Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 54
Текст из файла (страница 54)
4 8 4 получим, что Д(х) — Д(х) = О почти всходу на К. Следовательно, в силу (8.58) Д(х) = Дх) = Д(х) почти всюду на К, и поскольку функции Дх) и Д(х) измеримы на множестве Е, то по свойству 4' из п. 2 3 3 и функция Д(х) также измерима на множестве Е. Теорема доказана. ГЛАВА 9 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ В этой главе мы изучим специальный класс функций, который характеризуется общим наименованием «интегралы, зависящие от параметра». Представление об этих функциях можно получить, если проинтегрировать по х при каждом фиксированном у функцию двух переменных х и у.
В результате, очевидно, получится функция, зависящая от параметра у. Естественно возникают вопросы о непрерывности., интегрируемости и дифференцируемости таких функций. Эти вопросы будут изучены в настоящей главе. Совершенно ясно, .что интегрирование по аргументу х не обязательно должно быть собственным если область, в которой задана функция 1" (х, у), является бесконечной полосой П = = (и < х < оо, с < у < сЦ, то интегрирование по х при фиксированном у будет производиться по полупрямой, и поэтому соответствующий интеграл по переменной х будет несобственным.
Таким образом, возникает понятие несобственных интегралов, зависящих от параметра. В этой главе будут изучены свойства таких интегралов. Подчеркнем, что всюду в этой главе изучаются функции, интегрируемые по Рнману, а не во Лебегу, и все интегралы, собственные или несобственные, понимаются в смысле Римана.
й 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Пусть в прямоугольнике П = (а < х < 6, с < у < д1 определена функция 1'(х, у), интегрируемая по х на сегменте а < х < 6 при любом фиксированном у из сегмента с < у < д.
В этом случае на сегменте с < у < и' определена функция ь 1(У) = ) 1(х, У) йх, ( 1) а называемая интегралом., зависящим от параметра у. Функция 1'(х, у) может быть задана и на множестве более общего вида. Например, областью задания 1(х, у) может служить сле- 278 ИНТВГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИВ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ. 9 дующее множество Р = (а(у) < х < 6(у), с < у < а1.
В этом случае на сегменте [с, д] определена функция от у с помощью соотношения (9.1), но пределы интегрирования а и 6 будут зависеть от у. Мы изучим сна сала случай, когда пределы интегрирования постоянны. 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости интегралов, зависящих от параметра. Следующие теоремы дают ответ на перечисленные вопросы. В этих теоремах символом П мы будем обозначать прямоугольник (а < х < Ь, с < у < д). Теорема 9.1. Если функция 1'(х, у) непрерьсвпа в прямоугольспскс П, то функция 1(у), определенная соотношением (9.1), непрерывна на сегменте [с, д]. До к азат с лье тв о. Из формулы (9.1) вытекает, что прирагцение сл1 = 1(у+ г.'ьу) — 1(у) функции 1(у) равно ь дь1 = ] [~(х, у+ гну) — ~(х, у)] дх.
(9.2) а Поскольку по теореме Кантора функция 1(х, у) равномерно непрерывна в прямоугольнике П, то по данному г ) О можно указать такое б ) О, что при всех х из [а, Ь] и всех у и (у + + гну) из [с, д] таких, что [сьу[ < д, выполняется неравенство [1(х, у+ сьу) — 1(х, у)[ < . Но тогда из соотношения (9.2) Ь вЂ” а вытекает, что при [сьу[ < д выполняется неравенство [ьь1[ < г, которое означает непрерывность функции 1(у) в каждой точке у сегмента [с, д]. Теорема доказана. Теорема 9.2.
Если функция Г'(х, у) непрерывна в прямоугольнике П, то функция 1(у) интегрируема на сегменте [с, д]. Кроме того, справедлива формула с лГЬ ь а ] 1(у) ду = ] ~~~(х, у) дх~ ду = [ дх 1 1"(х, у)ду. (9.3) с с с а с Иными словами, в условиях теоремы интеграл, гависяиЬий от, параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла.
До к азате льет во. Согласно теореме 9.1 функция 1(у) непрерывна на сегменте [с, и] и поэтому интегрируема на этом сегменте. Справедливость формулы (9.3) следует из равенства повторных интегралов, фигурирующих в соотношении (9.3) (эти интегралы равны двойному интегралу 01(х, у) дхду. Теорема и доказана. ь 1 сОБстВенные интеГРллы, ЗАВиснщие От НАРАметРл 279 3 а и е ч а н и е. В соотношении (9.3) вместо верхнего предела й интегрирования по у мы можем поставить любое число из сегмента [с, й). Теорема 9.3. Если функция 7" (х, у) и ее чостпая производная — непрерывны в прямоугольнике П, то функция 1(у) дифд( ' ау й7 ференцируема на сегменте [с, й) и ее производная — может йу быть найдена по формуле Ь (9.4) йу „( ду а Иными словами, в условиях теореизы интеграл, зависящий от параметра., можно дифференцировать по параметру под зпаком интеграла.
Доказательство. Рассмотрим следующуювспомогательную функцию: ь (9.5) Так как — непрерывна в прямоугольнике П, то по теореме 9.1 дт' ду функция д(у) непрерывна па сегменте [с, й[ и интеграл от этой функции по сегменту [с, у[ может быть найден по формуле интегрирования под знаком интеграла. Согласно замечанию к теореме 9.2 получим и ь д ь ь П з 9(ь) йс = йх 1 *' ййс= 1~(х, у) йт, — 1~(х, с) йх. (9.6) дь с а с а а ь ь Поскольку [ Г'(х, у) йх = 1(у), а [ 7" (х, с) йх = 1(с), то из соотношения (9.6) полу чаем следующее представление для 1(у): с 1(у) = [ и(1) йь'+ Т(с), (9.7) с Как известно, производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции д(Ь) существует и равна значению этой функции в точке у.
Поэтому функция 1(у) дифй7 ференцируема и ее производная — равна 9(у). Обращаясь к йу формуле (9.5) для е(у), мы убедимся в справедливости соотношения (9.4). Теорема доказана. 280 ИНТВГРЛЛЫ, ЗЛВИСЯЩИК ОТ ЛЛРЛМЕТРОВ ГЛ. 9 3. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра. Мы уже говорили, что возможен случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра. Будем считать, что функция 1 (х, у) задана в прямоугольнике П, который заключает в себе область Р, оллределеяную соотногпениями (а(у) < х < Ь(у), с < у < а1 (рис. 9.1). Если при любом фиксированном у из сегмента [с, а] функция 1(х, у) иитегрируема по х па сегменте [аЬ) Ь(у)] то очевидно па гег менте [с, д] определена следующая функция; 6<<9) 1(у) = ] Х(х, у)дх, (9.8) алул представляющая собой инплеграло зависящий от параметра, у которого пределы интегрирования также Рис.
9Л зависят от параметра. Мы исследуем непрерывность и дифференцируемость по параълетру таких интегралов. Следующие теоремы дают ответ на перечисленные вопросы. Теорема 9.4. Пусть функция, 1(<с, у) непрерьлвна в прямоугольнике П, а функции а(у) и Ь(у) непрерывны на сегмелипе [с, д]. Тогда функция 1(у), определюрная соотноилепием (9.8), непрерывна на сегменте [с, д].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольное ув из сегмента [с, д] и представим Х(у) в следующей форме: ьлуо) 6<У< а<р) 1(у) = [ Х(х, у) дх+ ] Х(х, у) <Хх — ] 1(х, у) дх. (9.9) алуа) 6(ро) а(ро) Так как первый интеграл в правой части (9.9) представляет собой интеграл, зависящилл от параметра у, с постоянными пределами интегрирования и с непрерывной подынтегральвой фувкцией, то в силу теоремы 9.1 этот интеграл является непрерывной функцией от у и поэтому при у — + ув стреьлится к 1(ув).
Для двух других интегралов получаем следующие оценки: 6(р~ 3 Х(х у) дх <ЛХ]ЬЬ) — ЬЬ9)], 6<уол а(у) 1(х, у) <Кх <ЛХ]а(у) — а(уо)], алрол где ЛХ = аир]1 (х, у) ]. Из последних неравенств и из непрерывно- и сти функций а(у) и Ь(у) следует, что при у — + ув оба последних *о 1 сОБстВенные интеГРллы, ЗАВисящие От НАРлметРл 281 интеграла в правой части (9.9) стремятся к нулю. Таким образом, предел правой части (9.9) при у э уо существует и равен 1(уо).
Итак, функция 1(у) непрерывна в любой точке уо сегмента [с, е1), т. е. непрерывна на этом сегменте. Теорема доказана. Докажем теорему о дифференцируемости интеграла 1(у) по параметру. Теорема 9.5. Пусть функция 1(х, у) и ее произоодссая— д1 ду непрерыопы е прямоугольнике П. Пусть далее функции а(у) и Ь(у) дифференцируемы на сегменте [с, е1). Тогда фусскция 1(у), определетсая соотносиением (9.8), дифферелсцируема на сегменте [с, д] и ее производная 1'(у) может быть еы сислена по формуле ь1у) 1'(у) = ~ — 1 дт, + Б'(у)~(Ь(у), у) — а'(у)1(а(у), у).
(9.10) ау "' осу) Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольное уо из сегмента [с, е1) и представим 1(у) в форме (9.9). Первый интеграл в правой части (9.9) является интегралом, зависящим от параметра у, с постоянными пределами интегрирования.
Так как по условию с" (х, у) и — непрерывны в П, то, согласно теореме 9.3, д1 ау первое слагаемое представляет собой дифференцируемую функцию в точке уо и производная указанной функции в этой точке 61уо) а1(х, уо) равна / ' дх. Докажем, что второе слагаемое в правой осуо) ау части (9.9) имеет производную в точке уо. Поскольку это второе слагаемое обращается в нуль при у = уо, достаточно убедиться в существовании следующего предела: смс 1(х, у) дх 1пп (9.11) у-эуо у — уо который по определению и равен искомой производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
