Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Лемма доказана. Непосредственными следствиями доказанной леммы являются сведующие две теоремы. Теорема 10.13. Пусть функция 1'(х) кусочно-непрерывна на сегменте [ — я, я] и периодически (с периодом 2к) продолэюена на всю бесконечную прямую, и пуспгь [а, 6] некоторый сегмент. Длл того ппобы гпригонометрический ряд Фурье функ- Ь вЂ” о ции 1(х) при любом положительном б, меньшем, схо- 2 дилсл (к этой функции) равномерно на сегменте [а + б, Ь вЂ” б], достато но, чтобы существовала кусочно-непрерывная на сегменте [ — и, к] и периодическая (с периодом 2к) функция я(х), обладающая равномерно сходящимсл на сегменте [а, Ь] тригонометрически.м рлдом Фурье и совпадающая на сегменте [а, Ь] с функцией 1(х). Доказательство. Применяя лемму 3 к разности [1(х)— — й(х)], мы получим, что тригонометрический ряд Фурье раз- Ь вЂ” а ности [1'(х) — я(х)] при любом б из интервала 0 < б < 2 сходится к нулю равномерно на сегменте [а+ б, Ь вЂ” б], а отсюда ) В силу того, что функция 1(х) равна нулю на всем сегменте (о, Ь).
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10 и из равномерной на сегменте [а, О) сходимости тригонометрического ряда Фурье функции и(х) вытекает равномерная на сегменте [а+ б, 5 — о) сходимость тригонометрического ряда Фурье функции Г(х). Тот факт, что последний ряд сходится на сегменте [а+о, 5 — о~ именно к функции 1(х) непосредственно вытекает из следствия 5 п. 3 3 3 этой главы. Теорема доказана. Теорема 10.1~.
Пуспгь функция 1(х) кусочно-непрерывна на сегменте [ — к, я) и периоди гески (с периодом 2к) продолжена на всю бесконечную прямую, и пусть хо —. некоторая точка бесконечной прямой. Для гпого чтобы тригонометрическггй ряд Фурье функции 1'(х) сходился в точке хв, достаточно, чтобьс сущесгпвовала кусочно-непрерывная на сегменте [ — к, я) и периодическая, (с периодом 2я) функция я(х), обладающая, сходящимся и точке хо тригонометрическим рядом Фурье и совпадающая с 1'(х) в как угодно малой б-окрестности точка хо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить лемму 3 к ра и д 31 ности [1(х) — и(х)) по сегыснтУ [хо — —, ха + — ~ и Учесть, что 2 2 из сходимости в точке хо тригонометрических рядов функций [1(х) — й(х)) и й(х) вытекает сходимость в этой точке и тригонометрического ряда Фурье функции 1(х).
Теорема доказана. Теорема 10.14 ие устанавливает конкретного вида условий, обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) в точке хо. Она лишь доказывает, что эти условия определяются только поведением 1(х) в как утодно малой окрестности точки хо (т. е, имеют л о к а л ь н ы й характер).
5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гельдера. В этом и в следующем пунктах мы займемся уточнением условий., обеспечивающих равномерную сходимость и сходимость в данной точке тригонометрического ряда Фурье. Докажем с.чедующую основную теорему. Теорема 10.15. Если функция г'(х) принадлежит на сегменгпе [ — к, к) классу Гельдера Са с каким угодно полоэкительным. показателем о(0 ( о ( 1) и если., кроме того, 1"( — к) = = 1" (к), гпо тригонометрический ряд Фурье функции 1'(х) сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [ — к, к). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Как обычно, будем считать, что функция 1'(х) периодически (с периодом 2к) продолжена на всю бесконечную прямую. Условие 1'( — к) = 1'(к) обеспечивает принадлежность так продолженной функции классу Гельдера С~ на всей бесконечной прямой. Пусть х любая точка сегмента [ — г, к).
Умножая обе части равенства (10.56) па 1"(х) и вычитая полученное при этом 1 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ уСЛОВИя ВЛВНОМЕРНОЙ СХОдИМОСТИ 347 равенство из (10.55), мы получим равенство Г ь1п(п+ -)1 Яп(х, ~) — Пх) = — / [~(х+1) — ~(х)) 2 Ж. (10.68) Д 2яп— Из условия принадлежности 1 (х) классу Гельдерн Со вытекает существование постоянной М такой, что (10.69) ~У(х + 1) — )'(х)~ < М 1 во всяком случае для всех х и всех 1 из сегмента [ — я, лг[. Фиксируелг произвольное е > 0 и по нему б > О, удовлетворяющее неравенству Лу бо о 3 (10.70) Разбивая сегмент [ — и, и[ на сумму отрезка ~ 1 ~ < б и множества б < (1) < я, мы придадим равенству (10.68) следующий вид: яп и-Ь вЂ” 1 з'(х) г, 2/ с х 2яп— 6<!1)<х 2 (10.71) 6<)1)<х Для оценки первого из интегралов в правой части (10.71) вос- 1 я пользуемся неравенством (10.69) и учтем, что < для 2 язв 2 всех 1 из сегмента [ — я, я[ 1) .
Мы получим, что для любого е1п х ) Указанное неравенство сразу вытекает из того, что функция при х явх изменении х от О до к/2 убывает от 1 до 2/к. Факт убывания функции ,' яп хл' сов х в свою очередь вытекает из того, что ( — ) = — (х — лях) < О всюду х хл при О <х < к/2, ибо х<лях при О <х <к/2 (см. п.66 6гп.4вып.
1). Бп(х, 1") — 1(х) = — [7'(х + 1) ( л„е'.("[) -Х()[ ~,'~ б1+ 2яп— 2 348 ГЛ. 1О РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ номера п и любого х из сегмента [ — сг, сг) Г яп(п -с- — ) С 1 [сг(х+ С) сг(х)] 2 С )с(<д 2 яп(п+ -)С 1 < [~(х+ 2) — Йх)( с' 12 < 2 яп— ~С(<д 2 < 1 ~С~ -1111=ил I С -са= ' б .
с)<д о Отсюда на основании (10.70) для любого номера и и любого х из сегмента [ — гг, гг) 1'с яп (п -С- — ) С вЂ” ( И(х+2) — У(х)) 2яп— < —. 3 (10.72) с~<с 2 Второй из интегралов в правой части (10.71) с помощью кусочно-непрерывной на сегменте [ — гг, л) функции (10.67) записывается в виде 1 и яп(гг -С- — ) С вЂ” / ~(х+ С) 2 М = — / ~(х+2)я(С) в1п[и+ ЧСсй. я 2п!и— 2 2 1) яп ~п-~ — ~ С вЂ” / 1(х+ 2) сй <— 2яп д< С/<~г 2 (10.73) для всех и > хс сл всех х из сегмента [ — дг, сг).
Для оценки последнего интеграла в правой части (10.71) заметим, что с помощью кусочно-непрерывной функции (10.67) этот интеграл записывается в виде 1 гг Г и"(" — 2)'„, ~. ) „,. ~ сг 2яп— 2 д<) С )<.г В силу следствия 4 из и. 3 правая часть последнего равенства сходится к нулю (при п д со) равномерно относительно х на сегменте [ — я, сг). Поэтому для фиксированного нами е ) 0 найдется номер Хс такой,что 1 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ уСЛОВИя РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ 349 Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, сходится к нулю (при и — + со) в силу все того же следствия 4 из п.
3 (достаточно применить это следствие к функции 1(х) = 1). Учитывая также, что функция д (Ф) во всяком случае ограничена на сегменте [ — к, к], мы получим, что для фиксированного нами произвольного е > 0 найдется номер гчг2 такой, что вш п+- 1 2 ггв— 6<]г]<к 2 < — (10. 74) для всех и > 11г2 и всех х из сегмента [ — к, я]. Обозначив через )у' наибольший из двух номеров Хг и аз, мы получим в силу (10.71) — (10.74), что для фиксированного нами произвольного е > 0 найдется номер )11 такой, что гс(6, 1) = 0(6 ).
Отметим без доказательства так нгюываемую т в о р е м у Д и н и — Л и пш и ц а, которая утверждает, что для равномерной на сегменте [ — к, т] схвдимвсгли тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) достаточна, чтобы зта функция удовлетворяла условию Д вЂ” к) = Д(к) и чтобы ее модуль неггрерывнвсти на сегменте ] — к, х] имел оврлдок ш(6, Д =о( ). т.
в. являлся бесконечно малой при 6 — ь 0 величиной более высокого порядка, чем 1Д!п 1/6). для всех и > 1У и всех х из сегмента [ — к, к]. Теорема доказана. Замечание 1. Очевидно, что в условиях теоремы 10.15 тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно не только на сегъгенте. [ — к, к], но и равномерно на всей бесконечной иря; .мой (к функции, являющейся периодическим (с периодом 2к) продолжением 1'(х) на всю бесконечную прямую). 3 а м е ч а и и е 2. Отметим, что при оценке интегралов (10.73) и (10.74) мы использовали лишь кусочную непрерывность (и вытекающую из нес ограниченность) функции 1(х) на сегменте [ — к, к] (принадлежность д(х) классу Гельдера при оценке этих интегралов не использовалась).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
