Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 75
Текст из файла (страница 75)
убедимся в сходимости ряда 2, (й. Так как ((у„~~ < М для всех номеров п, то для всех й=1 номеров п 388 ГЛ. 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО Применяя к остатку ряда (11.16) неравенство Коши — Буняковского для сумм спи т-' Р теР 1 112 у„ьаь < ~ ~ у„ь ~ аь~ й=т-~-1 й=-т-Ь1 Ь=-~и-~-1 и используя неравенства (11.14) и (11.17), мы получим, что т-1-р уиьаь < е ь=-т-~-~ для всех ги ) то, всех натуральных р и сразу для всех номеров и.
Но это и означает, что ряд (11.16) сходится равномерно относительно всех номеров и. Теорема доказана. Доказанная теорема находит многочисленные применения. В частности, она широко применяется в теории вариационных методов решения задач математической физики. 8 2. Пространство А~ 1.Простейшие свойства пространства т ~. С пространством А мы уже знакомы из и. 7 8 4 гл. 8, посвященного изучс- 2 нию классов бР при любом р > 1.
Напомним, что пространством Ь2(Е) называется множество всех функций () (т)) таких, что каждая функция 7(я) измерима на множестве Е, а каждая функция 1' (х) суммируема (т. е. интегрируема в смысле Лебега) на множестве Е. При этом мы не различаем эквивалентных на множестве Е функций, рассматривая их как один элемент А (Е). Кратко называют Ьт(Е) и р о с т р а н с т в о м ф у н к ц и й с суммируемым (намножествеЕ) квадратом. Сразу же отметим, что все интегралы в этом параграфе понимаются в смысле Лебега, а под множеством Е понимается измеримое множество положительной конечной меры на бесконечной прямой, хотя вся излагаемая нами теория без каких-либо осложнений переносится па случай произвольного множества положительной меры Е в пространстве любого числа и измерений. В п.
7 8 4 гл. 8 было установлено, что пространство ь2(Е) является линейным нормированным пространством с нормой .любого элемента 7'(т) вида (11.18) О ) Это неравенство установлено в дополнении 1 к гл. 10 вып. 1. проотрлнотно 1р 389 Пространство Аг(Е) существенно отличается от всех других пространств 7Р(Е) При р ф 2, тем, что ьг(Е) является евклидовым пространством со скалярным произведением любых двух элементов 1(х) и 8(х) вида ) (У, 8) = ~ П )а(х) д (11.19) Справедливость в 1 ~ (Е) всех четырех аксиом скалярного произведения г) легко следует из независимости произведения 1(х)8(х) от порядка сомножителей., из линейных свойств интеграла и из условия эквивалентности нулю измеримой, суммируемой и неотрицательной функции 1 (х).
Заметим еще, что из (11.18) и (11.19) вытекает, что (как и во всяком евклидовом пространстве) норма и скалярное произведение в Е связаны соотношением ~~л= ТГб Наконец, напомним, что в и. 7 8 4 гл. 8 доказано, что пространство Л (Е) является полным ) . Перейдем теперь к выяснению более глубоких свойств пространства Е (Е).
2. Сепарабельиость пространства Ь~. Рассмотрим сначала произвольное линейное нормированное пространство Л. Определение 1. Множество М элементов линейного нормированного пространства Л назсявается в с ю д у и л о т н ы м (или пл о т н ы м в Л), если для тобаго элемента 1" пространства Л из множества М можно выделить последовательность элементов (7п), сходни(УюсЯ по ноРме Л к 1'.
Определение 2. Линейное нормированное пространство Л называется с е п ар а бе л ь н ы м, если в нем существует счетное всюду плотное мпожество элсмептов М. Целью настоящего пункта является доказательство сепарабельности пространства Ы Теорема 11.1э. Множество непрерывных на Е функций является всюду плотным в 1'(Е). ю ) Определение евклидова пространства и скалярного произведения см, в 'з 1 гл.
10. ) Аксиомы скалярного произведония можно найти в г 1 гл. 10. з) Напомним, что линейное нормированное пространство й называется п о л н ы и, если для любой фундаментальной последовательности (1„) элементов этого пространства (т. е. для последовательности (1„), для которой 1пп эпр ~~1, — 1„~~ = О, существует элемент 1 пространства Ре к которому ) сходится в гг эта последовательность. ЗОО ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ.
М Доказательство. Пусть ((х) произвольная функция из Ь2(Е). Не ограничивая общности, мы можем считать, что у(х) ) О. Действительно, вводя две неотрицательные функции (~(х) = — (] Г(х)] + Г(х)), Т" (х) = — Я(х)] — >" (х)), легко убедиться в справедливости теоремы для любой функции 1 Н Ь2 при условии, что для неотрицательных функций она доказана. Кроме того, мы можем предположить, что 1(х) всюду при- нимает конечные значения.
1Лтак, пусть ((х) Н Ьг(Е) и О < < Г'(х) < оо. Рассмотрим для каждого номера п последовательность непе- рересекающихся множеств >) Е„= Е ~( — < >'(х) < 1 (й = О, 1, 2, ... ). Тогда, очевидно, для любого номера п(п = 1, 2, ... ) сумма указанных множеств по всем й = О, 1... дает множество Е, т. е. Е = () Е~"'. ь=-а Построим последовательность ()в(х)) функций, определенных на множестве Ь', для каждого номера и положив Гв(х) = й/2а для х., принадлежащего Е„.
Таким образом, каждая функция ь (в(х) представляет собой «ступенчатую» на множестве Е функ- цию (принимающую не более чем счетяое число значений). Далее очевидно, что для всех номеров п и всех точек т, мно- жества Е справедливо неравенство О < Т"(х) — (в(х) < 1/2", из которого следует, что последовательность ( 1„(х)1 сходится к 1(х) равномерно на множестве Е. Положим Фа(х) = ппп(п, ~„(х)). Каждая функция Фв(х) принимает па множестве Е лишь к о н е ч н о е число значений, причем последовательность ( Ф„(х) ) сходится к Т" (х) в с ю д у на Е.
Так как, кроме того, всюду на множестве Е справедливо неравенство О < Т" (х) — Ф„(х) < >" (х), из которого следует, что (>'(х) — Фв(х)]~ < )'~(х) всходу на Е,. то в силу следствия из теоремы 8.19 последовательность Ь>'(х)— — Фв(х)]~ сходится к нулю в Ь>(Е), т. е. последовательность Ф„(х) сходится к 1'(х) в Ь'(Е). ') Напомним, что символ Е [Г удовлетворяет условию А] обозначает множество всех точек Ь', для которых функция Г(х) удовлетворяет условию А. ПРОСТРЛНСТВО Ь' Остается доказать, что каждую функцию Ф„(х) можно приблизить по норме Ь2(Е) непрерывной функцией с любой степенью точности.
Напомним, что каждая функция Ф„(х) принимает лишь конечное число значений, т. е. имеет вид Фп(х) = х,' аьи>ь(х), где аь (1с = 1, 2, ..., т) - постоянные. числа, а 1=1 п>ь(х) так называемые характеристические функции множеств Е1,: ! | ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! 1 па множестве Ьы ь(х) = О вне множества Еы Таким образом, для заверупения доказательства теоремы, достаточно построить последовательность непрерывных функций, сходящуюся в Ь (Е) к функции ь>(х) вида 1 на множестве Еш п>(х) = О вне множества Ьсь где Ео некоторое содержащееся в Е измеримое множество. Для множества Ее и для любого номера п найдутся содержащее Ео открытое множество С и содержащееся в Ео замкнутое множество Еп такие, что мера разности Сп — Ев меньше 1,>п 11 Обозначим символом Ев дополнение множества С„и положим »(т, ~'„) р(х, Г„) -Ь р(х, р ) где символ р(х, Е) обозначает расстояние от точки х до множества Е.
Очевидно, .что каждая функция 1рп(х) непрерывна на Е, равна единице на Ет равна нулю на г' и всюду удовлетворяет условию О < 1оп(х) < 1. ОтсюДа Дла ноРмы Разности ~Рп(х) — ь>(х) мы получим следующую оценку: Ь вЂ” 4~~~ (и) = ) «рп(. ) — (х))'а1х < ( с)х < —, (11.20) н С УР которая завершает доказательство теоремы. Докажем теперь следующую основную теорему.. Теорема 11.б. Длл любого ограниченного измеримого мноэюестоа Е пространство Ьг(Е) сепарабельяо. Доказательство. Сначала проведем доказательство для случая, когда множество Е представляет собой сегмент <а, Ь].
ы ) В силу. определения измеримости множества Ее и следствия ив теоремы 8 5 (см. п. 2 з 2 гл. 8). ГЛ. Ы ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО Докажем, что в этом случае в качестве счетного всюду плотного множества в Е [а, 6] можно взять множество М всех многочленов с рациональными коэффициентами ) . Согласно теореме 11.4 любую функцию 1 (х) из т 2 [[а, 6]) можно приблизить с любой степенью точности по норме 12[[а, 6]) непрерывной функцией.
Далее, согласно теореме Вейерштрасса 1.18, всякую непрерывную на сегменте [а, 6] функцию можно равномерно на этом сегменте [а стало быть, и по норме ь 2[[а, 6])) приблизить с любой степенью точности алгебраическим мпогочленом с вещественными коэффициентами. Наконец, очевидно, что алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами можно равномерно на [а, Ь], а стало быть, и по норме ь2([а, 6]) приблизить с любой степенью точности многочленом с рациональными коэффициентами. Тем самым для случая., когда множество Е представляет собой сегмент [а, Ь доказательство теоремы завершено.
усть теперь Š— произвольное ограниченное измеримое множество. Так как множество Е ограничено, то найдется сегмент [а, Ь], содержащий множество Е. Пусть у'(х) произвольная функция из ь'(Е). Продолжим эту функцию на сегмент [а, 6], положив се равной нулю вне Е. Остается заметить, что так продолженная функция 1(х) принадлежит классу Ь [[а, 6]), и поэтому; согласно доказанному 2 выше, может быть приближена с любой степенью точности по норме 12[[а, 6]) [и тем более по норме ь2(Е)) многочленами с рационапьными коэффициентами. Стало быть, и в этом случае многочлены с рациональными коэффициентами образуют всюду плотное в Е (Е) множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
