Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 52
Текст из файла (страница 52)
4 для неотрицательных суммируемых функций. Справедливость указанных свойств для произвольных суммируемых функций сразу же вытекает из равенства (8.45) и из справедливости указанных свойств для неотрицательных суммируемых функций. Наконец, для произвольных суммируемых функций остаются справедливыми свойства полной аддитивности и абсолютной непрерывности интеграла Лебега (доказательство этих свойств для неотрицательных суммируемых функций составляло содержание теорем 8.17 и 8.18 из предыдущего пункта). Приведем формулировку и краткие указания по поводу доказательства этих свойств. 265 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ Теорема 8.17" (свойство полной аддитивности). Пусть множество Е представляет собой сумму счегпного числа попарно иепересека>ощихся измеримых мноэ>сеств Еь, т.
е. Е = () Еь. Тогда справедливы следующие два утверэкдепия. ь=-1 1. Если функция 1(х) суммируема на множестве Е, то 1" (х) суммируема и на каждом множестве Е>ь причем справедливо равенство (8.41). Н. Если функция 1'(х) измерима и суммируема на каждом мноэк:естве Еь а если сходптся ряд пю 1'(х) суммируема на множестве Е и справедливо равенство (8.41) . Для доказательства теоремы 1 достаточно применить теорему 8.17, 1 к неотрицательным функциям 1' Р(х) и 1' (х) и воспользоваться равенством (8.45). Для доказательства теоремы И достаточно учесть, что в силу теоремы 8.17, 11 функция ~ )'(х)( суммируема на Е.
Но тогда и 1'(х) суммируема на Е и в силу уже доказанной теоремы 1 справедливо равенство (8.41). Теорема 8.18* (свойство абсолютной непрерывности интеграла). Если функция 1'(х) суммируемв, на множестве Е, >по для л>обого положительного е найдется положительное число б такое, что каково бь> ни было измеримое подмножество е множеспгва Е с мерой ~е~, меньшей б, справедливо неравенство ) 1(х) ах < е. е Для доказательства достаточно применить теорему 8.18 к неотрицательной функции ~((х)~ и воспользоваться неравенством ) 1(х) дх < ) (((х)!Йт,.
е е 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Определение. Будем гооорить, что последовательность суммируемых на множестве Е функций (1' (х)1 сходится к суммируемой на этом же множестве функции 1(х) в А(Е)> если 1пп )'(~„(х) — 1(х)( дх = О.
Сходимость последовательности (1'„(х)) в 1(Е) обеспечивает возможность почленного интегрирования последовательно- МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ сти (»п(х)) на киножестве Е, ибо из (8.46) вытекает, что 1пп )»„(х) Йх = )»(х) дх. и — гоо Е Е Заметим, что если последовательность измеримых и суммируемых на лгножестве Е функций 1»п(х)) сходигпся к измерггмой и сулгмируемой но, Е функции»(х) в Й(Е), пю (»„(х)) сходится к»(х) и по мере на Е.
В самом деле, фиксирован произвольное е > О и обозначив через Е„множество Е Ц» — »п/ > е], будем иметь ) /»„(х) — »(х) / дх > 1 !»„(х) — »(х) / гКт > е/Е„/г Е Е„ так что из (8.46) следует, что ~Еп~ — э О при и — э оо. Таким образом, сходимость по мере на Е является более слабой, чем сходимость в Е(Е) (и, как уже установлено выше, более слабой, чем сходимость почти всюду на Е).
Докажем, однако, что при дополнительных предположениях из сходимости по мере на Е будет следовать сходимость в Ц Е). Теорема 9.19 (тпеорема Лебези). Если последовательность измеримых на множестве Е функций (»„(х)) сходитсл к азмеримой' на Е функции»(х) по мере на Е и если сугцествует ср>ммлг1гувмая на множестве Е функцил Е(х) такал, что длл всех ггомеров п и почти всех точек Е справедливо ггеравеггство ~»п(х)~ < Е(х), то последовательносгпь (»„(х)) сходится к»(х) в ЦЕ).
Доказательство. Сначала убедимся, что предельная функция»(х) сама удовлетворяет почти всюду на Е неравенству ~»(х)~ < Е(х). Из теоремы 8.15 вытекает, что из последовательности 1»п(х)) ьложно выделить подпосггедовательность (»пя(х)) (и. = 1, 2, ... ), сходящуюся к»(х) почти всюду на Е. Переходя в неравенстве !»пв(х)! < Е(х) к пределу при )г — + — + со, мы и гголучим, что /»(х)/ < Е(х) для почти всех точек Е. Из доказанного нами неравенства и из мажораптного признака суммируемости неотрицательной измеримой функции (см, конец п. 4) следует, что»(х) суммируема на Е.
Фиксировав произвольное г > О и обозначив через Еп лгножество Е [(» — »„( > е~), будем иметь ') И(х)-» (хИдх= Х Фх) — »п(хИдх+ Х И(х)-»п(хИдх< Е Е„ Е(Е„ < ) г'(х) дх + е~Е~. ) Мы учитываем при этом, что ~»„(х) — »(х) ~ < 2Е(х) почти всюду ив Е. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ 267 Из этого неравенства и из произвольности е ) О вытекает, что для установления сходитюсти (~„(х)1 к )'(х) в Т (Е) достаточно доказать, что 1нн ) Г(х) дх = О, но это сразу вытекает из теои — ~со ремы 8.18* об абсолютной непрерывности интеграла и из того, что по условию ~Е„~ — э О при п -э оо. Теорема доказана.
Следствие (теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Если последовательность измеримых на множестве Е функций Цп(х)) сходипся почти всюду на .Е к предельной функции 7" (х) и если существует суммируемая на мноэкестве Е функция Р(х) такая, что для всех номеров и и почп1и всех точек Е справедливо неравенство ~ 7'„(х)~ < < Е(х), то з'(х) суммируема на Е и 1пп / У„(х) дх = / 7"(х) дх. (8.47) ь-э~~ Н Доказательство. Из теоремы 8.13 вытекает измеримость Г'(х) на множестве Е.
После этого достаточно заметить, что из сходимости почти всюду на Е вытекает (в силу. теоремы 8.14) сходимость по мере на Е, и привлечь теорему 8.19. Теорема 8.20 (теорема Б. Леви). Пусть каэюдая функция ('„(х) измерима и суммируема на множестве Е, и пусть для всех номеров п и для почти всех точек мноэюества Е справедливо неравенство ~„(х) < ~„э1(х). Пусть далее существует постоянная М такая, что для всех номеров п спраоедливо неравенсгпво ) ('„(х) дх~ < М. Тогда для почти всех точек т, из Е мноэкестпва Е сущесгпвует конечный предел 1пп Г'„(х) = Г'(х), причем предельнал функция 7" (х) суммируема на множестве Е и справедливо равенство (8.47). Доказательство.
Не ограничивая общности, можно считать, что все 1'„,(х) н е о т р и ц а т е л ь н ы почти всюду на Е (иначе вместо ~„(х) мы взяли бы неотрицательные функции 8„(х) = 7'„(х) — 71(х)). Так как последовательность ()„(х)) не убывает |ючти всюду на Е. то почти во всех точках Е определена предельная функция 7(х), которая принимает в этих точках либо конечные значения, либо значения., равные +ос.
Если мы докажем, что эта предельная функция суммируема на множестве Е, то из этого будет следовать., гго ('(х) почти всюду на Е имеет к о н е ч н ы е значения, т. е. будет следовать сходимость последовательности (~п(х)1 к з"(х) почти всюду на Е, а отсюда и из неравенства ~„(х) < з"(х) (почти всюду на Е), в силу следствия из предыдущей теоремы, будет вытекать равенство (8.47). 268 МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕВЕГЛ Итак, для доказательства теоремы достаточно установить суммируемость предельной функции Дх) на множестве Е. Заметим, что для любого )у' > О последовательность 1) ((1а)л (х)Т сходится к (1)л (х) почти всюду на Е, причем ограниченная функция ((')у(х) суммируема на Е и для всех номеров и и почти всех точек Е справедливо неравенство ((в)л (х) < < (У)Л.( ').
Это обеспечивает применимость к последовательности (((а)л (хЦ следствиЯ из пРедыдУщей теоРемы, в силУ котоРого 1пп ) (~н) м(х) дх = 1 ( )) л (х) дх. и-и и Е Из этого соотношения и из неравенства ) ) ~н(Х) дХ > ) ()„)Л (Х) ЙХ заключаем, что 1пп ) )н(х) дх > ) ()')л (х) дх, в.— гсо Р Е и поскольку ) 1„(х) дх < М для всех номеров и, то и Е 1(~)ьв(х) дх < М (8.48) и Из неравенства (8.48) и из неубывания по йг интеграла в левой части этого равенства вытекает существование предела 1пп ) (1 ) м(х) дх, и — гос ~) ) и„(х) дх, ') Напомним, что для любого Х > О и для любой функции г (х) мы полагаем (Г)к (х) = п1ш (Х, г'(л)).
) Это неравенство следует из того, что (г"„)н(х) = шш (Х, Г„(х)). которое и означает суммируемосгь ~(х) на множестве Е. Теорема доказана. Сформулируем теперь теорему 8.20 в терминах функционального ряда (в таком виде эта теорема имеет широкое применение). Если каждая функция иа(х) неотрицательна почти всюду но, множестве Е, измерима, и суммпруема на этом ллчожестве и если сходгппся ряд 269 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА то почти всюду на Е сходится ряд (8.49) ии(х); п=1 причем сумма Б(х) рядо, (8.49) суммируема на множестве Е и удовлетворяет условию ) Я(х) ах = ~, / и (х) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
