Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Будем говорить, чгпо функция 1'>'х) имеегп на сегменте )а> Ь] к у с о ч н о-н е и р е р ь! в н у ю и р о и з в о ди у ю, если произоодная 1»х) сутцествует и непрерывна вводу на сегменгпе 1а, Ь], за исключепием> бь>ть моэ>сет, конечного числа, г>н>чек> в коэн>дой из котора>х функция 1 1х) имеет конечные правое и левое предельные значения 2) . Определение 2.
Будем говорить, чп>о функогту>х) имеегп на сегменте >а> Ь] к усач но-не прерыв и ую производидн у ю и о р я д к а п ) 1> если функция у гп 1) >',х) имеет на этом сегменте кусочно-непрерывную производную в смысле определения 1. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 10.11. Если функция 1'!х) непрерывна на сегменте ~ — к, к], имеет на этом сегменте кусочно-нет>рерывную г>роизводную и удовлегпворяет условию 11 — к) = 11к), то >пригономеп>рический ряд Фурье функции 11х) сходится к эгаглй функции равномерно иа сегме>ппе ~ — к, я]. Более того, ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции 1''1х), сходитпся равномерно на сегменте ~ — к, к]. Доказательство.
Достаточнодоказать>чторяд,составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции 11х), » ' + ~ (]ау„.сов)гх]+ ]Ьь в)г>йх]1 110.41) 2 !«=! сходится равномерно на сегменте ~ — >г> к], ибо отсюда будет вытекать как равномерная на сегменте ~ — к> к] сходимость самого ') Пестр>>ение примера А. Н.
Колмогорова можно найти на с. 412 — 421 книги Н. К. Бари «Тригонометрические рядык бйл >вязь>атгиз, 1961. ) При этом функция 1 !х) может оказаться не определенной в конечном числе точек сегмента ~а, Ь]. В этих точках мы доопределим ее произвольным образов> !паприь>ер, положим равной полусумме правого и левого предельных значений). ГЛ. 1О РЯДЫ И ИНТЕГРЛ.Ч ФУРЬЕ 332 тригонометрического ряда Фурье функции )'(х), так и сходимость этого ряда (в силу следствия 5 из п. 3 3 3) именно к функции г(х). В силу признака Вейерштрасса (см.
теорему 1.4 из гл. 1) для доказательства равномерной па сегменте ( — я, я] сходимости ряда (10.41) достаточно доказать сходимость мажорирующего его числового ряда (]ай] + ]Ьь]). (10.42) а=1 Обозначим через гть и )3ь тригонометрические коэффициенты Фурье функции у (х), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производная функции ) (х) ) . Производя интегрирование по частял1 и учитывая, что функция )(х) непрерывна на всем сегменте ( — х, х] и удовлетворяет соотношениям у( — л) = 1(х), мы получим следующие соотношения, связываю1цие тригонометрические коэффициенты Фурье функции 1'(х) и самой функции 1(х) й): аь = — у'(х) соз Кх йх = Й вЂ” 1 у (х) э)пйх г(х = Й Ьр, — 1 (х) зш)схс(х = — Й вЂ” 1 ) (х) сов)схг)х = — Й.
аы Таким образом ]оь] + ]Ь1„] = ь + и для доказательства сходимости ряда (10.42) достаточно доказать сходимость ряда ч~ ( ]ог] ]дг] ) ь=-1 (10.43) ') Например, можно положить функцию 1'(х) в указанных точках равной полусумме правого и левого предельных значений. в) При интегрировании по частям следует разбить сегмент ( — х, х) на конечное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на каждом из которых производная ~'(х) непрерывна, и, беря формулу интегрирования по частям для каждого из этих частичных сегментов, учесть, что при суммировании интегралов по всем частичным сегментам все подстановки обратятся в нуль (вследствие непрерывности У(т) на всем сегменте ( — х, г) и условий 1( — х) = У(х)).
Ь 4 ИРОстей!ние УслОВиЯ РАВнОмеРКОЙ схОдимОсти 333 (10.45) (10.46) этйа) ( ) т0 а) ( ) Пусть, кроме того, функция 1(х) имеет на сегменте ( — к, к) кусочно-непрерывную производную порядка (т+ 1). Тогда сходится, следующий ряд: Е й""Оаь) + ~ьь!), (10.47) а=1 в котором аь и Ьь суть тригонометрические коэффициенты Фурье функции 1(х).
1 ) Мы исходим из элементарного неравенства ~о! ~Ь! ( — (о" -Р Ь ), вытег е 2 кающего из иеотрицательиости величины ()а) — (Ь!)~. Сходимость ряда (10.43) вытекает из элементарных неравенств ) )дг~ (1(р2+ г ) (10.44) и из сходимости рядов г+ 3г) ь=г я=1 первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно-непрерывной функции 1'(х), а второй -- в силу интегрального признака Коши. Маклорена (см. вып. 1, гл. 13,. 3 2). Теорема доказана. Замечание. Если функцию((х), удовлетворяющую условиям теоремы 10.11, периодически (с периодом 2к) продолжить на всю бесконечнукэ прямую, то теорема 10.11 будет утверждать сходимость тригонометрического ряда Фурье к так продолженной функции, равномерную на всей бесконечной прямой.
3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье. Прежде всего докажем следуюшу|о лемму о порядке тригонометрических коэффициентов Фурье. Лемма 1. Пусть функция 1(х) и все ее производные до некоторого порядка т (т целое неотрицательное число) непрерывны на сегменте [ — к, к| и удовлетворяютп условиям П- )=П ) 1'( — ) =1'( ) 334 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 00 Доказательство. Обозначим через сгь и 13ь тригонометрические коэффициенты Фурье функции 7"( т~)(х), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производной порядка (т+1) функции 7'(х).
Интегрируя выражения для сгь и ~ь (т+ 1) раз по частям и учитывая непрерывность на всем сегменте ( — к, к) самой функции 1(х) и всех ее производных до порядка т, а также учитывая соотношения (10.46), мы установим следу.ющую связь между тригонометрическими коэффициентами Фурье функции уо"+ ~(х) и самой функции Г(х) Таким образом, ,'~ Я'(аь сов(ах — — ) + !зь эш(кх — — ) ~. я=1 (10.48) Заметим, что для всех х из сегмента ( — к, к) как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и ряд (10.48) (с любым в 1, 2, ..., т) мажорируется сходящимся числовым рядом (10.47). По признаку Вейерштрасса (см. теорему 1.4 из гл. 1) как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и каждый из рядов (10.48) (при в = 1, 2, ..., т) сходится равномерно на ы ) При интегрировании по частям сегмент ! — я, к! следует разбить на конечное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на каждом из которых 10'+Н(х) непрерывна, и учесть, что при суммировании интегралов по всем частичным сегментам все подстановки дают нуль.
1ст(! ! + !~ !) !аь! + !Дь! й к и сходимость ряда (10.47) вытекает из элементарных неравенств (10.44) и из сходимости рядов (10.45), первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно-непрерывной функции ~рвтП(х), а второй в силу признака Коши — Маклорена. Лемма доказана. Непосредственным следствием леммы 1 является следующая теорема. Теорельа 10.12. Пусть функция 1'(х) удовлетаворяегп тем же условиям, что и в лемме 1, причем гп > 1.
Тогда тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) можно т раг почленно дифференцировать на сегменте ( — л, к). Доказательство. Пусть в -- любое из чисел 1, 2, ..., т. В результате г-кратного почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) получается ряд ь 5 БОлее тОчные УслОВия РАВномеРнОЙ схОДимОсти 335 сегменте [ — х, к~), а зто (в силу теоремы 1.9 из гл. 1) обеспечивает возможность гп-кратного почленного дифференцирования исходного ряда Фурье.
Теорема доказана. 3 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке 1. Модуль непрерывности функции. Классы Гельдера. Мы начнем с выяснения понятий, характеризующих гладкость изучаемых функций, и с определения классов функций, в терминах которых будут сформулированы условия сходимости тригонометрического ряда Фу рье. Пусть функция )(х) определена и непрерывна па сегменте [оч 6[. Определение 1. Для каждого д > 0 позовем м о д у л е м непрерывности функции у'(х) на сегменгае [а, 6) точную верхи»ею грань модуля раз»гости [1'(х') — 1" (хл)[ на множестве всех х' и х", принадлежагцих сегменту [оч 6) и удовлегпворянь гцих условию [х' — хв[ < д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
