Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 72
Текст из файла (страница 72)
+ ~7)л!) и, стало быть, У 1'д1'1 (с=1 д~с и $7„(=((,)$с...,с)$ „)) 'г (" ) . (1012с) Я=1 Формула (10.121) справедлива не только для функции Г', но и для каждой частной производной функции 7 до порядка (з — 1) включительно. Отсюда сразу же вытекает соотношение )С )с()н»~. с-( )) ' г ( „с .„), (сс.ссс) »ст...-~-»к=-» '' и сумма в правой части которого берется по всем целым неотрицательным з1, ..., зм, удовлотворяюгцим условию з1+... +зЛ = з (так что число слагаемых в этой сумме равно Х'). Из (10.122) в 374 ГЛ.
1О РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ свою очередь следует ) З.~ с -'Е. ~- ~"О '- — "' 2. (10.123) у 1 Учитывая, что в = — + е, где е = 1 для четного Х и е =— 2 2 для нечетного зУ,и что Цп1~+... + )пУ)) ' = ((п1(+,. + (пу~) — ~ — 2' < 2- 2е <)п1! л,, (и, ( л., мы получим из (10.123) 2е 2е оп) ~ (— (п1) ъ'... рзу) х 2 Для абсолюгной и равномерной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (10.118) достаточно (в силу признака Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его числового ряда ;Е: Е ~я.
а~= — оо но (в силу неравенства (10.124)) сходимость последнего ряда является прямым следствием сходимости для любого й чишювого со — 1 —— 2е ряда 2 ~пь~ 1У и гходимости для любых в1, в2, ..., ву аь= — оо ряда вытекающей из неравенства Бесселя (10.120), записанного для д'2" непрерывной функции . дт.е Тот факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье (10.118) сходится именно к функции 2" (а), вытекает из полноты 2 оз ) У1гя пользуемся неравенствами (а) )ь) < — + — и Оа~)+... + (арй <р(а,+...+а ). 1 7КРЛТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУР!»Е 375 кратной тригонометрической системы ) .
В самом деле, если бы ряд (10.118) равномерно сходился к некоторой функции 8(х) г то из возможности почлснного интегрирования такого ряда вытекало бы, что все коэффициенты Фурье функции 8(х) совпадают с соответствующими коэффициентами Фурье функции 1(х). Но тогда разность ~~(х) — фх)] была бы ортогональна всем элементам кратной тригонометрической системы и (в силу полноты этой системы) равнялась бы нулю. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1.
Теорема 10.21 может быть уточнена. Справедливо щледующее утверждение ): если функция 1(х) периодична по коэн.дой из перелленнььх 1с периодом 2к) и ириёадлеэгсит в ЕА классУ ГельдеРа Со пРи сг > ХЛг2г то к~атггый тригонометрический ряд Фурье 1'(х) сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве Ек. Выяснение условий не аб с о л ю т н ой сходимости кратного тригонометрического ряда требует привлечения более тонкой техники. Сформулируем без доказательства условия суммируемости кратного тригонометрического ряда Фурье сферическим н прямоугольным методом.
Теорем»о 10.йй. Если функция Х ) 2 переменных 11хн хг,..., хл) периодична по каждой переменной (с периодом 2к) и принадлежит в прои гУ вЂ” 1 странстег Е' классу Ггяъдера С" при о ) . тс сфера«вские функ- 2 ции 11хы х,..., хь ) сходятся к эпгой функции равномерно еа всем пространстве Еа Аг — 1 Теорема 10.23. Для любого пояэжитсяьногс о, меньшсло, и 2 любой точки хс 7«'-мерного куба П существует функция Х ) 2 переменных 1"1хы х», ..., хл), периодическая по каждой переменной (с периодом 2я), принадяехсаьц я е Еь классу С", обращаюигаяся е нуль е некоторой б-окрестности гаечки хе и гпакая, что сферические чашпичные суммы кратнога тригонометрического ряда Фурье.
этой функции ие имеют предела е точке хе ) Полнота кратной тригонометрической системы сразу вьпекает из полноты составляющих ее одномерных тригонометрических систем, произведением которых она является. ) Это утверждение весьма просто получается из леммы 3.1, доказанной в работе В. А.
Ильина и Ш. А. Алимова «Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих са»госопряженнылг расширениям эллиптических операторов, 1» (// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7, Х4. С. 670 — 710). г) Эта теорема вытекает из более общих утверждений, доказанных в работе В. А. Ильина «Проблемы локализации и сходимости рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа» (О Успехи математических нау.к. 1968. Т.
23. Вып. 2. С. 61 — 120) и в работе В. А. Ильина и Ш. А. Алимова, упомянутой в предыдущей сноске. «) Эта теорема является частным случаем более общего утверждения, доказанного в гл. 3 работы В. А. Ильина, указанной в предыдущей сноске. 376 ГЛ. 10 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Теоремы 10.22 и 10.23 устанавливают окончательные (в классах Гельдера С") условия сходимости сферических частичных сумм периоди- >У вЂ” 1 ческой функции ф(х>,, хн). Согласно этим теоремам прн о > 2 имоет место равномерная сходимость сфорических частичных сумм, а при А> — 1 и < для сферических частичных сумм несправедлив даже прин- 2 цип локализации (сколь бы гладкой пи являлась функция 1" в окрестности Ру — 1 точки хо, принадвежность этой функции классу С (Е' ) при о < 2 не обеспечивает сходимости сферических частичных сумм этой функции в точке хо).
Окончательные (в классах Гельдера С ) условия сходимости прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье установлены и работе Л. В. Жижиашвили ') . Теорема 10.24. Если функция Х переменных ф(х>, ..., хк) иериодична ло каждой из переменных (с периодом 2к) и принадлежит в Е а классу С при л>обом о > О, то прямоугольные частичиыв суммы кратного тригонометрического ряда Фурье функции ф(х>,..., х,ч ) сходятсл (к этой функции) равномерно в Ев .
Замечание 2. Отметим, что еще в 1928 г. Л. Тонелли ) было установлено, что одна непрерывность функции Х > 2 переменных ф(х>, ... ..., хм) пе обеспечивает нс только равномерной сходимости, по и принципа локализации прямоугольных частичных сумм ее кратного тригономет- 1>ического ряда Фурье (существует периодическая по каждой переменной (с периодом 2я) функция, непрерывная в Еч, обращающаяся в нуль в некоторой б-окрестности данной точки хо и такая, что прямоугольные частичные суммы этой функции расходятся в хо) 4.
О разложении функции в )чу-кратный интеграл Фурье. Пусть функция Х > 2 переменных Г'(х1> ..., хА ) = 7'(х) допускает существование несобственного интеграла ) ... ) ~(хн ..., ху) с(х, ... г)х>у. (10.125) Е'м Назовем образом (или преобразованием) сР у. р ь е такой функции величину Ьы ", 17>у) = йр) =,)'."д -'*У)д"(~ы ": *ж) 1*~" )~е. Е-'ч В полной аналогии с леммой 4 доказывается, что Ду) является непрерывной функцией у всюду в Е и стремится к нулю ~г~ =,БГ».' » ) Л. В. Жижиашвили.
О сопряженных функциях и тригонометрических рядах. Докторская диссертация, Москва, МГУ, 1967. ) Л. Тонелли-- итальянский математик (1885-1946). 1 7кРлтные тРиГОнОметРические РЯДЫ и интеГРллы ФУРве 377 Предел 11пт ) ...ЯУ1, ..., УА7)е й*") г)У1 с)УА' (10.126) ~р <Л (при условии, что этот предел существует) наэываетси р а злож опием фу нкции 1(ш) в%кратный интеграл Ф у р ь е. Справедливы следующие два утверждения ') . 1'. Если функция Х > 2 переменных 1"(кп .... гк) обращается в нуль вне некоторой ограниченной области и принадлежит во всем пространстве Ек Х вЂ” 1 классу Гельдера С при а ), то разложение этой функции в гг-крат- 2 ный интеграл Фурье (10.126) сходится (к этой функции) равномерно во всем пространстве Е' . Х вЂ” 1 2'.
Для любого положительного о, меньшего, и любой точки шо 2 существует функция Х ) 2 переменных 11тп..., тл), озличная от нуля только в ограниченной области, принадлежащая в Ек классу С, обращающаяся в нуль в некоторой б-окрестности точки ше и такая, что для этой функции предел (10.126) в точке ше не существует. Утверждения 1' и 2' устанавливают окончательные (в классах Гольдера С ) условия сходимости разложения в Х-кратный интеграл Фурье любой функции, равной нулю вне некоторой ограниченной области прок Х вЂ” 1 странства Е' . Согласно этим утверждениям при а ) имеет ме- 2 сто равномерная (в любой ограниченной области) сходимость разложения Х вЂ” 1 в Х-ратный интеграл Фурье, а при о < для разложения в гг-крат- 2 ный интеграл Фурье несправедлив даже принцип локализации (сколь бы глаДкой ни ЯвлЯлась фУнкЦиЯ 1 в окРестности точки ло, пРинаДложпость Х вЂ” 1 этой функции во всем Ел классу С при о < не обеспечивает сходи- 2 мости в точке ше разложения этой функции в Х-кратный интеграл Фурье).
') Оба утверждения вытекают из более общих утверждений, доказанных в работе Ш. А. Алимова и В. А. Ильина «Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих самосопряженным расширениям ылиптическвх операторов. И> (,~,' Дифференциальные уравнения.
1971. Т. 7, 1Ч 5. С. 851.882.) ГЛАВА 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО В этой главе изучается важный подкласс бесконечномерных евклидовых пространств так называемые г и л ь б е р т о в ы пространства. Мы устанавливаем важное для приложений специальное представление всякой линейной функции от элементов такого пространства (такую функцию принято называть л и н е й н ы м ф у н к ц и о н а л о м ), а также, что из всякого ограниченного по норме бесконечного множества элементов гильбертова пространства можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в некотором слабом смысле (это свойство называют с л а б о й к о м п а к т и о с т ь ю шара в гильбертовом пространстве). Особое внимание уделяется изучению ортонормированных систем элементов гильбертова пространства. Мы устанавливаем эквивалентность для таких систем, введенных в З 2 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
