Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Будем обозначать модуль непрерывности функции у'(х) на сегменте [а, 6] символом оз(д, )). Итак, по определению ) ог(д, 1) = зпр [1(х') — 1(хл)[. [х' — хл]<г х', х" Е [а, Ь] Непосредственно из теоремы Кантора (см. вьш. 1, теорему 10.2) вытекает, что модуль непрерывности ог(д, у) любой непрерывной на сегменте [а, 6] функиии 1(х) стремится к нулю при д-+О г) Однако для произвольной только непрерывной на сегменте [а, 6[ функции у'(х) нельзя, вообще говоря, ничего сказать о и о р я д к е ее модуля непрерывности о~(д, )') относительно малого д.
Покажем теперь, что если функция г (х) дифференцируема на сегменте [а, 6] и, ее производная г' (х) ограничена па эгпом сегменте, то модуль непрерьнности функции у (х) на указанном сегменте ю(д, у") имеет порядок ог(д, 1") = О(д) 3) .
') Напомним, что символ Е означает «приг|адлежит», тах что запись х, х с [а, Ь] означает, что точки х и х принадлежат сегменту [и, Ь]. ~) Ибо (в силу теоремы Кантора) для любого с > О найдется Ь > О такое, что [1(х~) — у(х~~)] < г для всех х~ и хв из сегмента [о, Ь], удовлетворяющих условию [х' — х" [ < б. ) Напомним, что символ о = 0(д) был введен в главах 3 и 4 вып. 1 и обозначает существование постоянной М такой,что [о[ < ЛХЬ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10 В самом деле, из теоремы Лагранжа ) вытекает, что для 10 любых точек х' и хв сегмента [а, 6] найдется точка б, заключенная между х' и хп и такая, что [«(х') — «(хп)[ = [«'(()[ ]т« — хл]. (10.49) Так как производная «'(х) ограничена на сегменте [а, 6], то найдется постоянная М такая, что для всех х из этого сегмента [«'(х)[ < М и, стало быть, [«'(с)[ < М. Из последнего неравенства и из (10.49) заключаем, что [«(х') — «(хв)[ < Мб для всех х' и хп из [а, Ь], удовлетворяющих условию [х' — хп[ < б.
Но это и означает, что со(б, «) < Мб, т. е. о2(б, «) = 0(б). Пусть о -любое вещественное число из полусегмента 0 < < се < 1. Определение х. Будем говоритьь что функции «(х) принадлежит на сегменте [а, 6] классу Гель дера Со с показателем ст (О < се < 1), есл,а модуль непрерывности функции «(х) на сегменте [а, 6] имеет порядок ы(б, «) = 0(бо).
Для обозначения того, что функция «(х) принадлежит на сегменте [а, 6] классу Гёльдера С, обычно употребляют символику: «(х) Е С [а, 6]. Сразу же отметим, что если функция «(х) дифференцируема на сегменте [а, 6] и ее производная ограничена на этом сегменте, то эта функция заведомо принадлежит на сегменте [а, 6] классу Гельдера С ) (это утверждение нспосрсдствонно вытекает из ! 20 доказанного вылив соотногисния ог(б, «) = О(б)). Замечание. Пусть «(х) е Со[а, 6]. Точную верхнюю грань дроби ] ' ' ' )] на множестве всех х' и х", принадлежащих ]в тл[ сегменту [а, 6] и пе равных друг другу, называют копстапт о й Г е л ь д е р а (или к о э ф ф и ц и е н т о м Г о л ь д е р а) функции «(х) (на сегменте [а, 6]). Сумму константы Гельдсра функции «(х) на сегменте [а, 6] и точной верхней грани [«(х)[ на этом сегменте называют г е л ь д е р о в о й н о р м о й функции «(х) на сегменте [а, 6] и обозначают символом [[«[[с ( Пример.
Функция «(х) = Агх принадлежит на сегменте [О, 1] классу С'12, ибо для любых т,' и хв из [О, 1], связанных условием х' > х", справедливо неравенство [«(х') — «(хп)] = ъ'х' — хл х х ' < Агх' — х (при этом константа Гельдера, ух'-Ь /тл ') См. теорему 8.12 из вып 1. ) Класс Гельдора С, отвечающий значению о = 1, часто называют классом Лип шипа. 1 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РГГВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 337 являющаяся точной верхней гранью на (О, Ц дроби ттхг -> уГХГУГ равна единице, а гельдерова норма равна двум). 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. Пусть 1(х) произвольная кусочно-гладкая на сегменте".
~ — тг, я) функция. Эту функцию мы периодически (с периодом 2я) продолжим на всю бесконечную прямую ') . Обозначим через оту(ху )') частичную сумму тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) в точке х, равную и ло(х, у') = — '+ ~(ай сов ггх+ бьв)п(гх). (10.50) 2 к=1 Вставляя в правую часть (10.50) значения коэффициентов Фурье 2) ао = — 1,1(у) с(ту, ) 71 л аь = — 1(у) сов агут(уу ЬГГ = — ('(у) в)пйус(у (й = 1, 2, ...) — 7à — к и учитывая линейные свойства интеграла, мы получим, что для любой точки х бесконечной прямой '71 у (,.Г) = — ) т(у)( — 7.2 ( Йу у,у- 1 уу 1 у:)~ ту = — 71 ГГ и = — ) т(77)~-4 К .У(У вЂ” )~ УУ.
)7=1 11 7 По договоренности, принятой еще в з 1, кусочно-непрерывная функция У(х) в каждой точке х обязана иметь значение, равное полусумме правого и левого предельных значений. Чтобы это свойство имело место и для функции Дх), периодически (с периодом 2п) продолженной на всю бесконечную прямую, мы должны потребовать, чтобы для продолженной фУнкции имело место соотношение т (к) = т ( — к) = т(1 ( — и+ О) + 7 (к — О)). Иными словами, мы назовем определенную на бесконечной прямой функцию у(х) периодическим продолжением кусочно непрерывной па сегменте ( —.Гг, тг) функции У(х), если обе эти функпии совпадают па интервале — к < х < я и если определенная на бесконечной прямой функция ((х) удовлетворяет условию периодичности Д(х-~-2к) = У(х) и условию Д(к) = Д(г и) = —,'[Д(-тг -)-О) + 1(я — О)). т) См.
формулы (10.23). 338 ГЛ. 1О РЯДЫ И ИНТЕГРЛ.Ч ФУРЬЕ Сделав в последнем интеграле замену переменной у = 1+ х, придем к следующему выражению: я — х п х.)*,г)= — ) л )(- у; ~ . )10. ) гг ) )2 х=1 ) г'(1) сИ = ) Г®М '). (10.52) Равенство (10.52) позволяет нам следующим образом переписать формулу (10.51) (10.53) Вычислим сумму, стоящую в (10.53) в квадратных скобках. Для этого заметим, что для любого номера к и любого значения 1 ) Для доказательства этого утверждения достаточно, пользуясь свойство:я аддитивности, представить интеграл ) К(1)ггг в виде суммы трех интегралав г (1) г12 -Р 1 г (1) дс -'г 1' Г(1) ггг и заметить, что с помощью условия периодичности г (1) = г (Г Ч-2х) и замены переменной 1 = у — 2х первый из указанных трех интегрююв приводится к третьему, взятому со знаком минус.
Действительно, г(1) гй = ) г(1-Р 2х) Ж = ) Р(у) гну = — ) г(у) ду. Заметим теперь, что так как каждая из функций 1(х + 1) и — + 2 сов кг~ является периодической функцией переменной 1 2 с периодом 2к, то вся подынтегральная функция в (10.51) (обозначим ее кратко через Г(г)) является периодической функцией 1 с периодом 2к.
Заметим также, что интегрирование в (10.51) идет по сегменту ( — к — х, к — х], имеющему длину, равную 2я, т. е. равную периоду подынтегральной функции. Воспользуемся следующим элементарным утверждением: если г"(г) -- интегрируемая по л)обому конечгюму сегменту периодическая функция периода 2я, гпо все ингпегральг от этой функции по любому из сегментов, имеющих длину, равную периоду 2к, равпьг меэ)сдд собой, т.
е. для любого х 5 5 БОлее тОчные УслОВЛЯ РАВнОмернОЙ схОДимОсти 339 справедливо равенство 2 вш — сов йб = яп~й + — ) 6 — вш~й — — ) 6. 2 2 2 Суммируя это равенство по всем номерам й, равным 1, 2, ..., Гц получим п 2яп — гу совй6 =вшпп+-)6 — яп-. 2 2 2 6=1 Отсюда 2яп — ~-+ у совй6~ = вшпп+ — )6 и, стало быть, ! в1п(п т — ) 6 — + ~~7 совй6~ = 2 вГп 2 (10.54) Подставляя (10.54) в (10.53), мы окончательно получим следую- щее выражение для частичной суммы тригонометрического ря- да Фурье: 77 1 втп(77+ -)1 ,Ув(х, «) = 1 («(х+6) 2 д6, 2 вГп— (10.55) ') Ибо величина 110.55) длн функции «1х) = 1 равна сумме (10.50), в которой ае = 2, ов = 6в = 0 при й = 1, 2, ...
— 7Г 2 справедливое в любой точке х бесконечной прямой. Замечание. Из формулы (10.55) и из того, что все частичные суммы ов(х, 1) функции «(х) ив з 1 равны единице вытекает следующее равенство: к . 1 Г в1п(77 -Ь вЂ” )1 (10.56) 2мп— — 77 2 3. Интегральный модуль непрерывности функции. Пусть функция «(х) интегрируема (в смысле собственного интеграла Римана) на сегменте ~ — тг, н). Эту функцию мы периодически (с периодом 277) продолжим на всю бесконечную прямую. Определение. Длл любого б из полусегмента 0 < б < 2н 77азовем интегральным модулем непрерывности функции «Г,х) на сегменте ~ — 77, к) псочную верхнюю грань интеграла ,)' й +и)-П6)~д6 на множестве всех чисел и7 удовлетворлю7цих условию ~и~ < б. 340 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ.
10 Будем обозначать интегральный модуль непрерывности функции 1"(т) па сегменте ( — я, л1 символом 7(с1, Г'). Итак, по определению 7(б., г") = аир ) ~((1+и) — ((1)~Ж < е/(Зъ'2я), и потому на основании неравенства Коши — Буняковского 1) (' ~У(1) — Т(1)~д1 < т < е/3. (10.57) Из неравенства (10.57) и из того, что 1(1) и Т(М) являются периодическими функциями периода 2к, заключаем, что для любого числа и л / /~(1+ и) — Т( с + сс) ~ и'с < е,с 3.
(10.58) Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит суммы модулей этих величин, то для любого числа и справедливо нера- венство ~~(1+ и) — 1(с)~ас < ) ~((1+и) — Т(с+и)~дс+ — т — т + ) )Т(1+ и) — Т(8)) сЫ+ ) )Т(1) — Г'(1)) д1. (10.59) Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригонолсетрического многочлена и теоремы Кантора. (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
