Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ниже мы убедимся, что интегралы (9.35) и (9.36) сходятся для значений р > О и д > О. 1. Область сходимости интегралов Эйлера. Докажем, что функция В(р, д) определена для всех положительных значений параметров р и «7, а функция Г(р) для всех положительных значений р. Займемся сначала функцией В(р, 9). При р > 1 и д > 1 подынтегральная функция в соотношении (9.35) непрерывна, и поэтому интеграл в правой части (9.35) является собственным.
Поэтому функция В(р, д) определена для всех отмеченных значений р и д. Обратимся теперь к случаю, когда выполняются одно или оба из следующих неравенств: О<р<1, 9<9<1. (9.37) В этом случае одна или обе из точек х = О и х = 1 являются особенными точками подынтегральной функции. Имея это в виду, ') Подробные сведения об интегралах Эйлера читатель может найти в книге Э. Г. Уиттекера и Дж.
Н. Ватсона «Курс современного анализа», т. П.. Мз Физматгиз, 19бз. В этом интеграле р и 9 считаются параметрами. Если эти параметры удовлетворяют условиям р < 1 и д < 1, то интеграл (9.35) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров р и д, причем особыми точками этого интеграла будут точки х = О и х = 1. Эйлеровым интегралом второго рода или «гамма-функцией» принято называть несобственный интеграл ИНТЕГРАЛЫ ЭИЛЕРА 295 представим В(р, о) в следующей форме: !12 ! В(р, о) = ) хи !(1 — х)» Йх+ ( х" !(1 — х)» !дх= о !12 = 1 (р, й) + 12(р, 9). Очевидно, каждый из интегралов 1Др, д) и 12(р, д) имеет лишь одну особую точку. !12 Для интеграла 1!(р, д) = ( х" !(1 — х)» ' дх особой точкой о будет точка х = О.
Замечая, что на сегменте 10, 1121 функция (1 — х)» непрерывна и поэтому ограничена некоторой константой С, легко убедиться, что функция Сх" ! будет мажорантой для подынтегральной функции интеграла 1!(р, у). Отсюда следует, что интеграл 1!(р, д) сходится при О < р < 1 и любом д. Рассуждая аналогично, легко убедиться, что интеграл 12(р, о) сходится при О < д < 1 и любом р. Итак, ъ!ы убедились, что в случае, когда выполняются неравенства р > О и д > О интеграл (9.35) сходится, т. е.
функция В(р, 9) определена длл всех !!алоэ!с!!тельных эначшгий р и о. Перейдем теперь к функции Г(р). ГИы уже отмечали, что интеграл (9.36) имеет два типа особенностей интегрирование по полупрямой и особую точку х = О. г1тобы разделить эти особенности, разобьем область интегрирования на две части так, чтобы на каждой части наблюдалась лишь одна из отмеченных особенностей. Например, можно представить Г(р) следующим образом: СО Г(р) = ) е ''хх ! дх + ) е ххг ! дх = 1! (р) + 12(р).
о ! Так как ~е *х" ~ < х" при х > О, то, согласно частному признаку сравнения, интеграл 1!(р) сходится при р > О. Интеграл 12(р) также сходится при р > О. Чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться частным признаком сравнения в предельной форме: 1пп е *х' = О при любом г. Итак, мы доказали, что х — !эсю областью определения функции Г(р) является !юлупрямая р > О. 2. Непрерывность интегралов Эйлера. Докажем, что функция В(р, о) непрерывна в квадранте р > О, д > О, а функция Г(р) непрерывна на полупрямой р > О. Займемся сначала функцией В(р, д).
Для доказательства непрерывности В(р, о) в квадранте р > О, о > О, очевидно, достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла (9.35) относительно параметров р и 9 при р > ро > О и о > ув > О для любых фиксированных поло- 296 ИНТРГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИВ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 жительных значений рО и «19. 'Так как ре — 1 < р — 1, 99 — 1 < 9 — 11 то при О < т < 1 справедливы неравенства .Р— «(1 .)9 — ! < Ро — «(1 )99 — ! Отсюда и из сходимости интеграла ] х"' ' (1 — х)9' ' «1х вытека- О ет в силу признака Вейерштрасса равномерная сходимость интеграла (9.35) для указанных значений р и «1.
Таким образом, непрерывность В(р, ««) при р ) О и д > О доказана. Для доказательства непрерывности Г(р) на полупрямой р ) О, очевидно, достаточно установить равномерную сходимость интеграла (9.36) относительно параметра р при О < ре < р < р! для любых фиксированных значений ре и р«, удовлетворяющих условию О < рО < р«. Так как при указанных значениях р, ре и р! и при х > О справедливо неравенство Š— хтг — ' < Š— х1ХРΠ— ' + Хна — «] то из сходимости интеграла ] г — х(хго — «+ хю «] дх О следует в силу признака Вейерштрасса равномерная сходимость интеграла (9.36) для указанных значений р. Таким образом, непрерывность Г(р) при р > О доказана.
3. Некоторые свойства функции Г(р). В этом пункте мы докажем существование производной любого порядка у функции Г(р). Кроме того, для этой функции будет получена формула, называемая формулой приведения. Дифференцируя Г(р) по параметру под знаком интеграла, получим следующий интеграл: ] х" 'е *1пхдх., (9.38) О который сходится равномерно по параметру р на любом сегменте О < рО < р < р!. В самом деле, абсолютная величина подынтегральной функции в интеграле (9.38) удовлетворяет на полупрямой О < х < оо неравенству.
]хг 'е 1пх] < е *]1пх](х"' '+х"' '). Отсюда из сходимости интеграла — х] 1„]( Ро — «! Р1 — !) О следует, согласно признаку Вейсрштрасса, равномерная сходимость интеграла (9.38). Это обстоятельство и непрерывность ИНТЕГРАЛЫ ЭИЛЕРА 297 подынтегральной функции в интеграле (9.38) 1) при 0 < х < оо, 0 < р < со позволяет сделать вывод о возможности дифференцирования Г(р) по параметру под знаком интеграла. Итак, проиввггдная Г'(р) суигествует и равна выраогсению (9.38). Рассуждая аналогично, легко убедиться, что функция Г(р) имеет производную любого порядка и эта производная может быть найдена посредством дифференцирования по параметру р под знаком интеграла в выражении (9.36) для Г(р). Перейдем к выводу формулы приведения для функции Г(р).
Применяя формулу интегрирования по частям для функции Г(р+ 1) при р ) О, получим Г(р+ 1) = ( "е д = ( — *".' *)а+рай *" с *д =рГ(р). о о Итак, для любого р ) 0 справедлива формула Г(р+ 1) = рГ(р). (9.39) Последовательно применяя формулу (9.39) для любого р ) гг — 1 и любого натурального п, получим Г(р+ 1) = р(р — 1)... (р — п+ 1)Г(р — п+ 1).
(9.40) Сооп|ошепие (9.40) называется формулой приведения для функции Г(р). С помощью формулы (9.40) гамма-функция для значений аргумента, больших единицы, «приводитсяа к гамма-функции для значений аргумента, заключенных между нулем и единицей. Так как Г(1) = ) е * дш = 1, то, полагая в (9.40) р = п, о получим Г(п+ 1) = п(п — 1)... 2 1 = и,.' Эта формула ниже будет использована нами для вывода так называемой формулы Стирлинга ), дающей асимптотическое представление для п.'. Полученные сведения о функции Г(р) позволяют дать качественную характеристику графика этой функции. Мы приведем геометрическое исследование графика Г(р), следуя в основном схеме, изложенной в 9 6 гл.
9 вып. 1 этого курса. Мы установили, что областью задания Г(р) служит полупрямая 0 < р < со. На этой полупрямой Г(р) непрерывна и дифференцируема любое число раз, причем лгобая производная может быть найдена дифференцированием выражения (9.36) для Г(р) ' ) Эта функция представляет собой частную производную по параметру р подынтегральной функции в выражении (9.36) для Г(р). ) Стирлинг- — шотландский математик (1692- 1770). 298 ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ.
9 по нарамет)зу р под знаком интеграла. В частности, вторая производная Г '(р) равна Гн(р) = ( хв '(1пх) е тс1х. о Так как Гл(р) > О, то первая производная Г~(р) может иметь только один нуль. Поскольку Г(1) = Г(2) 1), то, согласно теореме Ролля, этот нуль производной Г'(р) существует и расположен на интервале (1, 2). Поскольку Гл(р) > О, то в точке, где Г'(р) обращается в нуль, функция Г(р) имеет минимум. Отметим также, что график Г(р) обращен выпуклостью вниз.
График функции Г(р) имеет вертикальную асимптоту в точке р = О. В самом Г(р-Р П деле, так как Г(1) = 1 и Г(р) =, то из непрерывности Г(р) р в точке 1 следует, что Г(р) э +ос при р — + 0 + О. Очевидно, Г(р) э +ос при р — + +со. Отметим без доказательства, что график функции Г(р) не имеет наклонных асимптот.
4. Некоторые свойства функции В(р, с1). В этом пункте мы установим свойство симметрии функции В(р, д) и формулу приведения для этой функции. Сделаем в интеграле (9.35) замену переменной, полагая х = 1 — 1. 11роделав необходимые вычисления, мы убедимся в справедливости равенства в(р, о) = в(~, р), (9.41) которое выражает свойство симметрии функции В(р, с)). Установим для функции В(р, д) формулы приведения. Для этой цели обратимся к функции В(р, д+ 1), причем будем считать р и 1) положительными.
Применяя интегрирование по частям и формулу х" = х" — х" (1 — х), получим В(р, д+ 1) = (' х" '(1 — х)9 с1х = о о 1 — (х" (1 — х)9 — хР (1 — х)9) Йх = р/ о = -' В(Р, 9) — -' В(Р, 9+ Ц. р ' р ') Это следует из соотношения (9.39). 299 интегРАлы эйлеРА Из этих ссютношений получаем следующую формулу: В(р, 9 + 1) = †" В(р, 9). (9.42) р-ьо Совершенно аналогично при р > О и д > О,.
получаем соотно- шение (9.43) г в(р,д) = ) а. (9.45) — ,/ (1 ,. 1),~-я о Обратимся теперь к выражению (9.36) для Г(р). С помощью подстановки и = 1у, 1 > О, преобразуем это выражение к виду е "цР пу 1Р о Заменив в этой формуле р на р+ д и 1 на 1 + 1, получим Р(Р+д) /" (1,~, „„, (1 ь 1)~-и / о р — 1 Умножим обе части последнего равенства на 1Р и проинтегрируем по 1 от О до со. Очевидно, согласно соотношению (9.45).
получим формулу Г(р+9)В(р,д) = ( пг ) уР'о ~1Р е (1+')" Иу. (9.47) о о (9.46) В(р+1., д) = " В(р, 9). р-ьо Формулы (9.42) и (9.43) называются формулами приведения для функции В(р, д). Последовательное применение этих формул сводит вычисление В(р, д) для произвольных положительных значений аргументов к вычислению этой функции для значений аргументов из полуоткрытого квадрата О < р < 1, О < д < 1. 5. Связь между эйлеровыми интегралами. Сделаем в 1 интеграле (9.35) замену переменной, полагая т = —. В резуль- 1-ь1 тате получим для В(р, д) следующее выражение: в(р,д) = / ' и.
(9.44) -/ (1+„... о Используя формулу (9.41), получим наряду с (9.44) следующее выражение для В(р, д) зоо ИНТЕГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 Если в правой части соотношения (9.47) можно люменять местами порядки интегрирования по 1 и у, то, учитывая (9.46), получим Г(р+д)В(р,д) = ) угла е "л1у) 1Р ле ~ал11 = о 0 урча е " " л1д = Г(р) д" 'ле "л1у = Г(р)Г(д), ув о а т.
е. будет доказана справедливость формулы В(р, о)— (9.48) г(р-Ра) ' Убедимся теперь в возможности изъленения порядка интегрирования в правой части (9.47). Для этого нужно проверить выполнение условий теоремы 9.12. Пусть сначала р ) 1 и д ) 1. Тогда, очевидно, выполнены условия теоремы 9.12. В самом деле: 1) функция Г'(1, у) = 1Р ур+а е л +')д неотрицательна и непрерывна в квадранте 4 > О, д > О. 2) Интеграл О'(1, у) ду = 1Р 1) угча 'е О+'1" л1у = (1ч-1) -~- есть непрерывная функция от 1 при 1 ) О. 3) Интеграл О(1, д) М = до+а ле ") 1Р ле ~" г11 = Г(р)уа ле " а а есть непрерывная функция от у при у ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
