Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Определение. Если существует конечный предел 1л (/') при зУ вЂ” у оо, то функция 1(х) называетсл с ум мир уемой (по Лебегу) на множестве Е, а указонньпй предел называется и и т е г р а л о м от функции Дх) по множеству Е и обозначаетсл символом / 1(х) Йх. Е Итак, по определению / /'(х) дх = 1пп 1л Ц). и Х вЂ” гсо ю ) Ибо для любого вещественного а является измеримым множество / Е (1 > о) пря о, ( Я, пустое множество при а > Ж. Убедимся в том, что если неотрицательная на множестве Е функция 1(х) суммируема на згпом множестве, то 1(х) моэкет обрагцатьсл в +со только на подмноэ1сестве Е, име1вщем меру нуль. В самом деле, положим Ее = Е [1' = +ос) и учтем, 260 МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ ГЛ.
8 что из (8.40) и (8.39) (в силу свойств 4' и 5' из предыдущего пункта) вьпекает цепочка неравенств 1л У) = Я) В(х) дх > И) В(х) дх > )' йГ дх > 1У ~Ее ~. Е Ео Ео Но из неравенства 1еЯ > К~Ее~ следует, что предположение ~Ео~ > О пРивело бы к томУ., что 1пп 1еЯ был бы Равен +со. Х вЂ” гоо Добавим к этому, что всякая функция 1" (х) суммируема на множесппве мерь1 нуль.
(Этот факт очевиден.) Переходя к выяснению общих свойств суммирусмых функций, прежде всего отметим, что для неотрицательных суммируемых функций справедливы свойства 2' — 5'., установленные в предь1дущем пункте для ограниченных интегрируемых функций ). В качестве примера приведем доказательство свойства 3'. Из (8.39) сразу же вытекают следующие неравенства: (.)1)ю/2(х) + (12)л72(х) > (11 + 12)м(х) ~ ~(э 1)я(х) + (12)х(х)~ справедливые при любом Х > О в любой точке х множества Е.
Интегрируя эти неравенства по множеству Е 2), мы и установим свойство 3' для произвольных неотрицательных су.ммируемых функций 11 и 12. Доказательство для таких функций остальных свойств 2' — 5' предоставим читателю. Перейдем к выяснению еще двух фундаментальных свойств произвольных неотрицательных суммируемых функций. Теорема В.1 7 (свойстпво полной аддитпивнос ти ) . Пусть множество Е представляет, собой сумму счетлюго числа попарно непересекающихся измеримых л1ножеств Еь, т. е.
Е = () Еь. Тогда справедливы следующие два утверждения. в=1 1. Если неотрицательная фу11кция 1'(х) суммируема на мноэюестве Е, то 1" (х) суммируема и па каждом мноэ1сестве Еь, причем справедливо равенство 1 Г(х)дх = 2 ) ~(х)дх. (8.4Ц Е Й=1Еь П. Если неотрицательная на мпоэ1сестве Е функция 1(х) сумлгируема на каждом множестве Еь и если ряд в правой части (8.41) сходится, то функция )'(х) суммируеми и на множестве Е и для нее справедливо раоеяство (8.41). ') Постоянная и в свойстве 2' должпа быть при этом неотрицательной.
е) При этом мы используем свойства 5' и 3' для ограниченных интегрируемых функций. 261 ИНТЕГРАЛ ЛКБЕГА ) 1(х) пх — 2' ,/ 1(х) пх = ) 1(х) дх < М 1 дх = М~Л„~ — й О и в=1 Ей н„ (при п -+ оо). Последнее соотношение доказывает теоремы ? и П для случая ограниченной интегрируемой функции. 2) Докажем теперь теорему 1 для произвольной неотрицательной суммируемой функции. Суммируемость 1(х) на каждом Ей сразу же вытекает из неравенства ) 11)е(х) пх < 1'11)А"1х) ох Ей Е н из неубывания по ДГ интеграла в левой его части.
Остается доказать равенство (8.41). С помощью доказанного в п. 1) и неравенства (1 ) е (х) < ~ (х) получим ~'Ц)е(х)ох = ~ ) (~)е(х)дх < ~ ) У(х)дх. (8.42) и й=1Ей й=1Ей Переходя в последнем неравенстве к пределу при Х вЂ” й оо, будем иметь ) 1 (х) 11х < 2,' ) 1 1',х) дх. Е й=1Ей (8.43) С другой стороны, в силу свойств, доказанных в предыдущем пункте, для любого номера на пп т И))ЕЮ 1 = Е 1ОеО 1 > Е 1Яе( ) 1х, Е й=1 Ей й=1 Ей и устремляя в пош1еднем неравенстве сначала Х к оо, а уж зател1 гп к оо, мы получим неравенство 1 Их) 11х > Е ) 1(х) г1х, Е й — -1Ей которое в соединении с (8.43) доказывает (8.41). 3) Докажем, наконец, теорему П для произвольной неотрицательной суллмируемой функции. Заметим, что достаточно Доказательство.
1) Сначала докажем теоремы 1 и П для о г р а н и ч е н и о й неотрицательной интегрируемой функции 1 (х). Пусть существует постоянная М такая, что 1 1х) < М всюду на Е. Положим Лп = Ц Ей и заметим, что в силу й=п-1-1 теоремы 8.8 ~Лп~ = 2; ~Ей~ — + О (нри п — > оо). Но тогда на й=п-~-1 основании свойств 4', 5' и 1' МЕРЛ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ доказать только суммируемость 1(х) на множестве Е (ибо равенство (8.41) будет при этом вытекать из уже доказанной нами теоремы 1). Но суммируемость |(х) па Е сразу же вытекает из неравенства (8.42) и из сходимости ряда в правой части этого неравенства.
Теорема полностью доказана. Теорема 8.18 (свойство абсолютной непрерывности интеграла). Если функция )(х) неотрицагпельна и суммируема на множестве Е, то длл любого положительного е нойдетсл положителььюе число 6 такое, что, каково бы ни было измеримое подмножество е множества Е с мерой ~е~, меньшей, б, справедливо неравенство ||[к)дх<.. Доказательство.
1) Пусть сначала неотрицательная функция 1(х) ограничена, т. е, найдется М такое, что 1(х) < М. Тогда (на основании свойств установленных в предыдущем пункте) | |(х)дх<М / дх=М~е~<Мб<г при 8<=. ЛХ г е 2) Докажем теперь теорему для произвольной неотрицательной суммируемой функции 1(х). Фиксировав произвольное е ) ) О, мы (на основании определения суммируемости) можем выбрать Х = Х(е) такое, что [1'(х) — (1)к(х)1 дх < —. (8.44) С помощью (8.44) и неравенства (1)л.(х) < Х, получим | 1(х) Йх = [|(х) — (1)л~(х)1 дх+ (|)к(х) Йх < — + зУ дх = е е е е = — + М ~е~ < — + зУб < е, 2 2 если только 6 < е|(2Х(е)).
Теорема доказана. В заключение укажем еще два свойства., справедливые исключительно для неотрицательных суммируемых функций. Условие эквивалентности нулю неотрицательной суммируем ой функции. Если функция|(х) неотрицательна, измерима и суммируема на множестве Е и ИНТНГРЛЛ ЛЕБЕГЛ если интеграл ] Г(х) дх равен нулю, то функция Г(х) эквива- Е лентни тождестпвенному нулю на множестве Е. Доказательство. Достаточно доказать, что мера множества Е [!' > О] равна нулю. Убедимся сначала в том, что для любого а > 0 равна нулю мера множества Е„= Е[Г' > а].
В самом деле, ес1нг бы мера ]Е '] была положительна, то получили бы неравенство [ )'(х) дх > ] ~(х) дх > аЕ, > О, противо- Е Е речащее условию ] 1"(х) дх = О. Теперь остается заметить, что справедливо равенство Е [1' > О] = О Е [!' > 1Я, из которого ь=! следует., что ]Е [г' > 0]] < ~ ]Е [г' > 1Я] = О. Ь=! Мажорантный признак суммируемости неотрицательной измеримой функции.
Если функция 11(х) неотрицительни и измерима но, множестве Е, а функция ~2(х) суммируеми ни Е и если всюду на, Е т1раведливо неравенство 11(х) < 12(х), то и функция 11(х) суммируема на мноэюестве Е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что 1'(Ы О™х<1(Ы. ( )д <1фг(:)дх Е Е Е и учесть, что интеграл, стоящий в левой части последнего неравенства, является неубывающей функцией Х. 5. Интеграл Лебега от неограниченной функции произвольного знака. Предположим теперь, что измеримая функция ~(х) нс является, вообще говоря, ограниченной на множестве Е и принимает на этом множестве значения любых знаков. Введем в рассмотрение две ггнеотрицательные функции 2 2 первая из которых Г ~ (х) совпадает с Г (х) на множестве Е [1 > 0] и равна нулю на множестве Е [1' < О], а вторая Г' (х) совпадает с — Г" (х) на множестве Е [!" < О] и равна нулю на множестве Е [!" > О].
Очевидно, Г+(х) + !' (х) = [!'(х)[, !+(х) — !' (х) = =й ). Определение. Функция ~(х) низьюается с у м,м и р у е— м о й на множестве Е, если на этом множестве суммируема каждая из неотрицательных функций Г'+(х) и Г' (х). При этом разность интегралов ] 2' '(х) дх — ] 1 (х) дх называется Е Е 264 ГЛ.
8 МЕРЛ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ интегралом Лебега отп функции 7(х) по множеству Е и обозначается символом ) 1'(х) Йх. Е Итак, по определению ( ~(х) дх = ) ~+(х) дх — / ~ (х) Йх. (8.45) Вместо термина «суммируемая функция» часто употребляют термин «интегрируемая фупкцияж Совокупность всех суммируемых на множестве Е функций обычно обозна |ают символом 1 (Е) или А1(Е). Запись 7"(х) Е Е 7 (Е) означает, что 1" (х) принадлежит классу Е(Е), т.
е. является измеримой и суммируемой на множестве Е функцией. Подчеркнем, что измеримая на мноэкестпве Е функция, ('(х) суммируема на Е тогда и только тогда, когда суммируема на Е функция ~ ('(х) ~. В самом деле, если 7 (х) суммируема на Е, то по определению каждая из функций 7"т(х) и ~ (х) суммируема на Е, а стало быть, и сумма указанных функций ~э(х) + )' (х), равная ~~(х) ~, суммируема на Е. Коли же суммируема на множестве Е функция ~ ((х)~, то из измеримости на Е каждой из функций Г+(х) и 7' (х) и нз неравенств 1 (х) < ~~(х)~, 1 (х) < ~~(х)~, в силу мажорантного признака суммируемости неотрицательной измеримой функции (см. конец предыдущего пункта), вытекает, что каждая из функций Г'+(х) и (' (х) суммируема на Е, а это и означает, что функция 1(х) суммируема на множестве Е.
Таким образом, для интеграла Лебега (в отличие от интеграла Римана) иптегрируемость функции 1(х) эквивалентна интегрируемости ~ Г" (х) ~. Перейдем к вопросу о с в о й с т в а х произвольных суммируемых функций. Сразу. же отметим, что для произвольных суммируемых функций справедливы свойства 2' — 5', установленные в и. 3 для ограниченных интегрируемых функций н в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
