Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 62
Текст из файла (страница 62)
11 В. А. Ильин н Зс Г. Позняк, часть П навеваемое равенством Парсеваля ). Доказательство. Фиксируем произвольный элемент 1 рассматриваемого евклидова пространства и произвольное положительное число е. Так как система 1!уй) является замкнутой, то найдется такой номер и и такие числа С1, С2, ..., С„, что квадрат нормы, стоящий в правой части (10.16), будет меньше е.
В силу (10.16) это означает, что для произвольного е ) 0 найдется помер и, для которого Ц(! — ~1йг < е. (10.25) й=-1 Для всех номеров, превосходящих указанный номер п, неравенство (10.25) будет тем более справедливо, ибо при возрастании п сумма, стоящая в левой части (10.25) может только возрасти. Итак, мы доказали, что для произвольного е ) 0 найдется номер п, начиная с которого справедливо неравенство (10.25). В соединении с неравенством (10.19) это означает, что ряд 2,' Тйг сходится к сумме Ц)! .
Теорема доказана. 2 й=-1 Теорема 10. б. Если ортонормированная система 1у!й) яв.ляется, замкнутой, то, каков бы ни был, элемент, !", ряд Фгурье этого элемента сходится к нему по !норме рассматриваемого евклидова пространства, т. е. 322 ГЛ. 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ будет утверждать, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте — к < х < к функции 1(х) тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится к ней на указанном сегменте в среднем.
Определение я. Ортонормировасисая система 1ссбс) ссазывается п о л и о щ если, кроме ссулевого злемесста, не существует никикого другого элеменспа 1 динноги евклссдова прослпринспсвиз который бьсл бы орпсогонален ко всем элеменпсам сбь системы (Фь). Иными словами, система (Фь) называется полной, если всякий элемент 1, ортогональный ко всем элементам Фь системы (срь), является нулевым элементом.
Теорема 10.7. Всякая замкнутая ортонормировастая система (усе) является полной. Д о к а и а т е л ь с т в о. Пусть система 1усь) является замкнутой, и пусть 1 . любой элемент данного евклидова, пространства, ортогональный ко всем элементам Фь системы 1сссь). Тогда все коэффициенты Фурье ~ь элемента 1 но систелсе (Фь) равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (10.24) и Ц0 = О. Последнее равенство (в силу аксиомы 1' для нормы) означает,что 1 = О. Теорема доказана. Замечание 3..'с1ы доказали, что в произвольном евклидовом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает ее полнота.
В гл. 11 будет приведен пример, показывающий, что в произвольном евклидовом пространстве из полноты ортонормированной системы, вообще говоря, не вытекает замкнутость этой системы. Талс же будет доказано, что для весьма важного класса евклидовых пространств так называемых гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна ее замкнутости. Теорелса 10.8. Для всякосс полной (сс тем более для, всякой замкнутой) ортонормированной сисспемьс )фь) дви, раэли сньсх элемента 1' и я рассматриваемого евклидова пространства не могут имеспь одинаковьсе ряды Фурье.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы все коэффициенты Фурье элементов 1 и а совпадали, то все коэффициенты Фурье разности 1" — я были бы равны нулю, т. е. разность 1" — я была бы ортогональна ко всем элементам Фь полной системы 1усь). Но это означало бы, что разность 1" — а является нулевым элементом, т. е. означало бы совпадение элементов 1" и я. Теорема доказана. На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье ио произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом пространстве. Наша очередная цель детальное изучение ряда Фурье по тригонометрической системе (10.11).
*г 3 ЗАП!кнутость тРиГОИОметРисгескОЙ системы 323 3 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами. В этом параграфе будет установлена замкнутость (а стало быть, и полнота) тригонометрической системы (10.11) в пространстве всех кусо гнонепрерывных на сегменте — к ( х ( к функций. Но прежде чем приступить к доказательству замкнутости тригонометрической системы, мы установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции так называемыми тригонометрическими многочленами.
Будет! называть тригонометрическим многочлен о м произвольную линейную комбинацию любого конечного числа элементов тригонометрической системы (10.11), т. е. выражение вида Т(х) = Со+ ~у (Сьсов1х+ Севших), ь.=. ! где и любой номер, а Сь и Сь (й = 1, 2, ..., и) произвольные постоянные вещественные числа. Отметим два совершенно элементарных у т в е р ж д е п и я: 1'. Если Р(х) какой угодно алгебраический многочлен произвольной сгггепени и., то Р(соз х) и Р(зш х) суть тригонометрические многочлены. 2'. Если Т(х) -- тригонометрическиймногочлен, то каоюдое из выражений Т(;с) . вшх и Т(х) .
вша х также предстггавляет собой пгригонометрглческий мпогочлеп. Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций !) от аргумента х приводится к линейной комбинации конечного чишга тригонометрических функций от аргументов типа гсх (убедитесь в этом сами). В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие пер и од и ч ес к ой функции.
Функция ! (х) называется и е р и о д и ч е с к о й функцией с периодом Т, если: 1) !'(х) определегга для всех вегцественпых х; 2) для любого вегцествегогого х справедливо равенство )(х+Т) = 1(х). Эторавенство обычноназывают условием периодичн о с т а К рассмотрению периодических функции приводит изучение различных колебательных процессов. ' ) Нод тригонометрическими функциями я данном случае понимаются косинус или синус. гг' 324 ГЛ.
ГО РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Заметим, что все элементы тригонометрической системы (10.1Ц являются периодическими функциями с периодом 2л. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 10.0 (теорема Вейергатрасса). Бела функция 1'(х) непрерывна на сегменте [ — л, к) и удовлетворяет условию 1( — л) = 1(к), тв зту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригономвтри гвскими мнагочленами, т.
е, для этой функции г'(х) и для любого положительного числа е найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что сразу для всех х из сегмента [ — л, к) справедливо неравенство (10.27) [г(х) — Т(х)[ < е. Доказательство. Ради удобства разобьем доказательство на два пункта. 1'.
Сначала дополнительно предположим, что функция 1" (х) является четной, т. е. для любого х из сегмента [ — к, к] удовлетворяет условию 1( — х) = 1(х). В силу теоремы о непрерывности сложной функции у = Г'(х), где х = агссоз1 (см. вып. 1, гл. 4, З 7) функция Р(1) = = 1(агссоз1) является непрерывной функцией аргумента 1 на сегменте — 1 < 1 < 1. Стало быть, по теореме Вейерштрасса для алгебраических многочлепов (см. теорему 1.18 из гл.
1) для любого е ) 0 найдется алгебраический многочлен Р(1) такой, что [1(агссоз1) — Р(1)[ < в сразу для всех 1 из сегмента — 1 < 1 < 1. Положив 1 = сов х, мы получим, что [ г'(х) — Р(соз х) [ < е (10.28) сразу для всех х из сегмента 0 < х < л. Так как обе функции 1"(х) и Р(созх) являются четными, то неравенство (10.28) справедливо и для всех х из сегмента — л < х < О. Таким образом, неравенство (10.28) справедливо для всех х из сегмента — к < х < к., и поскольку (в силу указанного вылив утверждения 1') Р(соьх) является тригонометрическим многочленом, то для четной функции Г(х) теорема доказана.
Заметим теперь, что функцию 1 (х), удовлетворяющую условиям доказываемой теоремы., можно периоди гески с периодом 2к продолжгить на всю бесконечную прямую — оо < х < оо, так что продолженная функция будет непрерывна в каждой точке х бесконечной прямой.
Если функция 1(х) продолжена таким образом, то, поскольку Р(созх) также является периодической функцией периода 2к, мы получим, что для ч в т н о й функции 1" (х) неравенство (10.28) справедливо всюду па бесконечной прямой — со < х < сс. Е 3 ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 325 2'. Пусть теперь /(х) совершенно произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказываемой теоремы.
Эту функцию мы периодически с периодом 2я продолжим на всю бесконечную прямую и составим с помощью этой функции следующие две четные функции: Д(х) + /( — х) (10.29) 2 / ( ) /(*) — /(-т) „„ 2 По доказанному в п. 1' для любого е > 0 найдутся тригонометрические многочлены Т1(х) и Тз(х) такие, что всюду на бесконечной прямой ~/1(х) — 71(х)) < е/4, )/2(х) — То(х)) < е/4, (10.30) и поэтому ~/! (х) ейп х — Т! (х) а1п" х) < е/4, ~/2(х) Я1пх — 72(Х) вп1 Х~ < Е/4. Складывая последние два неравенства, учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, и принимая во внимание равенства (10.29) и (10.30), мы получим, что всюду на бесконечной прямой справедливо неравенство ~/(х)в!пах — Т,(х)~ < /2, (10.31) в котором через Тз(х) обозначен тригонометрический много- член, равный Тз(х) = Т (х) еап х + Тз(х) ашх.
В проведенных нами рассуждениях вместо функции /(х) можно взять функцию /(х+я/2) ') . В полной аналогии с (10.31) мы получим, что для функции /(х + я/2) найдется тригонометрический многочлен Те(х) такой, что всюду на бесконечной прямой ~/(х + я/2) вш~ х — Т1 (х) ~ < е/2. (10.32) Заменяя в (10.32) х на х — л/2 и обозначая через Ть(х) тригонометрический многочлен вида Тв(х) = 71(х — и/2), мы получим, что всюду на бесконечной прямой справедливо неравенство )/(х) сов~ х — Тв (х) ~ < е/2. (10.33) Наконец, складывая неравенства (10.31) и (10.33) и обозначая через Т(х) тригонометрический мпогочлен вида Т(х) = Т1(х) + + Тб(х), мы получим, что всюду па бесконечной прямой справедливо неравенство (10.27). Теорема доказана.
) Ибо вта функция удовлотворяет тем же условиям, что и полученная после продолжения функция ! (х). 326 ГЛ. ГО РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Замечание. Каждое из условий 1) неггрерывности )'(х) на сегменте [ — и, к], 2) равенства значений )'( — г) и г'( г) является необходим ы и условием для равномерного на сегменте — и < х < к приближения функции 1'(х) тригонометрическими многочленами. Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформулировать следующихг образом: для того чтобы функцию 1(х) можно было равномерно на сегменгпе [ — и, и] приблизигпь тригонометрическими многочусенсгми, необходимо и дггсгпаточно, чтобы функция г'(х) была непрерьсвной па сегменте [ — и, и] и удовлетворяла условию Г'( — и) = 1" (и). Достаточность составляет содержание теоремы 10тй Остановимся па доказательстве необходимости. Пусть существует последовательность тригонометрических многочленов (Т„(х)1, равномерно на сегменте [ — и, и] сходящаяся к функции 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
