Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Обращаясь к инвариантной форме записи интеграла (7.31), мы видим, что в новой системе декартовых координат этот интеграл имеет вид ЦР'ду'сЫ+ Ц'сЬ'дх'+ Л'дх'ду'. Я Проведенные в этом пункте рассуждения позволяют записать формулу Остроградского (7.27) в следующем инвариантном виде; тс11 рс1и = Ппрд . (7.33) г' я В этой форме через ди обозначен элемент объема области Р'.
Из теоремы 7.6 и выводов этого пункта мы можем извлечь важное следствие. Следствие. Пусть функции Р(х, у, г), Я(х, у, г) и Л(х, у, г) удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной области Ъ с кусочно-гладкой границей Я. Если область И может быть разбита на конечное число областей Уг с кусочно-гладкими границами Яг и при этом каждая из 1ь представляет собой область пиано, К по отнотиенаю к некоторой декартовой системе координат, то для области Г и функций Р, с, и Л справедлива формула Остроградского. 200 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений.
Ясно, что формула Остроградского справедлива для каждой из областей )/ь. Это следует из инвариантного характера формулы и из теоремы 7.6 (в некоторой системе координат Ъь будет областью типа Л). Далее очевидно, что сумма интегралов — + — + — 1 йхйуйз из левых частей формул // ~дх ду дг/ 12 Остроградского для областей )/ь представляет собой интеграл | ~ — + — + — 1 йхйусЬ. Сумма же поверхностных ин./,| ~дх ду д / тегралов ОРйуйг + с7йгйх + ййхйу в правых частях форне мул Остроградского по границам оь областей )/ь даст интеграл Д Рйуйг+ ц) йгйх+ Пйхйу, ибо интегралы по общим участкам границы областей 1/ь сократятся эти участки в соседних областях 1 ь ориентированы противоположным образом.
й 4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроградского 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Пусть Р конечная плоская связная область с кусочно-гладкой границей 7. Справедливо следующее утверждение. Площадь о области Р может быть вычислена по формуле (7. 34) о = — у хйу — уйх, 2/ ь в которой криволинейный интеграл представляет собои сумму интегралов по связным компонентам границы ь, причем на каждой из этих компонент указано такое направление обхода, пра котором область Р остпается слева. Для доказательства утверждения рассмотрим в Р функции Р(х, у) = -у, Я(х: у) =:- Очевидно, эти функции удовлетворяют в .Р всем условиям, при которых справедлива формула Грина (7.1).
По этой формуле имеем *г 4 НРилОжиния ФОРмУл ГРинА, стОксА и ОстРОГРАдскОГО 201 Двойной интеграл в последней формуле равен 2о, а криволинейный интеграл равен ~ хду — удх. Таким образом, формула (7.34) доказана. 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. Пусть 1г конечная связная область в пространстве с кусочно- гладкой границей Я. Справедливо следующее утверждение. Обеем и области $' может быть вычислен по формуле и = — 1 1 хс1ус1г+ ус1гс1х+ гс1хс1у, (7.35) 3,// в которой поверхноспгньсй интеграл представляет собой сум- му интегралов пв связным компонентам гринпцьс Я, причем на каждой из этих компонент выбрана внешняя по отношению к $' сторона. Для доказательства утверждения рассмотрим в Ъ функции Р(х, у, г) = х, Я(х, у, г) = у, Рс(х, у., г) = г.
Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям, при кото- рых справедлива формула Остроградского. По этой формуле имеем Г УР") + 0'У) + б" ) д*ду д = х дуй + удгд+ дх ду. ~~(, Я Тройной интеграл в последней формуле равен Зо. Поэтому из последней формулы вытекает соотношение (7.35). Утверждение доказано. 3.
Условия, при которых дифференциальная форма Р(х, у) с1х + С 1(х, у) сну представляет собой полный диф- ференциал. В этом пункте мы укажем ряд условий, при выпол- нении которых дифференциальная форма Р(х, у) ссх+ С,)сх, у) ду, заданная в связной области Р представляет собой полный диф- ференциал некоторой функции и(х, у). Докажем следующую теорему. Теорема 7.7. Пусть функции Р(х, у) и б11х, у) непрерыв- ны в области Р. Тогда следующие три условия эквивалентпньь 1. Для любой замкнутой (возможно самопересекающейся) кусочно-гладкой крссвой 1, расположенной в Р, 7" Рдх+ Яду = О. ь 2.
Для любых двух точек А и В области Р значение интег- рала )' Рдх+ ас1у 202 ФОРМУЛЫ ГРИНЛ, СТОКСЛ И ОСТРОГРЛДСКОГО не зависит от кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей точки А и В и располозюенной в Ю. 3. Дифференциальн я форма Р(х, у) ах+юг(х, у) с1у представляет собой полный дифференциал. Иными словалси, в В задана псакая функция сл(М) = сл(х, у), что ди = Рдх+ с,лду.
(7. 36) В этом случае для любых точек А и В из областпи 0 и для произвольной кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей зти точки и расположенной в Р, /' Рдх+ сЗду = и,(В) — и(А). (7.37) лв Таким образом, выполнение каждого ссз условий 1, 2, 3 необходимо и достагпочно для выполнения, каждого из двух осгпольньсх.
Доказательство. Проведем доказательство по схеме; т. е. докажем, что из первого условия следует второе, из второго — — третье, из третьего — первое. Очевидно, что при этом будет доказана эквивалентность условий 1, 2, 3. В Первый шаг: 1 — с 2. Пусть А и В произвольные фиксированные точки области В, АСВ и АС' — любые две кусочно-гладкие кривыс, соединяющие указанные точки и А расположенные в 0 (рис. 7.8). Обьединение этих кривых представляет собой кусочно-гладРис.
7.8 кую (возможно самоперссекающуюся) замкнутую кривую В = АСВ + ВС'Ас расположенную в О. Так как условие 1 предполагается выполненным, то фРдх+ Цду = О. Ь Из этого равенства, учитывая, что В = АСВ + ВС'А и что при изменении направления обхода криволинейный интеграл меняет знак, получим соотношение Рдх+ Оду = ( Рдх+ Яду. лсв лпв Следовательно, условие 2 выполняется. *з 4 НРилОжиния ФОРмУл ГРинл, стОкса и ОстроградскОГО 203 Второй шаг: 2 — > 3.
Пусть Ме фиксированная точка, а М1х, .у) произвольная точка области Р, МеМ любая кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки Ме и М и расположенная в Р. В силу условия 2 выражение "(М) = ) Р 1 + ЬЬ (7.38) Меч не зависит от кривой МеМ и поэтому представляет собой функцию, заданную в Р. Докажем, что в каждой точке М области Р существуют частные производные дн дв 94 — и — ,причем дх др М вЂ”" = Р(х., у), — ' = Я(х, 9). (7.39) Так как Р(х,, у) и фх, у) непрерывны в Ме Р, то из последних соотношений следует дифференцируемость функции и и равенство (7.36). Тем самым будет доказан второй шаг 2 -+ 3.
Рис. 7.9 Доказательство существования частных производных функции и(х, 9) и равенств (7.39) проводится одновременно. Дока- дв жем, например, существование — и первое из равенств (7.39). дх Фиксируем точку М(х, у). Придадим аргументу х настолько малое приращение Ьх, чтобы отрезок МЖ, соединяющий точки М(х, у) и Х(х+ Ьх, у), располагался в Р 1) (рис. 7.9). Имеем Ьи = и(х + Ьх, д) — и(х, у) = Рйх+ Ясйд — ) РГ1х+ схс19 = / Рс1х+ схс1у. Л7Л Мемн йво М На отрезке МХ величина у имеет постоянное значение, и поэтому ) Я ду = О. Следовательно, х-~-Ьх гхи = ) Рс1х = ) Р(1, у)а.
МХ х Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим схп = Р(х+ Охах, у)Ьх, О < О < 1, ы ) Так как 1З вЂ” область, т. е. множество, состоящее лишь из внутренних точек, то такой выбор Ьх возможен. 204 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСЛ И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 откуда — = Р(х+ ОЬх, у), О < 0 < 1. Ьх В силу непрерывности Р(х, у), правая часть последнего равенства имеет предел при 7лх — э О, равный значению этой функции в точке М(х, 9). Следовательно, и левая часть имеет тот же ди предел, равный по определению частной производной —. Таким дх образом, существование частной производной и справед,тивость первого равенства (7.39) докгсзана. Существование частной проди изводной — и справедливость второго равенства (7.39) доказыду вается аналогично.
Докажем теперь соотношение (7.37). Пусть А и  — любые точки из Р, АВ.— произвольная кусочно-гладкая кривая, соединяющая эти точки и расположенная в Р. Эта кривая определяется параметрическими уравнениями х = х(г), у = у(г), а < 1 < 6. Используя правило вычисления криволинейных интегралов, .получим / Р сКх + Я с1у = ) (Р(х(1), у(Х))х'(б) + С~(хЯ, 9Я)9'Я)й, = АВ Ь = )'и~с14 = и(х(6), у(6)) — и(х(а), 9(а)) = и(В) — и(А). а Таким образом, формула (7.37) доказана. Третий шаг: 3 — ь 1. Это утверждение следует из формулы (7.37). В самом деле, для замкнутой кривой 7 начальная точка совпадает с конечной, и поэтому по формуле (7.37) имеем у Р ЬЬ + Я ду = и(А) — и(А) = О.
ь Теорема доказана. Замечание. Мы отмечали, что условия 1, 2, 3 теоремы 7.7 равносильны, и поэтому, в частности, условие 3 представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл ) Рдх + Яду нс зависит от выбора ь кривой б, соединяющей любые данные точки А и В области Р. Для одпосвязпых областей ~) мы укажем удобное для приложений необходимое и достаточное условие того, чтобы диффе- ') Напомним, что область В называется односвязной, если любая кусочно-гладкая, несамопересека|ощаяся замкнутая кривая, расположенная в ТЗ, ограничивает область, все точки которой приналлежат Р. 1 4 НРилОжиния ФОРмУл ГРинА, стОксА и ОстРОГРАдскОГО 203 ренциальная форма Р дх+ Ц ду была полным дифференциалом некоторой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
