Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Преобразуем интеграл в числителе формулы (9.11). По формуле среднего значения имеем ь1д1 ~(х, у) Йх = ~(х, у)(Ь(у) — Ь(уо)), (9.12) ь1уо1 причем х заключено между Ь(уэ) и Ь(у). Подставляя выражение интеграла из формулы (9.12) в числитель выражения (9.11) и 282 ИНТВГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯ!ЦИР ОТ НЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 учитывая, что в стллу непрерывности 1(х, у) — + 1(Ь(уо), уо) при д -+ уо, а У У' — + Ь'(до) при у -+ уо, убедимся, что интере- У вЂ” Уо сующий нас предел (9.11) существует и равен Ь'(уо)«(Ь(уо), уо).
Рассуждая совершенно аналогично, убедимся, что третье слагаемое в правой части (9.9) также имеет производную в точке уо, равную аг(уо)1(а(уо): до). Итак, мы доказали, что функция 1(д) дифференцируема в произвольной точке уо сегмента [с, д] и ее производная 1'(уо) может быть вычислена по формуле (9.10). Теорема доказана. Замечание. Теоремы 9.4 и 9.5 верны и в случае, когда функция «(х, д) задана лишь в области «1 и удовлетворяет в этой области таким же требованиям, как и в прямоугольнике П. 8 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1.
Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра. Понятие равномерной сходи- мости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Символом П мы будем обозначать полуполосу (а < <х<со,с<у<д). Пусть в полуполосе П, задана функция 1(х, у), интегрируемая по х в несобственном смысле на полупрямой а < х < оо при любом фиксированном у из сегмента [с, д]. При этих условиях на сегменте [с, д] определена функция «(д) = ХХ(х, у)дх, (9.13) а называемая несобствтгным интегралом первого рода, .зависящим от параметра, у. При этом говорят, что интеграл (9.13) сходится на сегменте [с, д]. В теории несобственных интегралов, зависящих от параметра, важную роль играет понятие равномерной сходимости.
Сформулируем это понятие. Определение. Е«есобственный интеграл (9.13) называется равномерно сходящимся по параметру д на сегмепте [с, д], если он сходится на сегменте [с, д] и если для любого г > 0 мозюно указать такое А > а, зависящее только от в, что для любого В > А и для всех у из сегмента [с, д] выполняется неравенство ] 1(х,у)ах <в.
(9.14) и Сформулируем критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. 1 2 несОБстВенные интеГРллы, злВисЯГцие От 11лРлметРл 283 Теорема 9.6. Для того чтпобы несобственный интпеграл (9.13) равномерно сходился по ттарометру у но, сегменте [с, д], необходимо и достаточно, чтобы для лтобого е > О моэюио было указать число А > а, зависящее тполько от е и такое, что для любых Л' и Л", больших А, и для всех у из сегмента [с, д] ЕО ] ((х,у)дх <е. и' Справедливость этого критерия вытекает непосредственно из определения равномерной сходимости. Для приложений целесообразно указать ряд достаточных признаков равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 9.7 (признак Вейерштпрасса). Пусть функция т"(х, у) определена в полуполосе П, и для каэтсдого у из сегмента [с, д] интегрируема по х на любом сегменте [а, Л].
Пусть далее для всех точек ттолуполосы П„, выполняется нери- ]У(х, УП < 8(: ). (9. 15) Тогда из сходимости интеграла ] 8(х) дх вьчтекает равномера ная сходимость по у тта сегменте [с, д] интеграла (9.13). Доказательство. В силу критерия Коши сходимости интеграла от функции а(х) (см. теорему 3.1) для любого е > О можно указать А > а такое, что при всех Ло > Л' > А выполняется неравенство 18' ]' 8(х)дх < е.
л' Применяя неравенство (9.15), получим л!! лО ] )(х,у)йх < ] 8(х)дх<е и' л' для всех у из сегмента [с, д]. Это и означает выполнение критерия Коши равномерной схо- димости интеграла (9.13). Следствие. Пусть функция ~р(х, у), определенная, в полу- полосе П, ограничена в этой полуполосе и при каэюдом у Е [с, д] интегрируема по х на любом сегментпе [а, Л]. Тогда, если сходится, интегрв,л, ] ]п(х)[ дх, то сходитпся равномерно тто у на сегменте [с, д] и интпегрил / ~р(х, ту)6(х) дх.
а 284 ИНТВГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИК ОТ ЛАРАМЕТРОВ ГЛ. 9 Для доказательства достаточно в теореме 9.7 положить 1(х, у) = 99(х, у)тт(х), 8(х) = М~Ь(х)~, где М = впр ~~о(х, у)~. н Заметим, что признак Вейерштрасса является достаточным признаком равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, гарантирующим и абсолютную сходимость. Аналогично тому, как зто было сделано при доказательстве теоремы 3.4, можно установить следующий достаточный признак равномерной сходимости, применимый и к условно сходящимся интегралам.
Справедливо следующее утверждеьтае (признак Дирихле — Абеля). Пусть функция 1"(х, у) определена в полуполосе П„, при каждом у Е [с, д] интегрируема по х на любом сегменте [оэ Л) и с некоторой постоянной М ) 0 удовлетворяета условию х ~~(1, у)д1 <М. а Предположим также, чттто функция я(х), определенная при х > а, монотпонно не возрастная, стпремип[ся к нулю пра х — т +ос. Тогда несобственный интеграл 1 Пх, у)8(х) дх а сходится равномерно по у на сегменте [с, а]. Следующий признак равномерной сходимости относится к интегралам от неотрицательных функций.
Теорема У.8 (признак Дини). Пусть функция ~(х, у) непрерывна и неотрицательна в полуполосе П,, и пустаь для каэн.дога у Е [с, д] сходится несобственньнй интегра„л 1(у) = [ ((х, у) дх. а Пусть далее функция 1(у) непрерывна па сегменте [с, д]. Тогда интеграл (9.13) сходится равномерно по у на этом сегментпе.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность функпий ата 1„(у) = ) 1(х, у)дх, а каждая из которых в силу теоремы 9.1 непрерывна на сегменте [с, т1). Поскольку подынтегральная функция 1(х, у) неотрицательна, то 1„(у) монотонно не убывая, сходятся на сегменте [с, д) к непрерывной функции 1(у). Следовательно, по теореме 1.5 1 2 несОБстВенные интеГРллы, злВися111ие От плРлметРл 285 а интеграл~ — с1х сходится равномерно по у на сегменте [с, д]. 1д1 / ду а При этих условиях функция 1(у) дифференцируема на сегменте [с, д] и ее производная 1'(у) может быть найдена по формуле 1~(у) = / — 1 ссх.
1 ду и (9. 16) (признак Дини для функциональных последовательностей) по- следовательность 1,(у) сход1лтся к 1(у) равномерно на [с, д]. Это означает, что для любого с ) 0 найдется номер Х такой, что 1(у) — 1~(у) = 1' Л у)дх< а-1- У сразу для всех д сегмента [с, д]. ггз неотрицательности 1(х, у) вытекает, что для любого Л ) Х+ а и любого д Е [с, д] 0 < ] 1(х, у) дх < е. К Это и означает равномерную сходимость интеграла (9.13). Теорема доказана, 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и диф- ференцируемости несобственных интегралов, завися- щих от параметра.
Справедливы следующие две теоремы. Теорема 9.9. Пусть функция з" (х., у) непрерывна в полупо- лосе П,„„и интеграл (9.13) сходится равномерно ни сегменте [с, д]. Тогда этот интеграл является непрерывной функцией у на сегменте [с, а]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность фу нк- ций и-' и 1и(у) = ] 1(х, у) дх, и каждая из которых в силу теоремы 9.1 непрерывна на сегмен- те [с, д].
Очевидно, из равномерной сходимости интеграла (9.13) вытекает равномерная сходимость к 1(у) функциональной по- следовательности 1„(д). В таком случае непрерывность функ- ции 1(у) следует из теоремы 1.7. Теорема 9.10. Пусть функпия 1 (х, у) и ее частная произ- водная — непрерывны в полуполосе Пь,. Пусть далее для некотод1 ду рого д из сегменти [с, д] сходится интеграл 1(у) = ] 1" (х, у) и1х., а 286 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЛАРАМЕТРОВ ГЛ. 9 1ИЬу) = [ У(хц у)дх а По теореме 9.3 каждая из функций 1„(у) дифференцируема на сегменте [с, д] и справедливо равенство ду(г, у) а (9.17) Из условия теоремы вытекает, что последовательность интегралов, стоящих в правой части (9.17), сходится равномерно на [с, д].
Следовательно, к той же предельной функции равномерно сходится последовательность производных 1„'(у). Применяя теорему 1.9, мы получаем равенство (9.16). Докажем теореъ~у о собстоенном тстегрировании несобственного интегралов зависящего от параметра. 'Теорема 9.11.
Если выполнены условия теоремы 9.9, то интеграл (9.13) можно интегрировать по параметру у на сегменте [с, д], причем / 1(у) с1у = / ду / ('(х, у) дх = ] дх ] ~(х, у) ду. (9.18) с а а с Иными словами, в условиях теоремы несобственный интеграл, зависящий от, параметра, можно интегрировать по параметру под знаком несобственного интеграла. Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 9.9, то функция 1(у) непрерывна на сегменте [с, д] и, следовательно, интегрируема на этом сегменте.
Перейдем к доказательству соотношений (9.18). Используя свойство равномерной сходимости интеграла (9.13), мы можем по данному е > 0 указать такое А > а, что при Л > А для всех у из сегмента [с, д] справедливо неравенство ((х, у) дх (9.19) Считая далее Л > А и используя возможность перестановки порядка интегрирования для собственных интегралов, зависящих Иными словами, при условиях теоремы дифференцирование по парамехпру может производиться, под знаком несобствен; ного интеграла, зависящего от параметра.
Доказательство. Рассмотрим последовательность функ- ций г 2 несОБстВенные интеГРллы, злВисящие От плРлметРл 287 от параметра, обратимся к следующим очевидным равенствам: ~1(,у) ду = )' ~ )' ~(х, у) дх + )' Цх, у) 4х ду = с с 1а и =Хдх )1'1х, у)ду +Хду 711х, у)д' Из этих соотношений и неравенства (9.19) вытекает следующее неравенство, справедливое для всех Л > А: ) 1(у) ду — ) дх~) 11х, у) ду < е, с а 1с сс З которое означает, что несобственный интеграл ) дх ) 1(х, у) ду а с по переменной х сходится и равен числу ) 1(у) Йу. Теорема дос казана. Замечание.
Очевидно, в соотношении (9.18) въгесто верхнего предела д интегрирования по у мы можем поставить любое число из сегмента [с, а). Следстпвие. Бсли функция 1'(х, у) непрерывна и неотрицательна в полуполосе П~ и икипеграл (9.13) являепюя непрерывной функцией на, сегменте ~с, д), то справедлива формула (9.18). В самом деле, при сформулированных требованиях выполнены все условия признака Дини равномерной сходимости интеграла (9.13) (см. теорему 9.8). Таким обраюм, утверждение следствия справедливо.
Докажем теорему о несобственнолс интегрировании несобственного ингпегрплщ зивисящего от параметра. Теорема У.12. Лусть функция 1'(х, у) неотрицательиа и непрерьсвна при х > а и у > с. Лусть далее интегралы 1(у) = .Ы*, у) д* К(*) = 3 а*, у) у а с непрерывны соответственно при у > с и х > а. Тогда из сходимости одного из следующих двух несобственных интегралов 1 1(у) ду = ) ду ) 1(х., у) Йх и ) К(х) дх = ) Йх ) ~(х, у) ду с с а а а с вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов. Доказательство.
Допустим, что сходится интеграл 1' 1(у) ду. Нам нужно доказать, что интеграл ) К(х) дх сходится с а 288 ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 и равен ) 1(д) ссд. Иными словами, нужно доказать, что для люс бого е > 0 можно найти такое А > а, что при Д > А выполняется неравенство 00 й ) 1(д) Ид — ) К(х) Йт! < е. (9.20) с а Из условий теоремы вытекает, что при любом фиксированном Л > а для функции 1(х, д) в полуполосе ) и < х < Л, с < д < < со1 выполнены условия следствия из теоремы 9А1. Поэтому для любого 1с > и, справедливы соотношения й й 00 00 и ,) К(х) ) = ) ) ) 1( д) )д= ) д1~(х,д)1. а а с с а Используя эти равенства и сходимость интеграла ) 1(д) од преобразуем разность, находящуюся под знаком абсолютной величины в неравенстве (9.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
