,г,с ~дг ду По условию гюверхность 5 является гладкой и однозначно проецируется па плоскость Оху. Поэтому Я представляет собой график дифференцируемой функции г = г(х, у). В этом слу- чае с у.четам ориентации единичных нормалей к Б сов У и соз Я могут быть найдены по формулам с-у= ', ...г= (7.15) о* о где р = —, сг = —.
дх' ду ФОРмулА стОксА (7.17) С помощью формул (7.15) соотношение (7.14) может быть переписано следующим образом: у= †ф , †) г~. (7.16) ду д» Так как на поверхности о' значения функции Р(х, д, х) равны Р(х, у, х(х, у)), то, используя правило дифференцирования сложной функции, получим — (Р(х, у, (х: у))] = — + у— д ар и ду ' ' ' ду д» Поэтому соотношение (7.16) примет вид 1 = — — (Р(х, у, х(х, у))] сов Яйт. Пусть Р проекция на плоскость Оху поверхности Я, а Г проекция на эту плоскость границы Г этой поверхности. Очевидно,поверхностный интеграл в правой части (7.17) равен двойному интегралу д — [Р(х, у, г(х, у))] Ихду (см.
замечание 2 п. 2 ГГ а ду 8 3 гл. 5), и поэтому Г = — У вЂ” (Р(х, у, к(х, у))] Мха. (7.18) 31 ау Применяя к интегралу в правой части (7.18) формулу Грина, получим Г / — (Р(х, у, »(х, у))] с1х ду = — Р(х, у, г(х, у)) г1х. (7.19) ./ у Пусть точка М(х, у, г) кривой Г проецируется в точку Х(х, у) кривой Г. Тогда, очевидно, значение функции Р(х, у, г) в точке ЛХ кривой Г совпадает со значением функции Р(х, у, х(х, у)) в точке й» кривой Ь.
Поэтому справедливо равенство фР(х, у, г(х, у)) дх = ~'Р(х, у, х) дх. (7.20) Ь г Очевидно, из соотношений (7.14), (7.18) — (7.20) вытекает первое из равенств (7.13). Доказательство второго н третьего из этих равенств проводится аналогично, только при этом нужно рассматривать проекции о' на плоскости Оух и Охг соответственно.
Теорема доказана. 192 ФОРмУлы ГРинА, стОксА и ОстРОГРАДскОГО Гл. 7 3. Инвариантнаи запись формулы Стокса. Пусть функции Р(к, у, г), с)(а, у, г) и Л(к, у, г) непрерывны и имеют непрерывныс частные производные первого порядка в некоторой окрестности 1л поверхности 5. Определим в 1л векторное поле р, координаты которого в данной декартовой прямоугольной системе координат равны Р, с,), Л. Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р, с), Л, поле р будет непрерывным и дифференцируемым в И.
Найдем ротор этого поля. Используя выражение для го$р в ортонормированном базисе г, 7', й, получим пар= ( — — — )г+ ( — — — )7'+ ( — — — )й. (7.21) Выберем на поверхности Я определенную сторону, т. е. укажем на Я непрерывное поле единичных нормалей и. Обращаясь к выражению (7.21) для го1р и используя стандартное обозначение сов Х, сов У, сов Я для координат единичного вектора нормали и к поверхности Я, получиул пго1 р = ~ — — — ) совХ+ ~ — — — ') сов'г'+ /дй дЯ') /др дй') 1ду д.) ' 'сд.
Ь) ' ' + ( — — — 1 сов Е (7.22) Сдг ду/ Из соотношения (7.22) следует, что интеграл, стояпсий в левой части формулы Стокса (7.12), может быть записан в виде 0 (7.23) я Итак, находящийся в левой части формулы (7.12) интеграл после выбора определенной стороны поверхности можно рассматривать как поверхностный интеграл первого рода (7.23) от функции и го1р, заданной на поверхности Я. Так как скалярное произведение п го1 р и элемент площади слсг поверхности Я не зависят от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, то при ллереходе к новому ортонормированному базису г', д', й' левая часть формулы (7.12) не изменит своего зпаления и формы, т. е.
эта левая часть инвариантна относительно выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве. Обратимся теперь к интегралу у Р с1к + Я с1у + Л сл, (7. 24) Г находящемуся в правой части формулы Стокса. ;)лбедиълся, что этот интеграл такэюе слмеет инвариантны характер его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. ФОРМУЛА СТОКСА Пусть Ф единичный вектор касательной в точках границы Г поверхности Я, направление которого согласовано с направлением обхода на Г; сова, сов!У, совт координаты вектора Ф. Выберем за параметр на Г длину дуги 1, причем на каждой связной компоненте границы возрастание параметра согласовано с направлением обхода на этой компоненте.
При условиях, наложенных на Г, функция с(с) будет кусочно-непрерывной. Так как поле р непрерывно на Г, то его координаты представляют собой на Г непрерывные функции от 1. Заметим, что пошзе выбора направления обхода и параметра на кривой Г криволинейный интеграл второго рода (7.24) преобразуется в криволинейный интеграл первого рода. При этом Р, !ьс и Л вычисляются в точках Г,. а 11т = сов од!, ду = сов 11 Й1, дг = соь у Й1.
Таким образом, фРдх+ Яду+ ЛсЬ =ф(Рсозсг+ Ясозф+ Лсозт) Й1 =фрйд1. г г г (7.25) Соотношения (7.25) показывают, что интеграл (7.24) действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение р$ — инвариант, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. В новой декартовой системе координат Оггсусгс имеем равд! = !Р'созсг'+ Я'созд'+ Л'сов-с') д! = Р'дх'+ Я'ду'+ Л'дг'.
Поэтому Р дх + бьЗ с1у + Л. Йг = Р' дтз + бь!' Йу' + Л' дг'. Отметим, что интеграл ф р$ сц г обычно называется циркуляцией векторного поля р гсо кривой Г. Проведенные рассуждения позволяют придать формуле Стокса (7.11) (или (7.12)) следующую инвариантнусо форму: Цпго!рда = фри Й1. Ь !' 4. Доказательство теоремы 7.3. Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть Я ограниченная, полная, двусторонняя, гладкая поверхность с кус.очно-гладкой границей Г 1) . Сусцествует такое б ) О, что любая связная часть поверхпости Л, размеры которой меньше д ), однозначно прссецируетея на О ) Отметим, что замкнутая поверхность не имеет границы. ) Такая часть поверхности может быть расположена в сфере радиуса 6. 7 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть Н 194 ФОРмУлы ГРинА, стОксА и ОстРОГРАДскОГО Гл.
7 киждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координагп. Доказательство. Убедимся сначала, что некоторая окрестность каждой точки М такой поверхности однозначно проецируется на каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координат. Пусть ээм вектор единичной нормали поверхности в точке М. Выберем декартову систему координат Охсух так, чтобы вектор пм составлял острые углы с осями Ох, Оу и Ох. Тогда, очевидно, в этой системе координат определители уа га Зь Уа х„х уа ха ха Уа отличны от нуля для значений и и о, определяющих точку М, и в силу гладкости Я отличны от нуля в некоторой окрестности точки (и, о) (эти определители пропорциональны координатам единичного вектора нормали к поверхности). Обращаясь к доказательству теоремы 5.1 и к замечанию к этой теореме (см.
п. 2 1 гл. 5), мы убедимся, что некоторая окрестность точки однозначно проецируется на каждую из координатных плоскостей выбранной системы координат Охух. Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда для каждого б = 1/7И и = 1, 2, ..., можно указать часть Я„поверхности Я, размеры которой меньше а и которая не проецируется однозначно иа три координатные плоскости любой декартовой системы координат. Выберем в каждой части Яа точку Мп, затем из последовательности (М„) выберем подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке М поверхности Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
