Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Легко видеть, что замыкание Р х Й совпадает с Р х Й. Пусть /(х, 9) -- функция, определенная в Р х й, причем для лЮбОгО уо Е й функция /(Х, 9) интсгрируЕма пО Х в ОблаСти Р. Тогда функцию Т(У) = ) /(х, 9) Их (9.74) 19 определенную в области й., будем называть интегралом, зависящим от параметра у. Заметим, что параметр 9 является После дифференцирования равенства (9.7Ц получим 3 р' . ул + р . р'л = 2(6рл + 2 р') . Приравняв 1 нулю, получим Зл/2~рл(0) = 4л/2, т.
е. ~рл(0) = 4/3. Аналогично из равенства Зрл +4р' р'л+ р. р1м = 2(6рл'+399л). получим ~рл'(О) = л/2/3. Следовательно формулу (9.64) можно записать в виде г(Л) х/2 Г(1/2) ъ'2 Г(3/2) О(1) (9 72) ъ Л 6 ЛИЛ Л~~л7Л Подставим равенство (9.72) в (9.61) и учтем, что Г(1/2) = = л/л, Г(3/2) = (1/2)Г(1/2) = л/л/2. В результате получим Г(Л+1) = л/2ЯЛЛ~е л(1+ — + (,) ). (9.73) 12Л Л9 / Выпишем первые пять членов асимптотического разложения гамма-функции Эйлера: Г(Л+1)= чг2 -ЛЛЛР- л(1+ 1 + 1 139 571 +О(1) ) 12Л 288Л9 51 840Лз 2 488 320 Л~ Лъ Отметим без доказательства, что остаток асимптотического ряда не превосходит последнего удерживаемого слагаемого.
~ в кРлтные интеГРАлы, ЗАВися!Цие От нлРлметРОВ 307 1-мерным вектором и, следовательно, интеграл (9.74) зависит от I числовых параметров у1, уг, ..., у1. В полной аналогии с теоремами 9.9 — 9.12 доказываются следующие теоремы. Теорема 9.14 (о непрерывности интпеграла (9.74) по параметру).
Если функция Г(х, д) непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области Р х Й, то интеграл (9.74) представляет собой непрерывную функцию параметра у в области Й. Теорема 9.1б (об интпегрировании интпеграла (9.74) по параметпру). Если функция 1" (х, у) непрерывна по совокупностпи аргументов в замкнутой области Р х Й, то функцию (9.74) можно инп1егрировап1ь по параметру под знаком инп1еграла, т.
е, справедливо равенство 3' 1(у) ду = 1 дх 3' 1(х, у) ду и и и Теорема 9.16 (о дифференцттруемостпи интпеграла (9.74) по параметпру). Если функция 1'(х., у) и ее частная производд1 ная, — непрерывны в Р х Й, то интеграл (9.74) имеетп в облас' ду, д1 ттти Й непрерывную час1пную производную —, причел1 справеддут ' ливо равенство д1 / д1(х, у) „ дуг,/ дуг о 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров. Понятие несобственного кратного интеграла, зависящего от параметров, можно было бы ввести так же, как и в предыдущем пункте, для случая, когда подынтегральпая функция Г'(х, у) определена в Р х Й, где Р С Ею и Й С Е1.
Однако наиболыпий интерес представляет случай Р = Й, который и будет нами изучен. Кроме того, мы будем предполагать, что 1(х, у) = Е(х, у) б(х), где Е(х, у) непрерьгвна при х ф. у в Р х Р, а функция н(х) ограничена в Р. Таким образом, мы рассматриваем интегралы вида Ъ'(у) = ~'Е(х, 11'И(х) дх., (9.75) и где подынтсгральная функция может иметь особенности лишь при х = у. Нас будет интересовать вопрос о непрерывности интегралов вида (9.75) по параметру у. В связи с этим введем следую1цее опреде;1ение равномерной сходимости интеграла (9.75) в точке. Символом К(уо, б) мы будем обозначать шар радиуса б с центром в точке уо. 308 ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 ) Г(х, у)8'(х)дх < е.
Теорема У.17. Если интеграл, (9.75) сходится равномерно по у в точке уо С Р, то он непрерывен в точке уо. Доказательство. Требуется доказать, что для любого е ) О найдется б ) О такое, что при ~у — уо~ < б выполняется неравенство )«'(у) — «'(уо)( < е. Из определения равномерной сходимости в точке следует существование такого бг > О, что К(уо, б1) С Р и при у Е К(уо, б1) ) Г(х, у)я(х) дх < е/3.
(9.76) Положим «Уу) = 1 Г(х, у)8(х) дх, к «г(у) = ) Г(', у)8(х) дх. п«к (9.77) Из неравенства (9.76) следует., что при (у — уо) < б1 ~«г1(у)! < е!3. (9.78) Далее заметим. что при х Е Р '«К(уо, б1) и у Е К(уо, б1/2) функция Г(х, у) будет равномерно непрерывной по совокупности аргументов. Следовательно, найдется положительное число б < б1/2 такое, что при ~у — уо~ < б будет выполняться нера- венство ~Г(х уо) Г(х у)~ < е ' (ЗЛХ~Р~) где ЛХ константа, ограничивающая функцию я, и ~Р~ обьем области Р. В таком случае, при ~у — уе~ < б Я(У) — «г(Уо)~ < М,) ~1Р(х, Уо) — Г(:с, У)~ дх < е!3 гз«к(до,д~) (9.79) Из соотношений (9.77) — (9.79) следует, что при ~у — уе~ < б Ну) — «г(уо)~ < %(у)~+%(уо)~+ ~«гг(у) — «гг(уо)~ < е.
Теорема доказана. Определение. Интеграл (9.75) назовем сходя и«имся равномерно по паромепгру у в точке уо Е Р, если для любого е > О маак~о указать б > 0 такое, что К(уо, б) С Р и для любой кубируемой области ог С К(уо, б) и всех точек у Е Е К(уо, б) выполняется неравенство *т 6 кРАтные интеГРАлы, ЗАВисящие От НАРАыетРОВ 309 Укажем одно достаточное условие равномерной сходимости интеграла в точке, наиболее часто встречщощееся в приложениях. Теорема 9.18.
Пусть функция Р(х, у) пепрерывтса в Р х Р при х ф- у, а функция я(х) равномертсо ограничена в Р. Предположим, что сутцестпвуют постоянные Л, 0 < Л < ш, и с > 0 такие, что для всех х Е Р, у Е Р выполняется неравенство )Р(х, у)! < с)х — у! (9.80) Тогда интеграл (9.75) сходится равномерно по у в каждой тпочке уо Е Р. Доказательство. Пусть ув произвольная точка области Р.
Требуется доказать, что для любого е > 0 найдется б > 0 такое, что для любой кубируемой области ат С К(уо, д) и всех у Е К(уо., б) выполняется неравенство / Р(х, у)8'(х) дх < е. (9.81) Применяя (9.80) и используя условие ограниченности д(х), получим /Р(х, у)д(х) Йх( < сс / ~х — у~ Йх.
Фиксируем точку у Е К(уо, б) и заметим, что из усттовия ат с К(уо, б) вытекает включение ат с К(у, 2б). Следовательно, Г / Р(х, ту)8(х) дх < сс / ~х — у! л дх. (9.82) ы ь (у, ай Переходя в интеграле в правой части (9.82) к сферическим координатам с центром в точке у (см. гл. 2, 8 5, п. 3'), получим 26 Р(х, У)8(х)дх < сг гт "Йг =" бт = сгб'" т — Л ы 0 Отсюда следует, что, выбрав б достаточно малым, мы получим неравенство (9.81). Теорема доказана. 3. Приложение к теории ньютонова потенциала. Пусть в некоторой точке Рв(х, у, г) помещена масса то. По закону всемирного тяготения на массу т, помещенную в точку М(С, тт, с',), действует сила тто— = — 7 г, Нт где Л = р(Ро, ЛХ) = (х — С)а + (у — т1)а + (г — с,)г, Т - гравитационная постоянная, г = Л/Л единичный вектор, направление 319 ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ которого совпадает с направлением вектора РеМ.
Считая ч = 1 и массу т, = 1, получим силу тяготения т.а— Г = — — 'г. йа Отметим, что компоненты этой силы имеют вид та (~ Очевидно, что потенциал силы тяготения, определяемыи как скалярная функция и такая, что Р = 8гас1 и, равен п(~, г1, б) = Р( ' '"' ) ахмады, 0 (9.83) (9.84) и Нетрудно показать, что интегралы (9.8 ) р д: . .84) п е ставляют собой частные производные потенциала (9.83). у . Поскольку подынтегральные функции в интегралах (9.83) и (9.84) мажорируются функцие —, где й —, Л = 1 для интеграла (9.83) и Л = 2 для интег- дЛ алов (9.84), то в силу теоремы 9.18 указанные интегралы сходятся равномерно в каждои точке ЛХ(,"„9, ' ) ..
д теореме 9.17 эти интегралы представляют собой непрерывные функции точки ЛХ(С, и, ~). арпа и = —. й Если масса сосредоточена не в точке Ре(, у, ), р, р Р (х х) а аспределена по области 0 с плотностью р(х, д, г), то для потенциала силы и зля компонент силы мы получим следующие выражения: ид ГЛАВА 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ Ф'УРЬЕ Из курса линейной алгебры известно, что если выбрать в линейном пространстве к о н е ч н о й р а з м е р н о с т и некоторый базис, то любой элемент указанного линейного пространства может быть разложен `о этому базису (и притом единственным способом), Несравненно более сложным является вопрос о выборе базиса и о разложении по базису для случая бесконечномерн о г о пространства. В настоящей главе этот вопрос изучается для случая так называемых евклидовых б е с к о н е ч н о м е р н ы х пространств и для базисов специального вида (так называемых о р т о п о рмированных базисов).
Особо обстоятельно изучается базис, образованный в пространстве всех кусочно-непрерывных функций так называемой тригонометрической системой. Обобщением идеи разложения функции по базису является изучаемое в настоящей главе разложение функции в так называемый интеграл Фурье ).
Всюду в данной главе интеграл понимается в смысле Римана. й 1. Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье В настоящем параграфе мы будем рассматривать произвольное евклидово пространство б е с к о н е ч н о й размерности г) . Ради удобства чтения приведем определение евклидова пространства. Определение 7. Линейное пространство Л называется е в к л и д о в ы м, если выполнены следующие два требования: 1) известно правило, п<юредством которого любым двум элементам 7' и я пространства Д ставится в соответстоие ') Ж. Фурье — французский математик (1772 — 1837). е) Говорят, что линейное пространство является бес конечномерн ы м, если в этом пространстве найдется любое наперед взятое число линейно независимых элементов.
312 ГЛ. ЬО РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ число, назььваемое скалярнььм произведением этих элеменпюв и обозначаемое символом (з", й); 2) указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам: 1'. ()', й) = (д, () --переместительное свойство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
