Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 58
Текст из файла (страница 58)
4) Сходимость интеграла ) ду ) 7'(1, у) л11 установлена непоо о средствеппым вычислением. Итак, при р > 1 и д > 1 формула (9.48) справедлива. Если же выполнены лишь условия р > О и д > О, то по доказанному справедлива формула В(р+ 1 + 1) г(р-Р1)г(о ч- И Г(р -Р а + 2) Из этой формулы с помощью формул приведения для функций В(р., л7) и Г(р) получим опять формулу (9.48).
6. Вычисление определенных интегралов с помощью эйлеровых интегралов. Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решенной, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов. Приведем примеры вычисления обычных и несобственных интегралов путем сведения их к эйлеровым интегралам. 391 ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА 1. Вычислим интеграл 1 ~. 2.1/411+ )-2 1 О Обращаясь к формулам (9.44) и (9.48), очевидно, получим В(5 3) Г(5/4)Г(3/4) 11 (1) (3) 2. Вычислим интеграл к/2 1 = )' аш" 1усоа4 1~рйр. О Полагая х = айпз ~р, получим 1 О 2 3.
Обратимся к интегралу т/2 /Р 1 = ) а1п" файф. О Используя результат, полученный в примере 2 (надо положить д = 1), .найдем Г н1 -'д Ц =-Г(-) '(-",) 2 2 Г(р+ 1) О 2 Имеем далее ГЯ =/ -'~ = Г/ <~~ ~~*. О О 12 Полагая т/х = 2 и замечая, что ) е 1 Ф равен — ) е 1 Ж, полу- О 2 — 00 чим, согласно примеру, рассмотренному в и. 2 3 4 гл.
3 (интеграл Пуассона) '(~)=- Поэтому формула (9.49) примет вид / а Р— 1 а1„д ~Р 2 (9.50) зой ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ й 5. Формула Стирлинга Формулой Стирлинга называют следующую асимптотическую формулу: (9.53) (9.56) I2 и — п(1 + (9.51) гДе ссп — ~ О ссРи и — л оо.
В атом параграфе мы докажем более общую формулу, сколь угодно точно описывающую поведение при больших значениях аргумента гамма-функции Эйлера Г(Л+ 1) = ) 1 е 'дс. (9.52) о Для этого мы воспользуемся так называемым м сто до м Л а п л а с а, опирающимся на следующее утверждение. Лемма 1. Пусть функции, 1" (с), интегрируемая при некотором а > О но, сегменте ~ — а, а), представима в виде 2п — С .((1) =,г. с„8" + 0(1'").
в=о Тогда имеет месит следуюсцол асимптотинеская формула: а ( 1 и Г(т -Р— е и ((1)д2= ~ ~~с 2 + гСП (954) =о Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим соотношение (9.53) в интеграл, стоящий в левой части формулы (9.54), и учтем, что интегралы, отвечающие нечетным степеням ~, обратятся в нуль. Для оценки оставшихся интегралов достаточна убедиться в справедливости при т > О следующего равенства: а ( е 5 5 Г(т+ — ) Сгпсс — ЛС дС ~ ~ 2Г + О(с — Л ) (9 ОО) 2 Л" ьт о Представим интеграл в левой части (9.55) в следующем виде: а са аа ( 22пс — ЛС аа ( 12т — ЛС аса ( 12т — ЛС д1 о о а В первом интеграле в правой части (9.56) произведем замену к = Лс и получим с:а аа ( Г Г(т+ -) о о зоз ФОРМУЛА СТИРЛИНГА Далее заметим, что при Л > 1 и 1 > а справедливо следующее неравенство: — — (Л вЂ” !1а2 — !! е ъ е е Применяя это неравенство, оценим второй интеграл в правой части (9.56) ) е — Л!'г2 !11<е (Л вЂ” !У-' /'12 е ! щ=се Л (958) Г(Л+ 1) = ЛЛт~е Л / е Л(* !в1Л+х1) ох (9.59) Обозначим через я(х) следующую функцию, определенную на полупряллой х > — 1: и ) = к * ~' - ! (1 ~- *).
(9. 60) Тогда равенство (9.59) можно переписать в виде !'(Л+ 1) Ллт!е — л ]' е — ль (х! !1х — 1 (9.61) Нашей целью является изучение асимптотического поведения при Л вЂ” ) +ос следующего интеграла: !(Л) = / е лл'<х! !1х — ! (9.62) Для этого рассмотрим подробнее функцию я(х), определенную равенством (9.60).
Поскольку — 82(х) = — (х — 1п(1+ х)) =, (9.63) то функция 82(х) строго убывает при — 1 < х < 0 и строго возрастает при х > О. Отсюда вытекает, что функция 8(х) строго возрастает на полупрямой х > — 1, причем областью ее значений является вся числовая прямая. Далее, так как функция 8~(х) имеет в окрестности точки х = 0 разложение 8~(х) = х — 1п(1+ х) = х — (х — — + 0(х~)1 = — ' + 0(х~), 2 / 2 Из равенств (9.56), (9.57) и оценки (9.58) вытекает требуемая Формула (9.55).
Лемма доказана, Для того чтобы применить эту лемму, произведем в интеграле (9.52) замену 1 = Л(1 + х). В результате этот интеграл примет вид 304 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЛАРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 — Лг~(х) < — Лхг В таком случае 11(Л) < е л" )' дх = (1 — !б/)е л' . — 1 (9.66) Аналогично оценивается интеграл Тя(Л). При х > с выполняется неравенство 6(х) > а, т. е, д~(х) > аг. Следовательно, при Л > 1 и х > с имеет место оценка е =е — Лег(х) — (Л вЂ” 1)гг(х) — гг(х) — (Л вЂ” Цаг — гг(х) е ' <е 'е то существует строго положительная при х > — 1 функция б(х) такая,что справедливо равенство вб( ) Функция б(х) является бесконечно дифференцируемой при х > — 1, следовательно, бесконечно дифференцируемой будет и функция 6(х) = х „Й(х).
Учитывая вышенаписанное, можно утверждать, что Лц1я функции у = я(х), определенной равенством (9.60), существует обратная функция х = и '(у), строго возрастающая и бесконечно дифференцируемая на всей числовой прямой и удовлетворяющая условию я 1(0) = О. Обозначим зту обратную функцию символом х = 1р(у). Используя указанные выше ее свойства, найдем асимптотику интеграла (9.62). Справедлива следующая теорема. Теорема 9.13. Пусть фу11кция х = 1р(у) является обрат; ной к функции у = и(х), определе1псой раоеиством (9.60). Тогда для интеграла (9.62) при любом фиксирова1том номере и справедлива следующая асимпгпогпическая формула: 11 1(Л) = ~ ' () 2 + (). (9.64) (зт)! Л х ' Л" ь-' т.= 0 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Фиксируем произвольное положительное число а и положим б = 1р( — а), с = 1р(а). Это означает, что а = а(с) = — я(б), и, следовательно, — 1 < б < 0 и с > О. Оценим следующие два интеграла: ь ОО 11(Л) = ) е Лг 1х) дх, 19(Л) = / е Лг 1х) дх (9.65) — 1 с Для оценки первого интеграла заметим, что при — 1 < х < б выполняется неравенство д(х) < — а, т. е. и (х) > а и, сле41овательно, 305 ФОРмула стиРлингл Отсюда мы получаем 12(Л) < е (л !)и' /'е х'!*) дх = с!е л' .
(9.67) с Из оценок (9.66) н (9.67), которым удовлетворяют интегралы (9.65), л!ы получаем для интеграла (9.62) следующее соотношение: 7(Л) = ~ . к (*) с1т+ О(. ' ). (9.68) Произведем в интеграле (9.68) замену переменной 1 = я(х), т. е. х = ~р(1). В результате получим Т(Л) ) е — л!'!д Яс11+0(е — л ') (9 69) Поскольку функция ос'(1) является бесконе шо дифферепцируемой, воспользовавшись формулой Маклорена, представим ее в виде 2п — 1 р'(1) = ~ сс (О) !" + 0(г2").
Ы в=о Для получения формулы (9.64) остается применить лемму к функции 2'(с) = !р'(с). Теорема 9.13 доказана. В заключение этого параграфа укажем следующий простой способ вычисления производных !р!ь)(0). Из равенства (9.63) мы получаем х -ь ! у(1) + ! Из этого равенства вытекает соотношение !!2'(1) = — = 2я ~'( ) = 21 а' Р(!) Ф1) Таким образом, мы получаем следующее равенство: !р(1)!р'(1) = 21+ 21р(1).
(9.70) Последовательно дифференцируя это равенство и полагая 1= 0, мы определим все производные !!2)в)(0). найдем для примера значения первых трех производных функций ~р(1) в нуле. Продифференцировав (9.70), получим [!р'(с)) + !!!(1)!д" (1) = 2+ 2(йр'(1) + !!2(1)). (9.71) Положим 1 = 0 и учтем, что !р(0) = О. Тогда !р' (0) = 2, т.
е. !!!~(0) = У'2 306 ИНТВГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИВ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ. 9 8 6. Кратные интегралы, зависящие от параметров 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров. Пусть х = (х1, х2, ..., х„,) произвольная точка области Р гп-мерного евклидова пространства Е, а 9 = (91, 92, ... ..., у1) — точка области й пространства Е . Обозначим символом Р х Й подмножество (1+ т)-мерного евклидова пространства, состоящее из всех точек г = (г1, г2, ..., г„,чл) таких, что точка (х1, х2, ..., Б~) п))ипадлежит Р, а точка (хтт1, хт ~.2, ..., х,„чл) принадлежит й. При этом мы будем часто использовать обозначение г = (х, у) е Р х й. Замыкание области Р мы будем обозначать символом Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
