Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Знакопеременные полилинейные формы 1. Линейные формы. Пусть 1' — произвольное и-мерпое векторное пространство, элементы которого будем обозначать символами с, т7, ... Предметом нашего изучения будут функции, сопоставляющие каждому эле- менту с й 1' некоторое вещественное число. Определение Е Функция о(С) назътваетсл л и н е й и о й форм о й, если длл лтобых с й Гг, т1 е Р и лтобого вещественного числа Л оыиолплтотсл равенства Ц а(С + т1) = а(й) + а(т7), 2) а(Лс) = Ло(с). Определение 2. Суммой двух линейных форм а и Ь назовем линей- нуто форму с, катарах каждому вектору с с И сопоставляет, число с(с) = а(с) ч- Ь(с). Произведением линейной формы а на вещественное число Л назовем линейную форму Ь, котиорая каждому вектору С й Г соиоставллет число Ь(С) = Ла,(С). Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное пространство, которое мы обозначим символом Ц'т') ').Найдем представ- ление линейной формы а в каком-либо базисе (е,),",.
Пусть й = ~~т б'ет, =т где числа с' определяются однозначно. Если обозначить а, = а(е,), то ис- комое представление будет иметь вид а(й) = ~ ~б'а,. .=:1 Докажем, что размерность Йтгп б(Р) линейного пространства ЦГ) рав- на и. Для этого достаточно указать какой-либо базис в б(Р), содержащий точно и элементов, т. е. и линейных форм. Фиксируем произвольный базис (еь) пространства Р и рассмотрим следующие зптнейпыо формы: е (~) = б (й = 1, 2,..., и), где (б ') — коэффициенты разложения вектора с по элеьтенталт базиса (еь).
г Иначе говоря, линейная форма е" действует на ютементы базиса (е,) по правилу 1 при т=Ь, 0 при тфй. В таком случае в данном базисе (е,) линейная форма а имеет вид а(С) = ~ а,е (С), а, = а(ет), ') Пространство Ц1с) обозначают также символом И* и называют сопряженным (или дуальным) к Р. 211 ДОПОЛНЕНИЕ т. е. линейные формы е'®, е~(б), ..., е" (й) образуют базис в ЦИ). Этот базис называют сопряженным (а также взаимным или дуальным) к бази(') 2. Билинейные формы. Обозначим через г' х И множество всех упорядоченных пар (йы бг), где б, б И, б б г', и рассмотрим фупкпии а(чм Сг), сопоставляющие каждому элементу из г х Г (т.
е. каждым двум элементам б, б 1' и йг й И) некоторое вещественное число. Определение. Функция а(йм йг) называется бил.ин ейной форм о й, если при каждом фиксирооанном опачении одного аргумента она является линейной формой относительно другого аргументна. Иначе говоря, для лкгбых векторов й „б„г1 ы г1г и лкзбых вещественных чисел Лы Лг, ры дг выполняется равенство а(Л!бз Ч- РсН1, Лгбг -'-Ргцг) = = Л~Лга(ЯП бг) -~- Л~рга(ЯП з1г) -~- р1Лго(г1ы бг) з-1сИзга(г1» г1г). Множество всех билинейных форм легко превратить в линейное пространство, вводя в нем естественным образом операции сложения и умножения на вещественное число. Полученное пространство билинейных форм обозначим символом А г (И) .
Найдем представление билинейной формы а (бы йг) в каком-либо базисе (е,,)",, пространства |'. Пусть бь = 2 Це,, й = 1, 2. Положим а(е„ег) = = а, и получим искомое представление (б„б,) =ЕЕ .,аа =1 з=л Для того чтобы определить размерность пространства Ег(Г), образуем с помощью линейных форм е'(б), составляющих в ЦИ) базис, сопряженный к базису (е,), следующие билинейные формы: е з(чы Сг) = е ((~)ег(сг). Тогда произвольная билинейная форма будет однозначно представимой в виде (б„б,) = Е Е.ч'о(б„бг) =1 з=! Это означает, что формы е" (йм бг) образуют базис в Ьг(И) и, следовательно, размерность |г(И) равна и . 3. Полилинейные формы.
Пусть р. натуральное число. Обозначим символом Иг = И х 1г х... х И множество всех упорядоченных наборов (бы бг,..., бр) из р векторов, каждый из которых принадлежит И, и рассьютрим функции, сопоставляющие каждому такому набору некоторое вещественное число. Определение. Функция аЯы бг, ..., б ) называется п о л и л и н е йной формой степени р (илир-формой), если онаявляетггсллинейной формой по каждому аргументу при фиксированных значен лх остальных. Вводя в множестве всех р-форм линейные операции, мы получим линейное пространство, которое обозначим символом Ер(1').
Найдем представление произвольной полилинейной формы а(с,, сг, ... ..., йг) в каком-либо базисе (е,),, пространства 1г. Обозначим ач„,, = а(еч, ечи ..., е,,). 212 ФОРМУЛЫ ГРИНЛ, СТОКСЛ И ОСТРОГРЛДСКОГО Тогда, если бь = 2 бге„й = 1, 2, ..., р, то р р (б„б„,б„)=,', ~: н...,бгбг г=1 р — — 1 Если еь(Д есть базис в Ц1г), сопряженный к (е,), то, очевидно, р-формы ен*' "Ж бг б ) =с*'Х,)ему е*г(б ) образуют базис в Хр()г) и, таким образом, Хр()г) имеет размерность и".
4. Знакопеременные полилинейные формы. Определение. Полилинейная форма а(б„бг, ..., Рр) называется з н а к о п е р е м е н н о й, если при перестановке любых двух аргументов она меняега знак ). Иначе говоря, ~(б,бг,",б„",б,:,б„)=-~(б,бю ",б, ",б„",б„) Очевидно, множество всех полилинейных знакопеременных форм степени р образует надпространство линейного пространства Ьр(1'), которое мы обозначим символом Ар(И) г). Элементы пространства Ар(Г) мы будем обозначать символом ю = аг(Е„ бю ..., Рр). Заметим, что если (е.) — произвольный базис в И и р м61' "6" р —— 1 то числа ачмг,,„меняют знак при перестановке двух индексов.
Это вытекает из того, что Естественно считать, что А1(И) = Ь1(И), а Ао(1г) состоит из всех постоянных, т. е. соввадает с числовой прямой. 5. Внешнее произведение знакопеременных форм. Рассмотрим две знакопеременные формы юг б А„(1') и шг б Аг(1'). В атом пункте мы введем основную операцию в тоории знакопвременных форм — операцию внеганего умножения. Пусть агг = шг(г1„11г, ..., 11р), г1, б 1'", '(~1, 11, -, <„), РассмотРим слеДУюЩУю полилинейнУю фоРмУ а = бр.~. (Р )1 аЖ бг ' ' бртг) ="' (6' ' '' ' бр) '"' (б1 11' '' ' бр.рч)' (т 4З) Эта форма, вообще говоря, не является знакопеременной. Именно, при перестановке аргументов б, и б„где 1 ( 1, ( р и р -1- 1 ( у ( р -1- д, форма (7.43) может не изменить знака.
Этим обстоятельством и вызвана необходимость введения внешнего произведения. Для того чтобы ввести внешнее произведение, нам понадобятся некоторые факты из теории перестановок. ) Знакопеременные полилинейные формы называют также антисимметрическими, кососимметрическими, косыми, внеигними. г) Это пространство обозначшот также символом ЛР)г" и нгшывагот р-й внешней степенью пространства 11*.
ДОПОЛНЕНИЕ 213 Напомним, что перестановкой чисел (1, 2,..., т) называют функцию о = о(й), определенную на эгих числах, и отображаюп)ую их взаимно однозначно на себя. Множество всех таких перестановок обозначается сим- волом Е„,. Очевидно, существует всего т! различных перестановок из В Для двух перестановок о б Е и т 6 В естественным образом определя- ется суперпозипия от б Ею.
Перестановка о ' называется обратной к о, если а а = оп = е, где е — тождественная перестановка (т. е. е((д) = я, — — 1 2=1,2, ...,т). Перестановка о называется транспозицией если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Иначе говоря, существует пара чи- сел г и ф (1 < 1 < т«1 < ф < т., г ф ф) такая, что о(г) = у, п0) = д и о(й) = lд для (д ф г и к ф Л Очевидно. если а --. транспозиция, то о = о и о в = е. Известно, что всякая перестановка в разлагается в суперпозицию транс- позиций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четпость числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и назы- вается четностью перестановки о. Введем следующее обозначение: 1, если перестановка о четна, вбпо = — 1, если перестановка в нечетна.
Заметим, что форма а 6 Ер(1«) принадлежит Ар(И), если для любой перестановки в б ур а(Я П), б ~,,), ..., б ря)) = вбгдо а(аг: Яг Яр). Рассмотрим снова полилинейную форму. (7.43). Для любой перестанов- ки о б Ергд положим ~Ы, ", бя~,) = Ы.ОП, б.)„.ьд)) (7.44) Нетрудно убедиться в том, что если т 6 Ергд и а б Ергд, то (то)а = = г(аа). Введем следующее определение. Определение. Вн един им произ в еде нием формьд огг 6 Ар(И) и формы шд б Ад(Г) называется форма ог б Арг ((г), определяемая равен- ством ог(б„..., 6 ) = ~ ~вбил оа, (7.45) зде сумма берется по всем перестановкам о б Е„ед.
удовлетворяющим условию о(1) < а(2) «... в(р), а(р+ 1) « ... о(р 4- у), (7А6) а величина оа определяется равенствами (7.43) и (7.44). Внешнее произведение форм шг и шд обозначается символом ог = ю" Лиге. Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка о, удовлетворяющая условию (7.46). Предположим, что по некоторой дороге параллельно движутся две колопгггя автомобилей, в первой из которых р, а во второй у машин. Через некоторое время дорога сужается и обе колонны на «о„гу перестраиваются в одну. При этом автомобили первой колонны занимают места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В результате мы получаем перестановку, удовлетворяющую условию (7.46). Легко видеть, что и обратно, всякая такая перестановка может бьп ь реализована на нашей модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
