Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 44
Текст из файла (страница 44)
з» Убедимся в том, что интеграл от р-формы а«по р-мерному сингулярному кубу С зависит лишь от образа у«(1»), а не от закона соответствия уз. Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от аз по сингулярному кубу С. Пусть аз й Йр(С) имеет вид аз = 1"(х)дх" Л ... Л дх'», тогда уз*(о«) = = 1(зз(г))«о (дх ' л... л дх"). В силу прилзера 2 к и. 1 ~ 3 1«(»з Гг 1») Зг ( ) =Х(Р(г)) ' '"' ' ) дс'Лдг'Л, Лдг». Следовательно У(у(г)) ' '"'' )дг'л...лдгр. Р(1«, ...
Гр) о ОпРеделение 4. ПУсть Сз = Рз «1» — «Е" и С = Уз»: 1» — «Е два сингулярных куба. Будем говори»пег чтпо Сз = Сг, если сущешпвует 22б ДОПОЛНЕНИЕ взаимно однозначное отображение т куба 1" на себя такое, 'что Ц 1р1(у) у22[т(!)] Р(т', т', ..., тз) ) О. О(11, 12,..., 11') Ясно, что если С1 = Сг, то и Сг = С1, так как обратное отображение г будет удовлетворять необходимым требованиям. Мы будем говорить, что С1 = — Сг, если в условии 2 функциональный определитель всюду меныпе нуля (очевидно, прн этом Сз = — С1). Иногда в этом случае говорят, что С1 и Сг отличаются ориентацией. Справедливо следующее утверждение: если С1 = Сг, то ~-=Ущ с, с, До к аз а тельство . Мы проведем доказательство для случая, когда ы = 1(х)дх Л дх Л...
Л дхз. По определению = ~УЬ (!)] ' ' "'"' "д!'Л...Лд!'. Р(г! 12 11,) Сг 1г По условию существует отображение т куба 1" на себя, удовлетворяю- щее условиям 1 и 2. Сделаем в интеграле замену переменной ! = т(з), з б 1г. Получим у22 (1) = узг[т(з)] = 221(з), .';';;.' * " -/У[ ()]"-' '-' О(з1 зз " ч') * с, и = / ([1р1(з)] дз Л... Л дзг = / ы.
О(4,.", Ф.,') О(з1, ..., зз) 1Р с, Аналогично можно показать, что если С1 = — С, то ] «1= — [ о1. С1 Сз 2. Дифференцируемые цепи. Нам понадобятся поверхности, которые распадаются на несколько кусков, каждый из которых является образом некоторого т-мерного куба. Примером такой поверхности может щчужить состоящая из двух окружностей граница кольца., лежащего на двумерной плоскости. При этом мы будем различать ориентации этих окружностей. В связи с этим весьма полезным оказывается введение линейных комбинаций сингулярных кубов с вещественными коэффициентами. Определение 1. Будем назывить р-м е р н о й ц е п ь ю С произвольный набор (л1, л2, ..., Ль, С1, С2,, Сз), где Л, — вещественнъ1е числа, а С, — р-мерные сингулярнъ1е кубы. При этом будем использовать обозначение С = Л1С1 -~...
-в ЛьС1. Будем говорить, что С принадлежит С, если нее С, принадлежат С. Множество р-мерных цепей образует линейное пространство, если ввести естественным обрзлом операции сложения и умножения па вещественные числа. 8 В. А. Ильин н Еч П Позняк, часть Н 226 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 ОпределениеМ. Интегралом формы озгго р-мерной це- н и С, содерзюаьцейся в С, назовем величину (ьз = Лз (из +Лг ( аз+... +Ль ( ьз. с гц сг е„ Теперь мы можем определить гранину произвольного сингулярного ку- ба.
Для этого определим вначале гранину единичного куба. Определение 8. Границей куба1" назовем (р — 1)-мерную цепь р а1г = ~ (-7)* [1г(з) - 1",(г)), =1 где 1ог(г) есть пересечение куба 1" с гиперплоскостью х' = о (о = О, 1). Для того чтобы зто определение было корректным, необходимо разъяс- нить, какой смысл мы вкладывали в утверждение о том, что 1г(з) является (р — Ц-мерным сингулярным кубом. Построим кап о ни чес к ос отображение р = у, '" куба 1" ~ на 1г(з). Пусть з = (з', з,..., в" ') б 1' '.
Положим ( в~, если 1<а<г, Ззь(в) = о, если Л = й в, если г < й ( р. Очевидно, р = Д', го~, ..., ~~) отображает взаимно однозначно То на 1о Я. В частности, при о = 0 и г = р отображение р является сужением на 1ДР— Ц тождественного отображения пространства Е" на себя, Он)зеделение 1.
Гр а ни ц е й р-мерного сингулярного куба С = р: Р' -э Е ' назовем (р — 1)-мерную цепь г дС = ~ ~( — Ц'бз(юг)) — Зз(1((г))). =1 Таким образом, граница образа куба 1" есть образ границы 1г с есте- ственной ориентацией. г П р и м е р К Рассмотрим на плоскости квадрат 1-. Очевидно, этот квадрат мы можем рассматривать как сингулярный куб, взяв в качестве р Рис. 7Л2 Рис. 7Л1 тождественное отображение.
На рис. 7Л1 указана граница этого квадрата, причем направление стрелок совпадает с направлением возрастания параметра гь, по которому производится интегрирование, в случае, если эта сторона квадрата входит в цепь д1 со знаком +, и направление стрелок является противоположным, если сторона берется со знаком —. Мы видим, что наше соглашение о знаках приводит к обычному обходу границы против часовой стрелки. 227 ДОПОЛНЕНИЕ Таким образом .( р*(ы) = ,( (р рл)*( ) = из = ) из, бмВЗ(!'-!) е(!6ОЗ) !'ОЗ поскольку (р ° !р)(1г ) = !р(1" (!)). 3.
Формула Стокса. Основная теорелга. Пусть С = р ! 1г — з Е" — произвольный сингулярный куб, содержащийся в С, и пусгпь из й Пр з(С). Справедлива формула Стокса [й с вс Докажем формулу Стокса сначала в следующем частном случае. Пусть из — дифференциальная форма степени р — 1, определезшая в 1". Тогда справедливо равенство ) доз= ) оз. (7.61) гт П р и м е р 2. Рассмотрим сингулярный куб С = уы 1 — з ге~, где !р имеет вид р = (а ~- Ш ) сов 2кг, = (а -Е Ш ) гйп 2пг . Легко видеть,что !р(1') есть кольцо, граница которого образована ок- ружностями радиусов а и а + В. Выясним, что является границей сингу- лярного куба С.
Очевидно, р(1~г(1)) есть окружность зз — а сов 2тг, р~ = а гйп 2ягг. Далее, р(1г(Ц) — зто окружность радиуса а -Е Ш Наконец, !р(1о(2)) и !р(1[г(2)) — зто отрезок тг = О, а ( т' ( а -> П. На рнс. 7.12 стрелками указано направление обхода границы дС, если обход границы д1 совершается против часовой стрелки. Поскольку !р(1о~(2)) — р(1! (2)) = О, мы можем считать, что ОС = р(1,'(1)) — р(1,'(1)), что совпадает с обычным пониманием границы кольца. Выясним, каким образом связаны интегралы от формы и! по границе куба С и формы |р" (ы) по границе 1". Утверозсдение. Пуспзь С =:р! Р' -з Е' — произвольный сингулярный куб. содерозсащийсл в С, и пусть из й Пр з(С). Справедливо равенство )' = )' р*(ш) он вгг До к аз а тельство.
Очевидно, в силу определения интеграла по це- пи достаточно доказать равенство .з" ' = .з" р*(4 (г,) зйОЗ Рассмотрим каноническое отображение рл = р, '": 1е ' -з 1г(!). По определению .( Р" ( ) = 1' К"[Р ( )). нП > гр — 1 В силу свойства 3 дифференцируемых отображений (см. п.
2 3 3) Р р" = (р Р) . 228 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ, 7 Доказательство. Пусть а1 = 111)о)1~ Л... Л 111р. По определению 3 =Е",=1~-1)( / — /-) д1Р Вычислим следующий интеграл: ы, где 1 = 1, 2, ..., р, о = О, 1. грд ) Рассмотрим каноническое отображение 1Р 1 1Р ' -э 1Р Я. В силу результатов п. 1 этого параграфа / ЛР(в)) ~ ''' '~ йв'Л ЛЬ"-' 220в1, ...,,.-1) 1" 10 1Р— 1 По определению канонического отображения ор, ' " якобиан имеет вид 110в1 вв зр-1) если 1 ф 1, и ЬРОВ', В, ..., ВР ') гР1в', во, ..., вр-') если 1 = 1. Итак, отличными от нуля могут быть только интегралы по 11,'(Ц: — — / у(1, ', во, ..., " 1) Ов1Л... Л О.во '— д л' ) — ДО, в', ..., ве ')Нв' Л... Л 1)вг 1Р— 1 По определению интеграла по кубу 1Р ' 1 1 / о1 = / П(1 в1 вг-') — У(0 в1 вг-1))с)в111вв 1)вг-1 = дрр О О 1 1 / .../ — Ров 11в ...11в = / — 1)в Л...ЛНв Г д~ о , Г д~ '''/ да / до о а о С другой стороны, Жо = — о)1' Л о)С Л...
Л 1)1Р. др1 Стало быть 1) = / — 1)1 Л... Л 1)1Р. Г аУ / дВ ГР 1Р Равенство 17.61) доказано. Доказательство теоремы Стокса. Поопределениюинтеграла по сингулярному кубу /до = / 1Р*11)оР). о 1Р В силу свойства 2 дифференцируемых отображений 1см. п. 2 2' 3) / Р*0)' ) = / 1Р*1аз). 229 ДОПОЛНЕНИЕ Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса для куба 1Р )'йР ( ) = ) эР*( ). 1Р ап Остается заметить, что по свойству интегралов по границе сингулярного куба усм. конец п. 2 настоящего параграфа) 1' Р" 1 ) = 1'( ).
а1Р ас, Теорема полностью доказана. 4. Примеры. 1. Рассмотрим случай р = 1. Одномерный сингулярный куб С в Е" — некоторая кривая, концы которой обозначим через а и Ь. Формула Стокса приобретает вид ) й) = ) 1 = 11Ь) — 11а). с ас В частности, когда п = 1, получаем формулу- 11ьютона — Лейбница а ) у~ух) йх = ~(Ь) — 11а). 2.
Пусть теперь р = 2. Двумерный сингулярный куб С вЂ” это двумерная поверхность, форма ы б Й1 имеет вид 1а = ~ ыэ йх' а=1 Используя пример 2 и. 2 3 2, получим /'С;-(" '"")й. Л й. = /' ~. й. с ас "=' Если п = 2,то, обозначая ы = Рйх + Яйхз,получим формулу Грина: / ( — У)йх' Л йх = / Р йх' -'; Я йх . с а11 Если и = 3, то получим обычную формулу Стокса. 3, Пусть р = и. Тогда ы б П„1 имеет вид и = ~ ~ыьйх Л... Лйх Лйх Л... Лйх".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
