Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 50
Текст из файла (страница 50)
интнгнкл тяти 255 ций, интегрируемых по Риману. При этом выяснится целесообразность введения измеримых функций. 2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций. Докажем шгедуюшую основную теорему. Теорема 8.16. Каково бы ни было измеримое множество Е конечной мерьс, вслкал оераггиченнал и измеримая на множестве Е функция 1(т) инпгеерируема на этом леножесьчве.
До к а ватель с т в о. Построим специалыгое разбив~ив множества Е, называемое л сбег овск им. Обозначив через М итточные грани Х(х) на множестве Е, разобьем сегмент )пг, ЛХ) с помощью точек ка = уо < уг < ув « ... уо = ЛХ на частичные сегменты (рь г, уь) (й = 1, 2, ..., и) и обозначим через б длину наибольшего из этих частичных сегментов, т. е. положим б = шах (уе — уе г). ь=г,з,,а Л е.
б е г о в с к и м разбиением множества Е назовем разбиение Т = (Еь)~~,, в котором Ег = Е[уо < 1 < уг), Еь = Е(уь ~ < < Х < г1ь) при Л = 2, 3, ..., и. Пусть Бт и зт — верхняя и нижняя суммы, отвечающие лебеговскому разбиению Т и называемые л е б е г о в с к и м и верхней и нижней суммами. Заметим, что для любого номера й (й = 1, 2, ..., и) справедливы неравенства уь г<ть <Ма <уь, (8.27) в которых через Мь и ть обозначены точные грани Х(к) на частичном множестве Еы Умножая неравенства (8.27) на меру )Еь) множества Ее и после этого суммируя их по всем номерам Л = 1, 2, ..., гг, будем иметь ~, уь-г)Еь) < вт < Бт < ~~', уьЕь). ь=г ь=г Из полученных неравенств заклгочаем, что 0 < от — зт и п п < 2 уь)Еь) — ~ уь г)Еь) = ~~ (уь — уь г))Еь) < о~)Е).
(8.28) ь=г в=1 ь=г Так как для любого разбиения Т справедливы неравенства зт < 1 < 1 < Ят, то из (8.28) получим, что 0 < 1 — 1 < о)Е~. (8.29) Поскольку д ) 0 может быть фиксировано произвольно маггым, то из (8.29) следует, что 1 = 1. Теорема доказана. 256 ЛСЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ 3 а м е чан не 1. В дополнении 2 к этой главе мы докажелс, что измеримость ограниченной на измеримом множестве Е функпии 1(х) является не только достаточным, но н необхо- димым условием интегрируемости этой функции по Лебегу на множестве Е. Замечание 2. Пусть ~л (1: = 1, 2, ..., и) произволь- ный элемент частичного множества Ел лебеговского разбиеи ния Т.
Сулсму вт(1ы 1) = 2 ((~ь) ]Ее] будем называть лебеь=-1 говской интегральной суммой функции1(х). Так как при произвольнолс выборе точек ~ь на множествах Ел эта сумма заключена ллежду. нижней и верхней суммами соответ- ствуюнцего лебеговского разбиения Т, то из неравенства (8.28) сгссдует, что вт(ды () (вместе с Зт и гт) стремится при д — л 0 к интегралу Лебега 1 = 1 = ( ((х) с1х. 3.
Свойства интеграла Лебега от ограниченной функ- ции. 1'. ] 1 6х = [Е]. Для доказательства достаточно заметить, что для функции 1(х) = 1 как верхняя, так и нижняя сумма любого разбиения Т множества Е равна ]Е]. 2'. Если Яункцслл ~(х) вг1сслничена и инплегри1зуемв нв мно- жестве Е конечной меры и а любое весцествелслсое число, тв и функция [а 1(х)] интегрируелсв нв множестве Е, причем ] [а ((х)] сйх = а. ] ((х) с1х. (8.30) Е Е Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного разбиения Т (Ее) множества Е обозначим верхшою и пижшою суммы функции ((х) символами Ят и гт, а верхнюю и нижнюю суммы функции [а.
((х)] символами Ят и вт . Тогда, очевидно, М О*) Я„= [ (щ) ( аЪТ при а>0, („) ( сс вт при а>0, г,, авт при а<0, с а.ЯТ при а<0. (8.31) Если обозначить через 1 и 1 верхний и нижний интегралы функвЂ(о) ции Г" (х), а через 1 и 1'в) верхний и нижний интегралы функ- ции [а . ((х)], то из (8.31) следует, что 1 =( — (сО ( а.1 при а>0, 00 ( а'1 пРи 1 ( а 1 при а<0, ~ а 1 при а<0. (8.32) 257 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Н силу интегрируемости 1(х) справедливо равенство 1=1= ) 1'(х)дх, Е а потому из неравенств (8.32) с!!сдует, что при любом сс ('1(.
) д,. Е Это и означает, что интеграл в левой части (8.30) существует и что справедливо равенство (8.30). 3'. Если каждая иэ функций 1! (х) и 12(х) ограничена и интегрируема на множестве конечной меры Е, то и сумма, этих функций (1!(х)+12(х)) интегрируема па множестве Е, причем И!(х) + 12(х)) с!х = Х 1!(х) Йх + ) 12(х) с2х. (8.33) Е Е Е Доказательство. Положим 1(т) = 1!(х)+12(х), и пусть Т = (Еь! --.произвольное разбиение множества Е.
Обозначим для функции 1(х) точные грани па частичном множестве Еь через Мь и ть, верхнюю и нижнюю суммы разбиения Т через Ят и гт, верхний и нижний интегралы Лебега через 1 и 1. Аналогичные величины для функций 1!(х) и 12(х) обозначим теми же символами, что и для 1"(х), но с индексами (1) и (2) соответственно. Заъсетим, что гаечная верхняя (точная нижняя) грань суммы не боль!ие (не мень!не) суммы точных верхних (точных тгжних) граней слагаемых. Отсюда следует, что для любого номера Й и +тн <та<Ма <М +М (0 (2) Ж Ф и, стало быть, для любого разбиения Т эт + 'т < 'т < ~т < ~т + ~т (!) (2! (Ц (2! Из последних неравенств в свою очередь следует, что 1!0+100 <1<1<1 +1 . (8.34) Так как (в силу интегрируемости 1у(х) и Г2(х)) Х'" = '" = 1 Ы*) д*, 1"' = 1'" = Ю( ) д*, то из (8.34) получим, что 1 = 1 = / 1"у(х) дх+ ) 1"2(х) дх.
Е и Но зто и означает, что интеграл в левой части (8.33) существует и что справедливо равенство (8.33). 9 В. А. Ильин и Э. Г. позняк, часть Н 258 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕББГЛ Следствие. Непосредственно из 2' и 3' вытекает л ин е й н о е свойство интеграла: если каждая из функций 1г(х) и 12(х) ограничена и интегрируема па мггожестве конечной мерьг Е и если сг и р' произвольньге вещественные никла, то функция [сггг(х) + гг12(гг)~ интег1гггруема но, множе: стае Е, причем ,) [гггг(х) + гу за(х)г их = сг[ зг(х) ггх + гг,[ за(х) ггх Е ь Е 4'.
Если функция, г'(х) ограничена и интегрируема на каждом из пепересекгиошихся множеств когге гной мерьг Ег и Еа, то 1'(х) инпгегрируема и на сумме Е множесгпв Ег и Еа, причем ) 1(х) с~х = [ 1"(х) дх+ ) 1"(х) дх. (8.35) Е Ег Ег Это свойство обычно называкгт а д д и т и в н о с т ь ю интеграла. Доказательство. Заметим, что объединение произвольного разбиения Тг множества Ег и произвольного разбиения Тг множества Ег образует разбиение Т множества Е = Ег [ ) Ег. Обозначим верхние суммы 1'(х), отвечающие разбиениям Тг, Та и Т, соответственно через Ятг, Ятг и Ят, а нижние суммы г'(х), отвечающие разбиениям Тг, Тз и Т, соответственно через зт,, зт, и зт. Тогда, очевидно, ЯТ вЂ” Ятг + Ятго ЗТ вЂ” Зтг + Зтго (8.3б) Обозначглм верхний и нижний интегралы функции 1(х) на мно— Ж вЂ” га) жестве Ег через 1 и 1г ~, на множестве Ег через 1 и 1г ) и на множестве Ь' через 1 и 1.
Из равенств (8.36) и из того, что точная верхняя (точная нижняя) грань суммы не больше (не меньше) суммы точных верхних (точных нижних) граней слагаемых, заключаем, что 1(1) + 1(2) ~ 1 ~ 1 с 1ггг + 1рй (8.37) Так как (в силу интегрируемости 1'(х) на Ьг и на Ез) 1 ' М =1 = [ 1"(х) дх, 1га~ =1 ~ = [ 1"(х)дх, то из (8.37) получим, Ег Ег что 1 = 1 = ) 1(х)г1х + ) 1(х)г1х. Ег Ег Но зто и означает, что интеграл, стоящий в левой части (8.35), существует и что справедливо равенство (8.35). 259 ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ 5'. Если ка:ведал из функций 11(х) и /2(х) ограничена и инчпегрируема на множестве конечной мерьс Е и если всюду на этом мноэюестве /1(х) > 12(х), то / 21(х) 11х ~ ~/ 22(х) дх.
(8.38) Доказательство. Так как все нижние суммы функции Е(х) = 11(х) — 12(х) неотрицательны, то 1 > О. Отсюда следует, что / Е(х) дх = / 21(х) дх — / Ях) дх > 0 (существование зтого Е Е Е интеграла и написанное нами равснство вытекают из уже доказанного нами линейного свойства). Тем самым (8.38) доказано. 4.
Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции и его свойства. Теперь мы переходим к определению интеграла Лебега для случая, когда измеримая функция 2" (х) пе является ограниченной. Сначала будем считатпь, что 1" (х) > 0 всюду па мноэкестве конечной меры Е. Для любого зУ > 0 положим (1)л (х) = ппп (Х, /'(х)), 1л (1) = ) (1)л(х) "х (8.39) (8.40) Заметим, что для любой измеримой на множестве Е функции 1'(х) функция (8.39) также является измеримой ) и потому интеграл (8.40) существует. Отметим также, что из (8.39) и (8.40) вытекаег, что 1л-(/') возрастает с увеличением Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
