Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 60
Текст из файла (страница 60)
2 (э" +й 6) = (зт 6)+(д', 6) распределительное соойство. 3'. (Лз, д) = Л(2", и) для любого вещественного числа Л. 4'. (з', з') > О, если )':~ О 1), ()', (') = О, если ) = О. Классическим примером бесконечномерного евклидова про- странства является пространство всех кусочно-не- прерывных на некотором сегменте а < х < 6 функций. При этом мы договоримся всюду в данной главе понимать под кусочно-непрерывной на сегменте (а, 6) функцией ('(х) та- кую функцию, которая непрерывна всюду на сегьиенте (а, 61, за исключениелц быть может, конечного числа точек х, (1 = 1, 2, ...
..., и), в которых она имеет разрыв первого рода, причем в каждой точке разрыва х; эта функция удовлетворяет условию 1( ) у(' О)+у(т ЬО) (рй ц 2 Таким образом, всюду в этой главе мы требуем, чтобы кугючно- непрерывнагя функиия у (х) в каэкдой точке разрыва х; удовлет- воряла условию (10.1), т. е, была раона полусумме правого и ле- вого предельных значений. Отметим, что в каждой точке непре- рывности функции 1'(х) условие типа (10.1) автоматически спра- ведливо. Скалярное произведение двух любых элементов Г'(х) и й(х) пространства всех кусочно-непрерывных на сегменте а < х < 6 функций определим следующим образом: Ь 0' й) =ХХ(хМх)д .
(10.2) Сугцествовантге интеграла (10.2) от произведения двух кусочно- непрерывных функций не вызывает сомнений. Легко проверить справедливость для скалярного произведения (10.2) аксиом 1' 4'. Справедливость аксиомы 1' очевидна. Справедливость аксиом 2' и 3' вытекает из линейных свойств интеграла. Остановимся на доказательстве справедливости аксиомы 4'. Ь Поскольку очевидно, что всегда (1, г) = ( у2(х) йх > О, то достав, Ь точно доказать, что из равенства(1, 1) = ) 12(х) дх = 0 вытекает, а м ) О обозначает нулевой элемент линейного пространства. 1 1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОЬН1ИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 313 что ) (х) = О, т.
е. является нулевым элементом изучаемого прос- транства. Так как 1(х) кусочно-непрерывна на сегменте [а, 5], то этот сегмент распадается па конечное число частичных сегмен- тов [х, ы х;], на каждом из которых 1(х) непрерывна ~) . Ь Из равенства [ 1~(х) с1х = 0 вытекает, что и для каждого а частичного сегмента [х, ы х,] х, 1~(х) сЬ = О. (10.3) х — 1 Но из равенства (10.3) и из непрерывности ув(х) на сегменте [т:, м х;] следУет, что 1(х) = 0 на [х; м х,;] Я) . Так как последнее равенство относится к каждому частичному сегменту и в точках разрыва справедливо соотношение (10.1), то 1'(х) ив э 0 на всем сегменте [в, 5].
Справедливость аксиомы 4' установлена. Тем самым доказано,что пространство всех кусочно-непре- рывных па сегменте [а, .5] функций является евклидовым прост- рапствогн со скалярным произведением (10.2). Установим следу ющее общее свойство любого евклидова про- странства. Теорема 10.1. Во всяком евклидовом пространстве дл лю- бых двух злементпов 1" и К справедливо следующее неравенство: У,о)'< У, 1) (а, а), (10.4) называемое неравенством Коши — Буняковского.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого вещественного числа Л (ЛУ-Д, ЛУ вЂ” К) >О. В силу аксиом 1'-4' последнее неравенство можно переписать в виде Л (1', 1") — 2Л(1', я') + (я, д) ) О. Необходимым и достаточным условием неотрицательности по- следнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство У а)2 ()' У). (К К) < 0 (10.5) Из (10.5) немедленно следует (10.4).
Теорема доказана. 1\ ) При этом значения 1(х) в граничных точках х, 1 и х, каждого сегмента (х, Ь х,) мы полагаем соответственно равными предельным значениям 1(х, г -ь О) и 1(х, — О). е) Ибо в 6 6 гл. 10 вып. 1 доказано, что если функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на данном сегменте, то интеграл от этой функции по данному сегменту больше нуля.
314 ГЛ. 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Наша очередная задача ввести в изучаемом евклидовом пространстве понятие н о р м ы каждого элемента. Но прежде всего напомним определение линейного нормированного пространства. Определение я. Линейное ссространство Л называется и о р м и р о в а ~ н ы м„если вьсполнены следующие два требования: 1) известно ссравило, посредсспвом которого каэкдому элелсенту 7 пространства 11 ставится в соответствие вещест; венное число, называемое нормой указанного элемента и обозначаемое символом 0'1'0; 2) указасасое пуавссло удовлетооряет следусощим аксиомам: 1'.
/!1'!! > О, если 7 ф О, //1/! = О, если 7' = О, 2'. !!Л1"!/ = /Л/ !/1'!! для любого элемесста 1" и любого вещественного числа Л. 3'. Для любьсг деуса элементов 7' и я шсраведливо следующее ~~У+к~~ < И+ Ы 110.6) называемое неравенством треугольника сили н еравенством Минковского). Теорема 10.2. Всякое евклидова прострассство является нормированным, если в нем норму любого элеменгаа 7' определить равенством ~~~~~ = ч71Гб 110.7) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Достаточно убедиться, что для нормы,. определенной соотношением 110.7), справедливы аксиомы 1' — 3' из определения 2. Справедливость аксиомы 1' сразу вытекает из аксиомы 4 для скалярного произведения. Справедливость аксиомы 2' также почти непосредственно вытекает из аксиомы 1' и 3' для скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости аксиомы 3',т. е.неравенства 110.6).
Будем опираться на неравенство Коши — Буняковского 110.4), которое перепишем в виде ~(У, а) ~ < ЛХ Л Ас% Ф С помощью последнего неравенства, аксиом 1' — 4' для скалярного произведения и определения нормы 110.7) получим сс4 сс= асс и с сс= = Ас'1ГУ) + Яа, И = !!Л + Ы. Теорема доказана. ОРТОНОРМИРОВЛННЫЕ СИСТЕМЫ И ОЬИ1ИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 315 3 а м е ч а н и е. Конечно, в каждом евклидовом пространстве скалярное произведение (и норму) можно ввести не единственным способом. Для нас в дальнейтпем достаточно, что в рассматриваемом евклидовом пространстве существует хотя бы один способ введения скалярного произведения. Фиксировав этот способ, мы всегда в дальнейшем будем определять норму рассматриваемого евклидова пространства соотношением (10.7). Так, в пространстве всех кусочно-непрерывных па сегменте (оэ 12] функций (в соответствии с (10.2)) норма определяется равенством 72 ( 7 (х) дх7 (10.8) и а неравенство треугольника (10.6) имеет вид ь ь ь ) (2'(х) +я(х)]~ дх < / 12(х) дх+ ] 82(х) дх.
(10.9) П а и Введем теперь понятие о р т о г о н а л ь н ы х элементов данного евклидова пространства. Определение о. Два элемента евклидова пространства 2" и 8 называются ар т о г опал ъ ными, если скалярное произведение (17 а) этих элементов равно нулю. Рассмотрим в произвольном бескопечномерпом евклидовохл пространстве Л некоторую последовательность элементов 71717 7)727 . ° ° 7 177П 7 ° ° ° (10.10) Определение Л. Последователь72ость (10.10) назьюается ортпонормиров анной системой, если входя7ц77е в згп7у последовательность элементы попар7ю ортогопальнь2 и имеют норму., равную единице.
Классическихл прихлером ортонормированной системы в пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте — 77 < х < 77 функций является так называемая три г о но метрическая система 1 ООП х э1п х Оог пх Б1п 72х 2772Х 277к 7,77к 227Х У7к Читатель легко проверит, что все функции (10.1Ц попарно ортогопзльны (в смысле скалярного произведения (10.2), взятого при а = — к, 12 = 77) и что норма каждой из этих функций (определяемая равенством (10.7) при а = — 77, 6 = я) равна единице. В математике и в ее приложениях часто встречаются различные ортонормированные (на соответствующих множествах) системы функций.
310 ГЛ. 10 Ряды и интегрй.ч ФуРье Приведем некоторые примеры таких систем. 1'. Многочлены, определяемые равенством Р (х)= ' ' (в=012, ..), 1 д'[(х — Ц'! 2" и! 'дх" принято называть полино мами Лежандра. Нетрудно убедиться, что образованные с помощью этих многочленов функции щ (х) =)» Р„(х) (в=О, 1,2,...) »2»» т 1 2 образуют ортонормированную (на сегменте — 1 < х < 1) систему функций. 2'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
