Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 43
Текст из файла (страница 43)
П р и и е р 2. Дифференциальная 1-форма имеет вид аг(х, г)х) = ~ыь(х) с(х . 2=1 В частности, когда и = 1, и(х, г)х) = 7" (х) р(х. Дифференциаггьную форму степени 1 называют также линейной дифференциальной формой. П р и м е р 3. Дифференциальная 2-форма имеет вид ы(х, Ах, р)гх) = ~ ы,г г)х' Л г)хь. <1 219 ДОПОЛНЕНИЕ 2. Внешний дифференциал. Определение. Внешним дифференциалом р-линейной даф- феРенЦиальной формы 1о Е йр(С) брдем называть фоРмУ д11 б йрь1(С), определяемую соораношением д1о = ~~1 да1ч,, Л дхн Л... Л дх'Р, 1 р 1« р где дх' Таким образом, если „..., д'" Л...Лдх'", 1 р 1«''' то да1=~ ~ '" йх Лдхн Л...Лдх*'. 1:=1,«... „ П р и м е р 1. Дифференциал формы степени нуль (т.
е. функции 1'1х)) имеет вид Фх) =~ дУ „,дх П р и м е р 2. Вычислим дифференциал от линейной формы а1 = а1(х, дх) = ~ ш, (х) дх . =1 Получим а1ш = д1о(х, д1х, Йгх) = ~ ~ Йх Л йх . дол 1х) „ 1, 1 дх" Так как дхь Л дх' = -дх' Л дх~ и дх~ Л дх~ = О, то сЬ = ~ ' дх" Л дх' -У ~ "* Мхе Л дх' = г< дан 1., " доге = 2' —,* дх ' Л дх' — ~ ~— дх Л дх* = дх дх* =~ ( * — ь)д*гдд*'.
В частности, когда п = 2, получим для ш = Рдхг + ьгахг /дО дРЛ да1=~ — — — )дх Лдх. дх ду 3. Свойства внешнего дифференциала. Непосредственно из определения вытекают следующие свойства: Ц если 1о1 б йр(С), 1ог б йр(С), то д(ю1+ арг) = д1о1 + Ж 11; 2) если а1 б йр(С) и Л вЂ” веЩественное число, то д(Л1о) = Лд 1; 3) если ш1 Е йр(С), 1ог 6 й (С), то д(1о1 Л а11) = Й 11 Л шг + ( — 1) "1о1 Л д 11. 220 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ, 7 Докажем свойство 3). Пусть ю = ~ ~ич „,„г1хп Л... Л г7х'Р. 1«...
р Введем следующее обозначение: д дшп Тогда р)ор можно записать в виде до = ~ ~Их Л вЂ”. дш дх Вспомним,что ш = шр Л шг = ( — 1)Р'юг Л шь Далее дш дшр дш2 дш1 р„дшг Лшг-Ршр Л = Люг -~-( — 1)ео Лшр дхь дх" дхь дхг д.ь Тогда дх' „ , дх' +( — Цр'~ ~дх" Л вЂ” Лшг = дгог Лшг+( — 1)р'р1арг Лорм дх' Поскольку г1ш есть (г7 -Р 1)-форма, то г(орг Лагг = ( — 1) ~ шг Л Вша. Отсюда 71ш = Ж ~1 Л шг + ( — 1)ршр Л ггшг.
Справедливо следующее валеное свойство дифференциала. Основное свойсшво внешнего даффвргнциала; с~(г7 ~) = О. До к аз а тельство. Предположим вначале, что ш есть форма степени О, т. е. ш(х) = ((х). Тогда дЩ) = д ~ — д** = ~ ~ „д ' Л д**. дф Р даф , дх' „,, дх"дх' Так как 4х~ Л р1х' = — дх' Л г1х~, зто равенство можно переписать в виде <г откуда следует, что 4(г(7") = О. Пусть теперь мч,, дх" Л...
Л г1х". 1 . р г«". р Тогда дю = ~ ~ Й „,„Л р)хп Л... Л г7х'Р. г=л и«.. , Заметим, что каждый член суммы представляет собой внешнее произведение дифференциалов форм степени О, именно, форм шн,, (х), еп (4х), ... ..., е'р (р(х). Остается применить свойство 3) и воспользоваться том, что для формы степени О основное свойство доказано. 221 ДОПОЛНЕНИЕ й 3. Дифференцируемые отображения ч'( ) = ~ <оч...,„1ртр" 1дхч) Л... Л р" ~дхю), <«. е *(дх ) ~-- ду д,ъ деъ П р и м е р 1.
Пусть а> — форма степени О, т. е. о> = )<х). Тогда р*(У) = 11 р(е)). П р и м е р 2. Пусть <р отображает и-мерную область Р С Е" в и->серную область С С Е", и пусть щ — <ледующая и-форма: а>=дх Лдх Л...Лдх". Тогда —...— де 'л...лбе "= д," др" ъ => дс " ' д1>- д ' д ... Л М" ~ ~(вйпо) де <>> д1 <"> ъ> => =<у Л...Лдс" <)е< 1 де> ) Таким образом, Р 1 2 ") <р"'<дх Лдх Л...Лдх") = ' ' ' дс Л<И Л., ЛЖ". Рй> 1>.... 1 ) Замечание.
Форму р" 1щ) называют дифференциальной формой, получающейся из формы а> при помощи замены переменных р. 1. Определение дифференцируемых отображений. Рассмотрим произвольную т-ъ<ерную область Р евклидова пространства Е и и-мерную область С С Е". "Гочки области Р буде>< обозначать символами Е = = 1<~, Е~, ..., Е"'), а точки области С сиъ<волами х = 1х~, хз, ..., х"). Будем говорить, что р отображает Р в С, если ч>=1у р з> ) где з>" й) определены в области Р, а векторы х с координатами х" = р~й) лежат в области С. Определим отображение р", которое переводит йр<С) в йр<Р) для любого р, О ( р ( и.
При этом мы будем считать, что каждая компонента р~ й) отображения с> является бесконечно дифференцируемой. Определение. Пусть р — отображение Р С Е в С С Е". Обозначим через <р' оп<обрахсение, которое длл всех О < р < и действуе<а из По<С) в йр<Р) по следующему правилу: если щч,„дхч Л...Лдх', <«... е 222 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ, 7 2. Свойства отображения у*. Справедливы следуюшие свойства отображения гг*: 1.
Если шг б Пр(С), агг б Йг(С), то р*(, Л,) = р*(,) Л д*( г). Доказательство. Пусть шг = ~ ач,,(х)Й.,ч Л... Лдх ', ~«.. м агг = ~ ~Ьь,, гч(х)дх ' Л., Л йх '. ь,«...а, Тогда ш1 Л агг = ~ ~ ап „,г (х)Ьео..е, (х) х ,«.. „М«. ь„ к дхп Л... Л дх" Л дх" ' Л...
Л дх'" и, следовательно, р*( Л ) = Е Е а*(р(6))Ьа(р(Ь)) р*(дхп) Л... Л р'(дх" ) = а,(р)гг (дхп) Л... Л р" (дх'") Л ~) Ьг(р)р*(г1х"') Л,. Л р" (~Хх"')~ = = аг (агг) Л р (агг). 2. Если ш б Пр(С), то р (д 4) = др*( 4. Доказательство. Докажем вначале это равенство для р = О, т. е. для аг = 7" (х). Получим = ~ — дх', р (' ') = г'(р(Ь))., ду , дх' др*( ) = ~~~. —.„.((~(ь))дь" = Х.~~. — — „дс" = Х. —,р" (д**) = р*(д ).
д ь Н дгг ь Н «, * д*' дг", дх' Для произвольного р проведем доказательство по индукции. Пусть аг = ,, (х)гЬхч Л... Л Нх*". Тогда Наг = д(п,,„Л дхп Л... Л да*'. По свой- ству 1 и только что доказанному соотношению аг'(даг) =:р (г(7) Л гг (дхч) Л... Л р*(бх"). С другой стороны, гЬР (га) = гЬд* ((Гах ~ Л... Л ахт ') Л 77х «) = = д'(р*((дхц Л,, Л дх* -') Л р" (дх* )) Далее в силу свойства 3 внешнего дифференциала с(р*(аг) = г1р*()г1хп Л... Л г(х" ') Л гг (гЬх'") + Ф ( — Ц" 'р*(Удхч Л...
Л йх'"-') Л ар (йх'"). Заметим, что р (ах г) = ар (х г) в силу только что доказанного, а тогда по основному свойству внешнего дифференциала ар (ах г) = О. 223 ДОПОЛНЕНИЕ По предположению индукции, справедливому для р — 1, г!уг "()йхп Л... Л г1хр ') = уг (г(г" Л г!х" Л... Л дх" '). В результате получим Йу*(ю) = р "(4 Л г1х" Л... Л г1х"-г) Л гр*(г)х"), а по свойству 1 де *( ) = р" (д( Л дх" Л... Л дхю). Следующее важное свойство нагывагот гврныигвиеггостыо.
3. Рассмотрим открытые области бг С Е, И С Е"', И» С Е", точки которых соответственно и = (и, и", ..., и ), и = (ь, е, ..., е ), ю = = (ю', ю~, ..., ю'). Пусть уг отображает бг — г 1', а ю отобралгает )Р— г И'. Через й ° гр обозначим отображение, называемое композицией, которое действуот по правилу (г)» ггг)(и) = йг(ггг(и)). Аналогично введем композицию Зг*. г(г*, которая для любого р переводит Йр(И') в Йр(Г), т. о. М й Н») = ~р (ггг ( )) Справедливо следующее равенство: (й ° У)* = !Р* 1е*. Доказательство. Обозначим д = й ° уг. Это означает, что д = = (д', д', ..., д"), где д = "г»ь(т ггг гг' ).
Проведем сначала доказательство для линейной формы ггю~ С ггг (И ). Получим д (Йгв ) = »1д (ю ) = »1д~(и) = ~ г!и' = ~ ~ ~г)и'. , ди' ...диг ди' Далее Ы* й")(г) ') =! 'У'(д ")) = 'р*Ю*( ')) = Ю*(дйь) = ду1ь 'г ' дйь = р* (~ дгп д ') = ~ д, ~ *(дир). »=г Но гр (ггиг) = г1уг*(ег) = ~ ~—,гги, дгггг , диг н тогда ь д"тг' дггг (К* Ф*Ндю ) =2 ~~. , дгл ди' и равенство доказано. Отсюда следует справедливость свойства 3 для любой линейной формы. Долее доказательство проведем по индукции. Пусть = ((ю)г1ю" Л,. Л»1ю" б й (И').
Тогда д*(ю) =,3" ()'г)ю" Л .. Л дю'Р ') Л К(агю'Р) = = (гр" г(»")(!'г)ю" Л... Лг)ю'Р ') Л (ггр* ыг")(г1ю'Р) = = (у" ° г!»" ) (! г1в»" Л... Л ггю ' ) = (у ° г1г ) (ю). 224 ФОРМУЛЫ ГРИНЛ, СТОКСЛ И ОСТРОГРАДСКОГО й 4. Интегрирование дифференциальных форм 1. Определения. Обозначим чороз 1 единичный куб в евклидовом пространстве Е 1"'=(ГбЕ,О(Е(1,«=1,2, ...,т). Под отображениеьз х куба 1"' в и-мерную область С С Е" мы будем понимать отображение в С некоторой области О С Е™, содержащей внутри себя 1 .
Аналогично дифференциальной р-формой а«, определенной в 1, будем называть р-форм«й определенную в некоторой области 1«С Е содержащей 1 Определение 1. Интегралом от р-ф о р мы оз = 1"(1)дг Лде Л .. Лдср, определенной в кубе 1«', по кубу 1» будем называть величину з ( = ) ~ тд«здгг дг з» о о Нашей ближайшей целью является определение интеграла от дифференциальной формы по любой поверхности. Естественно, что при етом степень формы будет совпадать с размерностью поверхности. Под поверхностью мы будем при атом понимать отображение единичного куба зой же размерности (напомним, что понятие отображения включает в себя как область значений, так и закон соответствия).
Впрочем, иногда мы будем называть поверхностью только лишь образ куба. Определение й. Назовем т-мерным сингулярнь»м кубом в пространстве Е" (т ( и) дифференцируемое отображение куба 1'" в Е Таким образом, обозначая сингулярный куб через С, мы мозкем записать С=р: 1 — «Е". Мы будем говорить, что сингулярный куб С содержится в С С Е"', если р(1'") С С. Теперь мы можем определить интеграл от любой р-формы оз б Пр(С) по любому р-мерному сингулярному кубу С с С. Определение 3. Интегралом оза формы оз С Пр(С) по сингулярному кубу С = ью ТР— «Е", содержащемуся в С, назовем величину 3'ы = 1' Ф*(ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
