Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 66
Текст из файла (страница 66)
теорему 10.2 ) См. неравенство (Ь33). Ги)<г — в Справедливо следующее утверждение. Лемма я. Если функция ф(к) кусочно-непрерывна на сегменте [ — я, я) и периодически (с периодом 2я) продолзссегса на всю бесконечную прямую, то интееральньсй модуль непрерывности этой функции на указанном сегменте 1(б, 1") стремится к иулю пргс б — г О.
Доказательство. Фиксируем произвольное е ) О. Согласно теореме 10.10 (о замкнутости тригонометрической системы) для функции Г(ге) найдется тригонометрический мпогочлен Т(т) такой,что 1 5 БОлее тОчные УслОВЛЯ РлвномеРнОЙ схОДиуиОсти 341 из вып. 1) для фиксированного нами е > 0 найдется 6 > 0 такое, что при ]и] < б и при всех 1 из [ — х, я] ]Т(1+ и) — Т(1)] < е1(6я), и потому )' ]Т(й+ и) — Т(1)]г(1 < е,13. (10.60) Сопоставляя неравенство (10.59) с неравенствами (10.57), (10.58) и (10.60), получим, что ] ]д" (1+ и) — )'(1)] М < е (10.61) для всех и, для которых ]и] < 6. Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е к л е м м е 2. Легко убедиться, что стремление к нулю интегрального модуля непрерывности 1(6, у) при 6 э О имеет месгпо не только длл любой кусочно-непрерывной, но и длл любой интегрируемой (в собственном смысле Римана) на сггмгшпг [ — к, к] функции У(х). Для доказательства этого фиксируем произвшгьное г ) О и заметим, что в силу интегрируемости б(г) на сегменте — к < г < и найдется бо ) О такое, что для л ю б о г о разбиения сегмента ( — х, к] на частичные сегменты длины, меньшей бо, разность между верхней и нижней суммами функции у(г) будет меньше г/4.
Фиксируем некоторое разбиение Т сегмента ( — к, и] на частичные сегменты р а в н о й длины 6 < бо. Из того, что У(г) — периодическая функция, вытекает, что для любого ]и] < 6 и для фиксированного нами ргюбиения Т сегмента —.г < 1 < и разность между верхней и нижней суммами функции б(4+ и) (при достаточно малом 6) будет по крайней мере меньше г/2. Но отсюда следует, что при фиксированном нами разбиении Т разность между верхней и нижней суммами функции (У(1+ и) — У(1)] при г г 3 любом ]и] < 6 будет меньше: + — = -г.
Обозначим для фиксированного 4 2 4 нами разбиения Т верхнюю и нижнюю суммы функции ]((г+ и) — г" (г)] соответственно через з' и г, а верхнюю и нижнгого суммы функции ]у (1+ и)— — 1(4)] соответственно через Я и г, В з б гл. 10 вью. 1 установлено, что для любого разбиения верхняя и нижняя суммы о и г самой функции и верхняя и нижняя суммы о и г мОдуля Этой функции свяэапы соотнешепиЕм о'— — г < о — г. Таким образом, для фиксированного нами разбиения Т справедливо неРавенство о — г < Зггг4. Но это означает, что дла фиксиРованного нами разбиения Т разность между л ю б о й интегральной суммой функпии ] ((4+и) — г(г)] и интегралом ] ] У(1+и) — б(г)] гй меньше числа Зг/4. Если мы выберем в этой интегральной сумме все промежуточные точки бь в центре соответствующих частичных сегментов длины 6 и потребуем, чтобы число и удовлетворяло неравенству ]и] < бгг2, то обе точки бг и бг З- и будут принадлежать й-му частичному сегменту, и потому разность ] ) (сг + и) — 1(бг)] 342 ГЛ.
»О РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ не будет превосходить колебания ЛХ» — и»» функции 1(») на Л-и частичном сегменте ') . Но тогда вся указанная интегральная сумма нс будет превосходить суммы Е(Л1в — т»)».'»»ю равной разности верхней и нижней сумм функции 1(») для разбиения Т, т. е. не будет превосходить числа ег»4. Отсюда следует, что при ~в~ < 6,»2 интеграл ) ~1(»+и) — 1(»)~ д» не превосходит числа е, что и доказывает стремленио 1(6, 1) к пуп»о при 6 -ч О. [ [1 (х + 1+ и) — 1'(х + 1) ~ М < е (10.62) при (и! < 6.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделав в интеграле, стоящем в левой части (10.62), замену переменной т = х + й [' ~((х+ 8+ и) — 1(х+1)~ Ж = [' [('(т+ и) — ((т)~ дт — х -х-~-х и заметив, что (в силу равенства (10.52)) ггтх г ~1(т+ и) — 1(т)~ Йт = [ ~1(т+ и) — 1(т)~ Йт» -я-~-х — г мы убедимся в том, что неравенство (10.62) является следствием (10.61). Следствие х. Если каждая из функций 1 (1) и и(1) кусочно- непрерывна на сегл»енте [ — к, т»1 и периодически (с периодом 2к) продолжена на всю бесконечную прямую, то функция г 1(х) = (' ~(х+1)К(1) д1 являегпся непреръ»вней функцией х на сегменте — к < х < к. Доказательство. Пусть х ---любая точка сегмента [ — гг, к1. Тогда гг 1(х+ и) — 1(х) = [' [~(х+1+ и) — ~(х+1))й(6) М, ') Через ЛХ» и ть мы обозна»аем точную верхнюю и точную нижшо»о грани функции 100 на А-м частичном сегменте.
Извлечем теперь из леммы 2 ряд важных для дальнейшего следствий. Следсп»вие 1. Если функция 1'(1) кусочно-непрерывна на сегменте [ — к, к) и периодически (с периодом 2к) продолжена на всю бесконечную прямую, а х о-т»юбая фиксированная точка сегмента [ — к, к), то для любого е > 0 найдется, б ) 0 такое, что *э 5 БОлее тОчные УслОВия РАВнОмеРнОЙ схОЛимОсти 343 и поскольку кусочно-непрерывная на сегменте [ — к, к] функция 6(1) удовлетворяет на этом сегменте условию ограниченности [6(1)[ < М, то [1(х+ и) — 1(х)[ < М ] [('(х+ 1+ и) — ('(х+1)[агу и потому в силу (10.62) для любого е ) 0 [1(х+ и) — 1(х)[ < е при [и[ < б(е).
Непрерывность 1(х) в точке х доказана. Следствие о. Если каждая из функций 1" (1) и и(1) кусочно- непрерывна на сегменте [ — к, к] и периодически (с периодом 2к) продолжена на всю бесконечную прямую, пло тригонометрические козффициенгпы Фурье функции г" (х, 1) = 1(х + 1)6(1) при разложении ее по перемеглной Х (10.63) а„(х) = — 1(х+ 1)н(1) сов пгг(г, Ь„л(х) = — 1(х+ 4)д(4) в1пп161 (10. 64) стодлнпся к нулю (при и, — + оо) равномерно опгносительно х на сегменте. [ — к, к] (а стало быть., и на осей бесконечной прямой). Доказательство. Для любой фиксированной точки х сегмента [ — к, к] функция г'(х, 1) = 1(х + 1)д(1) является кусочно-непрерывной функцией аргумента 1 на сегменте [ — и, к] и, стало быть, для этой функции справедливо равенство Парсе- валя со я '* ' .~ ~ь;.ь) ~ ь,ог = -' ~ л ь ~.
с, (е лс (~0.05) Из равенства (10.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке х сегмента [ — к, к]. Так как указанный ряд состоит из неотрицательных членов, то в силу теоремы Дини ) для доказательства равномерной на сегменте [ — к, к] сходимости указанного ряда достаточно ) См. следствие 1 иэ и. 3 г 3 этой главы. ) См. теорему 1.5 (формулировку в терминах рядов). 344 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ.
10 доказать, что как каждая функция а„(х) и бв(х), так и сумт ма ряда (10.65) — ] 1"~(х + 1)62(4) д4 являются непрерывными функциями х на сегменте [ — и, и], но зто сразу вытекает из предыдущего следствия (достаточно учесть, что квадрат кусочно- непрерывной функции является кусочно-непрерывной функцией и что сов п1 и вш п4 при каждом фиксированном номере п являются непрерывными функциями). Следствие 4. Если каждая иг функоий 1" (1) а я(1) кусочно- непрерывна на сегменте [ — и, т] и периодически (с периодом 2к) продолжена но, всю бесконечную прямую, то последоволпель- ность с„(х) = — Г(х+ 1)6(1) в|в[и+ — )1М я д 2/ (10.66) ) Сегмент (о, Ь) являотся соворьтецно произвольным.
В частности, этот сегмент может не содержаться целиком в ( — л, я). сходится к нулю равномерно оп1носительно х на сегменте [ — к, и] (а стало быть, и на всей бесконечной прямой). Доказательство. Достаточно учесть, что 11 01и(п+ -)1 = сов п1 вш — + в1пп8 сов —, 2 2 2 и применить предыдущее шгедствие, беря в (10.63) вместо е(1) функцию у(1) вш —, а в (10.64) вместо у(1) функцию 6(1) сов —.
2 2 4. Принцип локализации. В этом пункте мы докажем, что вопрос о том, сходится или расходится тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерывной на сегменте [ — к, к] и периодичес- кой (с периодом 2к) функции Г'(х) в данной точке хо, решается лиигь на основании поведения функции 1'(х) в как угодно ма- лой окрестности точки хо. Это замечательное свойство три- гонометрического ряда Фурье принято называть и р и н и и- пом локализации.
Начнем с доказательства важной леммы. Лемма о (лемма Римана). Если функциями(х) кусочно- непрерывна на сегменте [ — к, к] и периодически (с периодом 2л) продолжена на всю бесконечную прямую и если эта функция обращается в нуль на некотором сегменте [а, 6] '), то для лю- 6 — а бого полохсительного числа б, меньшего, пгригонометри- 2 ческий ряд Фурье функции 1'(х) равномерно на сегменте [а, + б, б — б] сходится к нулю, г 5 БОлее тОчные УслОВЛЯ РлвнОмеРнОЙ схОдимОсти 345 Доказательство. Пусть б произвольное положитель- 6 — а ное число, меньшее —. Частичная сумма тригонометричес- 2 кого ряда Фурье функции 1'(х) в произвольной точке х бесконечной прямой определяется равенством (10.55).
Полагая при б ( ]1] ( к, 2 егн 2 (10.67) 0 при ]Ь] <б и учитывая, что 1(х + А) равняется пулю при ус.човии, что х принадлежит сегменту [о, + б, Ь вЂ” б], а Ь принадлежит сегменту ] Ь ] < б 1), мы можем следующим образом переписать равенство (10.55) для каждой точки х сегмента [а+ б, 6 — б]; Остается принять во внимание, что последовательность, стоящая в правой части последнего равенства, в силу следствия 4 из п. 3 сходится к нулю равномерно относительно х на всей бесконечной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
