Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для того чтобы убедиться, что данное нами определение является корРектным, необходимо доказать, что ог = ы" Д огд б А д(И). Очевидно, в доказательстве нуждается только знакопеременность дрормдя ог. 214 ФОРМУЛЫ ГРИНЛ, СТОКСЛ И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Покажем, что при перестановке двух аргументов с, и Еег форма ш меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что аг б Ар, гП'). Пусть т б б Еетг является такой перестановкой. Убедгглгся в том, что тог = — ог = гзйпт)ог. 17.47) Из равенства 17.45) получим тог = ~(вйп гт) гто)а. Разобьем эту сумму на две: о тш = ~ 1эйгго)гта)а т ~ 1зйпо)гто)а.
17.48) К первой сумме отнесем те перестановки о, для которых либо и ' гг) ( ( р, и ' гг+ Ц ( р либо о 'гг) > р+ 1, и ' гг+ 1) 3 р+ 1. Для каждой такой перестановки г,то)а = — сга. Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим й = т 'гг), 1 = о 'гг -Р 1), т. е.
г = огй), г й 1 = оЯ. Форлга гга представляет собой произведение форм аге и агг, причем аргументами аге являются векторы й ггр й ггр..., й г г, а аргументами шг -векторы С Если й < Р и 1 < Р, то С, = б ггз и Р,„= С ггг ЯвлЯютсЯ аРгУментами формы аг", которая по условию знакопеременна. Следователыю, при перестановке с, и б,тг, форма аг", а значит и оа, меняет знак. Аналогично рассматривается случай, когда й > р -г- 1 и 1 3 р -Е 1. Итак, для первой суммы выполняется равенство 1вйп о)1то)а = — ~ 1эйп о)оа.
17.49) Ко второй сумме отнесем те перестановки о, для которых либо и 'гг) ( <р,о гг+1) >р+1либоо гг) >у+1,о гг+1) <Р.Покажем,что множество перестановок Го), удовлетворяющих этому условию га также, разумеется, условиго 17.46)), совпадает с множеством перестановок вида то, где и б го). Обратимся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей. Утверждение примет шгедуюгдий очевидный вид. Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером й из первой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером 1 из второй колонны, то легко можно указать другое перестроение, в результате которого эти автомобили поменяются местами, в то время как порядок движения остальных сохранится.
Таким образом, поскольку вбп то = — вйп и г'вйпо)гто)а = — 2 7эйггто)1то)а = — 2 г'зйпо)оо,. 17.50) Подставляя 17.49) и 17.50) в 17.48), мы получим 17.47). П р и и е р 1. Рассмотрилг две ггинейные формы Д~б) б Аггр) и 8(б) б б Аг1)т). Внешним произведением будет являться билинеглная форма ,аду = ~ ~1вйпа)о~Ябг)8(бг) = ~Яраг)8Яг) — 8(бг)~(бг). П р и и е р 2. Пусть у~б) б Аг1)т), 8(бг, бг, ...,б ) б Агг)г). Внешним произведением аг = 7" Л 8 будет 9+1-форма, аргументы которой мы 215 ДОПОЛНЕНИЕ обозначим через 50, 5„ '=~~,(е ) йб )ЕЫ,50 "-,5,) = ч = Е(-1П(5,)а(50;" 5,.1 5, 1 ":5,). !=0 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм. 1) Очевидным свойством внешнего произведения является л и н е йность: а) если 0!Р б .1р(1'), !00 б А (Р), то для любого вещественного числа Л (Лше) Л ррч = ррг Л (Ль!0) = Л(ше Л ррч); б) если !лр! б Ар(Г), рр~ б .4р(1') и чр~ б Ач(И), то (0!", + ш,") Л 0!' = шг Л !0' + ше Л ! .
2) А вгик ом мУтативность. Ес!чи ше б Ар(Р) и !00 б Ач(Р), то ! !! !'! ! !! = ( — 1)! !! >ч Л, !' . Доказательство. Пусть шр Л шч = рр = рр(с„се, ..., бр, ). Легко видеть, что Ы„т 5„~ю ", 5„~„5 ", 5„) Убедимся в том., что перестановку (б„т! ! 5„те,, Ерч н 5ч, ..., Ер) можем получить из векторов (с„се,..., Ер,,) с помощью рд последовательных трапспозиций.
Вектор бр!, можно передвинуть на первое место, используя р транспозиций. Затем с помощью такого же чи!ша транспозиций переДвинем на втоРое место вектоР брре и т. Д. Всего мы пеРеДвинем д вектоРов, используя каждый раз р трапспозиций, т. е. число всех транспозиций равно рй. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакопеременности внешнего произведения.
3) Ассоциативность. Если ше б А(И), ыч б Ач(Р), 0!' б А(Р), то (м Лш ) Лш =ьр Л(ш Л!р ) До к а за т е ль с тв о. Пусть и б Ертчт„. Рассмотрим следующую ве- личину: рч = ~(ебп)о[!0Р(5!, ..., 5„)0!ч(б„тч, ..., Ерчч)!0" (Ер, +и ..., бр,, „). (7.5Ц Сумма (7.51) будет равна (шг Лшч) Лы", если вначале произвести сумми- рование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа р+ !7+ 1, р+ !7-!- 2, ..., р+ д+ ! и удовлетворяющим условию (7А6), а затем про- суммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок пеРвых Р 4- !7 аРгУментов и поРЯдок аРгУмептов 5„т р!,..., б„ Аналогично можно получить величину ше Л (ррч Л !0"). Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям п(1) < а(2) «...
о(р), о(р+ 1) < о(р+ 2) « ... п(р 4- !7), (7.52) п(р+ !1+ 1) « ... !г(р+ 4+ г). 216 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Для этого обратимся снова к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три колонны автомобилей, в первой из которых р, во второй д, а а третьей г машин. Один из способов перестроения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаготся первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним присоединяется первая. Очевидно, порестановка и, получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлотворяет условию (7.52) и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию (7.52), может быть получена как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения.
Это и означает совпадение (ого Л соч) Л ю" и огг Л (сог Л ог'). Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматривать любое конечное произведение ю, Л ю Л... Л ог, где ог, й Аг,(И). П р и м е р 1. Пусть ас(й), аг(й), ..., а„, ® — линейные формы. Тогда ас Л аг Л... Л а = з (эйно)окрас(б, ), аг(йг),..., а (б )], (7 53) где суммировапио производится по вселс перестановкам и Е Е„,. Равенство это легко проверяется с помощью индукции.
Заметим, что если ввести матрицу (а,(й,)), то равенство (7.53) можно переписать в следующем виде: (ас Лаз Л... да )(йм бг...., й ) = с1ее(а,(б,)). (7.54) 7. Базис в пространстве знакопеременных форм. Выберем какой-либо базис (е,),", в пространстве Р и обозначим через (е'),", сопряженный к нему базис в пространстве 7 (И). Насгоыним, что е'(й) есть линейная форма, которая па элементах базиса (е,) принимаот значение е'(е ) = =б, . Ъ п. 3 мы показали, что всевозможные произведения еп(й,)е" (с. )... е'"(б ) образуют базис в б (1<).
Поскольку А„(И) С Ь„(Р), то каждая знакопеременная р-форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений. Однако эти произведения не образуют базиса в Ар(И), поскольку они не являются знакопеременными р-формами, т. е. не принадлежат Ар(Р). Том не ясенев из них можно сконструировать с помощью внешнего умножения базис в .4р(И). Теорелса 7.11. Пусгпь (е,),", -- базис о пространстве Гг, (е'),", сопряженный базис о пространстве 7(К). Любая знакопеременная р-форлча со й Ар(Р) мозкет быть представлена а притом едаиетвенпьсм образом о виде (7.5о) с<п«. „< Казкдое слагаемое суммы о правой части (7.55) представляет собой произведение гсоспсояннойогч,г,г на знакопеременную р-форму е 'Ле.
~Л... ... Л е'" . До к а за т ел ь с т в о. В силу результатов п. 4 мы можем записать ю = ~ ~... ) огчюс,еЕчЕ'ь...Е'", (7.об) где числа юч„,,„= ог(еч, е*'...., е") определены однозначно. 217 ДОПОЛНЕНИК Так как форма о(((„бг,..., б ) знакопеременна, то для любой перестановки о й Вр а((У („, ~ (ц,..., б (,() = (вбп о)а((4„4„, 4р). Следовательно, (7.57) Сгруппируем слагаемые в сумме (7.56), отличающиеся перестановкой ицдексов 11, тг, ..., (р, и воспользуемся равенством (7.57). Получим ш= 2 ~~юг, е' "'...е' '"' = (11 и( '1 <тг « тр шч,, ~~ (зйпо)е' ('( ...е' (Рт]. (758) 1< г« .
р В силу примера из п. б сумма, стоящая в квадратных скобках, есть еп Л е" Л... Л е". Теорема доказана. Следстпвие 1. Элементы еч Ле" Л...Ле*'(1 (11 < гг «, гр ( и) образуют базис о прошпранстое Ар(Г). Этот базис пуст длл р ) п и состоит ио одного элемента, если р = и. Следствие х. Размерность простпранстаа Ар(Ъ') равна С,",. В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбрштный базис е(, е, ..., е„нами зафиксирован и линейные формы е'(б) будем обозначать символом е'(б) = 5'. Тогда любаЯ фоРма а1 й Ар(И) пРимет вид а1(б(, йг, ..., бр) = ~ аьо,рбч Л...
Л 5'Р. (7.59) 1«.р Пример 1. Лб = (е Л е )(51, бг) = (т (збпо)о(е (51)е (бг)) = = е' 4 )ег(сг) — е'(Юег(б ) = 5'бгг — 5'5', где 5,' есть г-й коэффициент в разложении вектора б, по базису (е,). Пример 2. 5' Л 5' Л... Л 5" = йет (51)., где й, = 2,' 5,'ет. з 2. Дифференциальные формы 1. Определения. Рассмотрим произвольную открытую область С и-первого евклидова пространства Е". Точки области С будем обозначать сиъ1волами х = (х, х,, х"), у = (у, у,, у") и т, д. Определение, Дифференциальной формой степени р, определенной о областпи С, будем называть функцию а((х, б„бг, ..., бр), которал при каждом фикс(ко(ованном х й С представ лет собой знакопеременную р-форму из Ар(Е Множество всех дифференциальных р-форм в области С обозначим через Йр(С) = Йр(С, Е"). Мы будем считать, что при фиксированных 81, ..., бр й Е" р-форма ю представляет собой бесконечно дифференпируемую в С функцию.
Используя 218 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 По определению г)х' Л г(х = (е' Л е )(с(гх, г)гх) = = е'(Йгх)е (Йгх) — е'(Ах)е (Игх) = 121Х = А х'112 х — А х*А х Ь * Ь Г)1Х' 1)гх В частности, при п = 2 получаем ы(х, Ах, Мгх) = 7(х) Ах' Ах' г)гх 1)гх Определитель равен элементу площади, соответствующему векторам Ах и Ах.
В случае, когда и = 3, обозначая ыш = 77, ыгз = Р, ыгз = — 1„2, получим Р Я 77 ы = Рр)хг Лг)х~ — Яг)х' Л дх~+ Кг)х' Л г)хг = Ах' Ах' Ахг . грг г 112Х 112х П р и м е р 4. Дифференциальная 3-форма в трехмерном пространстве имеет вид Ах' А хе Ах' ш(х, Ах, Ах, 1(зх) = г (х) р(х Л 1)х Л р)х = г (х) с(гх дгх Ах г)зх2 г(зх' г(зх' Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам А х, дгх, р(зх. результаты 3 1, мы можем каждую р-форму ы записать в виде шч . бч Л...
Л 6'р. (7.60) 1« р Вскгду в дальнейшем вектор 6 будем обозначать символом г)х = (агх', р)х, ., 1(х"), а векторы 6„— символами Игх = (Ах, Ах ....., 41Х"). В качестве базиса в Е" выберем векторы еь = (О, О,..., 1, О,..., О), где единица стоит на )г-м место. Элементами сопряженного базиса будут функции е (с) = е (г(х), определяемые равенствами е (11х) = р)х . Тогда дифференциальная форма (7.60) примет вид ог(х, Ах,,, г)рх) = ~ агч,рг)хч Л... Лг(х". 1«. ' П р и и е р 1. Дифференциальная 0-форма — зто любая функция, определенная в области С (и, в силу наших предположений, бесконечно дифференцируемая в О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
