Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В курсе линейной алгебры устанавливается, что все и-мерные евклидовы пространства изоморфпы между собой и изоморфны пространству Е". Главной целью настоящего пункта является установление изоморфизма бесконечномерных евклидовых пространств Т (Е) и 1~. Но прежде всего мы докажем следующую замечательную теорему. Теорема 11.6 (теорема Рисса — Фишера). Пусть (~р„) произвольная ортонормированная сисгпема в 1г(Е) 1) . Тогда для любой последоволпвльностпи вещественных чисел, (сы са, ... ..., с„, ... ), удовлетворяющей условию 2; с~~ ( оо, т.
е. являя=1 ющейся элементом 1г найдется и притом единственная функция 1(х) из пространства Аг(Е) шакая, что сп = (~, сао) = = ) Г(х)р„(х)г1х и 2, сг — — ~~~~~ = ) 1 (х)ах. Е ь-и Е Доказательство. Положим 1о = 2 егерь. Последовак=1 тельность ~1„) фундаментальна, так как при т > п справедливо ') Ни полнота, пи тем более замкнутость этой системы пе предполагается. 397 пространство л' т оо Равенство ~~~. — 7п(( = 2 с„и по Условию РЯд 2,' сй схоДит- 2 й=пе1 й=1 ся. Но тогда в силу полноты пространства ь~(Е) (установленной еще в и. 7 З 4 гл.
8), найдется элемент г' пространства Е (Е) такой, что 1пп ~((п — ('(( = 1ш1 ~ сй~рй — 7' = О. (11.23) й=1 Из последнего соотношения и из тождества Бесселя (10.17), установленного в Ч 1 гл. 10 '), вытекает,что и оо 1пп 2 сй — — ))~((, т. е. ~~1 сй — — )( ()! й=1 й=1 Докажем, что (1", еой) = сй для любого номера й. Для этого заметим, что в силу ортонормированности системы (рй) при всех в > й справедливо равенство о п (7п, озй) = ~ '2 с1Э11, ~рй ) = ~~ с1(1р1, сой) = сй, (11.24) 1=1 1=1 и учтем, что в силу неравенства Коши — Буняковского ~(У эй) — (У дьем =НУ.— У дйй< < Л7.
-7ГЯ0 ~ = Л7.:Л и в силу (11.23) справедливо соотношение (~„, ~рй) — 1 (7', рй) при п -+ оо. (11.25) Из (11.24) и (11.25) получаем, что (2", йзй) = сй для любого номера Й. Остается доказать, что 7 является ед и н от вени ы и элементом 1 2(Е), удовлетворяющим всем ушювиям теоремы. Пусть любой другой элемент А2(Е), удовлетворяющий всем условиям теоремы. Из неравенства Коши — Буняковского ((~„— 7', ф! ( сЛ7.:и ЛаГ«.'(пзе му,ч- (~„— 7", я) -+ 0 при п — > со.
') Указанное тождество Бесселя справедливо для любой ортонормированной системы в произвольном евклидовом пространстве. 398 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. П Но из равенства (8, ~рй) = сй и из аксиом скалярного произведения вытекает, что и (У.
— Л, к) = (К и — Л к) = й=1 п п сй(8, ~рй) — (1, 8') = ~~~ сй — (1, 8), й=й й=й так что в сшлу (11.26) сй —— (1, я). (11. 27) й=1 Из (11.27) и из соотношений 2 с~~ —— ~~~~~ и 2 с~~ = ~~8~~~ получим, что й=1 й=1 )( (' — д)! = (1' — 8', 1' — 8) = )( (')) — 2(1', я) + ))8(( = О. Но это означает, гго разность 1" — я представляет собой нулевой элемент Ез(Е), т. е. 1" = 8'. Теорема полностью доказана.
Замечание. Если ортонормироваппая система (р„) замкнута или хотя бы полна, то единственность элемента 1' будет иметь место и без требования 2; с~й — — ~~ ('~~ (см. по этому поводу й=1 теорему 10.8). Опираясь на теорему Рисса — Фишера, докажем следующую основную теорему. Теорема 11.7. Пространства Ез(Е) и 1з изоморфны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в пространстве Ез(Е) замкнутую ортонормированную систему (~рй) и поставим в соответствие каждому элементу 1' пространства Е (Е) элемент с 2 = (см са, ..., с„, ... ) пространства 1, координаты сй которого имеют вид сй = (1', уй) (й = 1, 2, ...
). В силу теоремы 11.6 такое соответствие является взаимно-однозначным. Остается доказать, что если элементам 1 и я пространства Е (Е) отвечают соответственно элементы с = (см сз, ..., с„, ... ) и с~ = (И~, да, ..., д„„... ) пространства 1з, то 1) элементу 7' + 8 отвечает элемент с + с~ = (сй + дн сэ + с1з, ..., с„+ д„, ... ); 2) при любом вещественном Л элементу Л1 отвечает элемент Лс = = (Лсы Лез, ..., Лс, ...
): 3) справедливо равенство (1, и) = (с, д) = ~~ сйдй, (11. 28) й.=1 называемое обычно обобщенным равенством Парсс е в а л я. ПРОСТРАНСТВО Ве 399 1) и 2) сразу вытекают из свойств скалярного произведения 1) . Докажем равенство (11.28). В силу заъ1кнутости системы (1дЬ~ для каждой из функций 7, 8 и 7+8 справедливы равенства Парсеваля (7', 7') = ~ с~а, (я, я) = ~ с)ь~, (11.29) 1=1 к=1 (У+К, У+К) = Е(с, +6и)2 (11.30) А=1 Вычитая (11.29) из (11.30), получим 2(7', д) = 2~~1 сьс)ь. к=! Теорема полностью доказана. Доказанная теорема позволяет рассматривать 1 как коорди- 2 натную форму записи элементов пространства Е (Е).
Эта теорема позволяет перенести па Л (Е) все утверждения, установлен- 2 ные для 12, и наоборот. В частности, из теоремы 11.7 вытекают следующие утверждения. 1'. Пространство 12 является полным. 2'. Любое ограниченное по норме 2 2(Е) множество, содержащее бесконечное число элементов Ь2(Е), является слабо компактным. 3'. Для каждого линейного непрерывного функционала 1(7), определенного на элементах 7" пространства Ь (Е), существует один и только один элемент я пространства Е2(Е) такой, что для всех элементов 7' пространства ь~(Е) справедливо равенство 1(7) = (7", я), причем й= ч ~~~~~ =Ы. уев-'1н) С точки зрения квантовой механики теорема 11.7 является математическим обоснованием эквивалентности ематричной механики~ Гейзенберга и «волновой механики» Шредингера, первая из которых использовала в качестве математического аппарата координатное пространство 1, а вторая пространство 2 функций с интегрируемым квадратом 1 Теорема (11.7) естественно, наводит на мысль о том, что оба пространства 12 и ь2 являются лишь двумя различными кон- ') Так, дли доказательства Ц достаточно заметить, что (7 ~- К,~дь) = (7, де) + (д, 1ее) = сь + Йе 400 ГЛ.
11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО кретными реализациями одного и того же абстрактного пространства, к рассмотрению которого мы теперь и переходим. 3 3. Абстрактное гильбертово пространство 1. Понятие абстрактного гильбертова пространства. Гильбертово пространство Н, с которым мы уже познакомились в виде двух сто конкретных реализаций 1 и т'ь, вводится аксиоматически как совокупность элементов Х, У, ю,... любой природы, удовлетворяющих определенной системе аксиом. Перечислим все аксиомы, которым должны удовлетворять элементы абстрактного гильбертова пространства Н. 1.
а) Аксиома о существовании правила, посредством которого любым двум элементам Х и У пространства Н ставится в соответствие элемент этого пространства Я,называемый суммой Х и У. б) Аксиома о существовании правила, посредством которого любому элементу Х пространства Н и любому вещественному числу Л ставится в соответствие элемент пространства Н, называемый произведением Х на Л. в) Восемь аксиом линейного пространства ) .
П. а) Аксиома о существовании правила. посредством которого любым двум элементам Х и У пространства Н ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (Х, У). б) Четыре аксиомы скалярного произведения ). ') Указанные восемь аксиом можно найти в любом курсе линейной алгебры.
Ради удобства перечислим эти аксиомы. 1'. Х -1- У = 1' -Ь Х (для любых элементов Х и У). 2'. Х + (У+ Я) = (Х -1- У) + Я (для любых элементов Х, У и Я). 3'. Существу.ет элемонт 0 такой, что Х -Ь 0 = Х для любого элемента Х. 4'. Для каждого элемента Х су~пествует элемент Х' такой, что Х -Ь Х' = = О. 5'. офХ) = (оЗ) Х для любого эломонта Х и любых вещественных чисел о и,З.
6*. 1 . Х = Х для любого элемента Х. 7'. (о -Р Р)Х = аХ -~- РХ для любого элемента Х и любых вещественных чисел о и д. 8'. о(Х -'г У) = оХ + а1 для любых элементов Х и У и любого вещественного числа сс Аксиомы скалярного произведения можно найти в 3 1 гл. 10. Ради удобства перечислим эти аксиомы. 1'. (Х., У) = (У, Х) для любых элементов Х и У. 2'.
(Х -Ь У, Х) = (Х, Х) -Ь (1; Х) для любых элементов Х, У и Я. 3'. (оХ, У) = о(Х, 1 ) для любых элементов Х и У и для любого вещественного числа о. 4'. (Х, Х) ) О для всякого ненулевого элемента Х, (О, 0) = О. ЛБСТРЛКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО 401 111. Аксиома о гюлноте пространства Н относительно нормы, определяемой равенством йХ(! = фХ, Х) 1»г. Аксиома о существовании в Н любого наперед взятого числа линейно независимых элементов.
17. Аксиома о существовании в Н счетного всюду плотного (в смысле нормы Н) множества элементов. Иными стонами, гильбертовыл«просгпранстволг Н называется всякое линейное евклидова полное бесконе ~номерное сепарабельное пространство. В гильбертовом пространстве Н вводятся: 1) понятия сходи- мости последовательности элементов по норме и слабой с х о д и и о с т и (говорят, что последовательность элементов (Х„) слабо сходится к элементу Х., если для любого элемента У справедливо соотношение (Хгм У) — » (Х, У) при и — » оо); 2) понятие слабой компактности множества Мэлементов Н (которое определяется как возможность выделения из любой последовательности элементов М слабо сходящейся подпоследовательности); 3) понятия линейного и непрерывного функционалов 1(Х), определенных на элементах Х пространства Н (функционал 1(Х) называется л и н е й н ы м, если 1(сгХ+ДУ) = = О1(Х) + Д(У) для любых элементов Х и У пространства Н и любых вещественных чисел гт и д; функционал ЦХ) называется непрерывным в «точке» Хо, если1(Хо) э1(Хо) для любой последовательности (Х„) элементов Н, для которой '8Хг, — Хе'8 — » 0; пРосто и е п Р е Р ы в п ы м называетсЯ фУнкционал 1(Х), непрерывный в каждой точке Х пространства Н).
В полной аналогии с тем, как это было сделано в п. 3 8 2 для пространства ьа, для абстрактного гильбертова пространства Н доказываетсясуществование замкнутой ортонормированпой системы элементов 1Ф„) (для этого производится процесс ортогонализацип счетного всюду плотного множества элементов Н). Для абстрактного гильбертова пространства Н (так же, как и для ь~) справедлива теорема Рисса — Фишера: если (Ф„) произвольная ортонормированная система в Н, а (сы со, ... ..., сп, ...) Произвольная последовательность вещественных чисел, УдовлетвоРЯющих Условию 2, с~ ь( оо, то в Н найдетсЯ ь=! и притом единственный элемент Х такой, что сь = (Х, Фь) и Е сь = ~~Х~~' а=1 ) Определение полноты линейного нормированного пространства см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
