Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Как и для случая функционала, мы (там, где это удобно) будем называть элементы пространства Н т о ч к а м и этого пространства. Определение я. Произвольный действующий из Н в Н оператор А называется непрерывным в точке хе пространппва Н., если для любой последовательности (х„) элементов Н, сходящейся, по норме Н к элементу хе, соотгветстоующая последооательность (Ах„) сходится по норме Н к элеменепу Ахе. Определение 3. Операпюр А называется непрерывн ы м, если он непрерывен в каэюдой точке х пространства Н.
Определение 4. Произвольный действующий из Н в Н опе- ротор А называепюя о гр он и ч е ни, ым, если сущесепвует постоянная С такая, что для всех элементов х пространства Н справедливо неравенство ((Ах(! < С ((х(!. Сформулированные нами определения 1-.4 полностью аналогичны соответствующим определениям 1 — 4 для функционала. сформулированным в п. 2 ~ 1 этой главы. Эта аналогия позволяет нам привести без доказательства следующее утверждение: действующий из Н в Н линейный оператор А лвляетсл непрерывным тогда и только тогда, когда он является ограниченным. Доказательство этого утверждения абсолютно идентично доказательству теоремы 11.1.
Для линейного непрерывного оператора А (так же, как для линейного непрерывного функционала) вводится понятие н о р и ы. Определение Б. Н о р м о й линейного непрерывного оператора А называется точи я верхняя грань отношения ((Ах)! / ((х)! на мпоэкестве всех элементов х ф 0 пространства Н (или (что то же самос) точная верхняя грань величины ((Ах(( на множестве всех элементов х пространства Н, норма ((х!) которых равна единице). Норму линейного непрерывного оператора А будем обозначать символом ~~А((. Итак,по определению )(А(( = зпр ((Ах)!. (11.
39) ~~ ~1=1 ген 408 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. 11 Всюду в дальнейшем в этом параграфе рассматриваются линейные непрерывные операторы. Приведем пример линейного непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Рассмотрим гильбертово пространство 12[а < Ь < 6) и предположим, что нам задана некоторая функция двух переменных К(ь', а), определенная и непрерывная в квадрате [а < Ь < 6) х х [а < з < 6). Докажем, что интегральный оператор А, определяемый на элементах т(Ь) пространства Х ~[о < Ь < 61 равенством ь Ах(ь) = 1 К(Ь, а)х(а) сЬ, (11.40) а является линейным и непрерывным.
Линейность этого оператора непосредственно вытекает из линейного свойства интеграла. Для доказательства непрерывности оператора (11.40) достаточно доказать его ограниченность, для чего достаточно установить конечность его нормы (11.39). Обозначим через ЛХ число гь ь 1 02 М [' ['К2(ь ) ь (11.41) а а и убедимся в том, что ~~А~~ < М. В силу неравенства Коши- Буняковского и определения нормы ь б б ~ 1 (Х)~2 < Г К2[Ь ) л, [.т2[ ),ХВ ь,ь2~Кг[Ь а а я Проинтегрировав последнее неравенство по Ь в пределах от а до 6 и воспользовавшись обозначением (11.41), будем иметь ))Ат)) < М ((т!).
По это и означает ограниченность оператора А и справсдливосгь для его нормы неравенства ~~А~~ < М. Отметим, что для некоторых интегральных операторов (11.40) ~~А~~ в точности равна М. 2. Понятие сопряженного оператора. Введем теперь важное понятие сопряженного оператора. Предположим, что в гильбертовом пространстве Н задан прои:1вольный действующий из Н в Н линейный непрерывный оператор А. Фиксируем произвольный элемент у пространства Н и рассмотрим [определенный на всех элементах я пространства Н) функционал Х(я) = Х„(я) = (Ая, у). Очевидно, что этот функционал является линейным и непрерывным.
По теореме Рисса об общем виде линейного функционала найдется единственный элемент 6 = 6, пространства Н такой., что для всех элементов я пространства Н справедливо равенство Х(т) = (т, 6). э 4 ВпОлне непрерыВные слмОсОпРЯженные ОператОРы 409 Стало быть, каждому элементу у пространства Н мы поставили в соответствие один и только один элемент этого пространства 6 такой, что 1„(х) = (х, 6), т. е. мы определили в Н некоторый оператор А* такой, что й = А*у. Указанный оператор А* и называют оператором, сопряженным к оператору А.
Иными словами, мы приходим к следующему определению. Определение 1. Оператор А* называется с о п р я ж е ни ы м к действ уюиуему пз Н в Н оператору А, если для любых элементов х и у пространства Н справедливо равенство (Ах, у) = (х, 4*у). (11.42) Из приведенных нами рассуждений следует, что для каждого линейного непрерывного оператора А существует и притом только один сопряженный оператор А'. Непосредственно из определения 1 вытекает, что если для оператора А' существует сопряженный оператор (А')', то справедливо равенство (А*)* = А. Мы сейчас убедимся в том, что для случая, когда оператор А является линейным и непрерывным, оператор А' также является линейным и непрерывным (а поэтому для А* существует сопряженный оператор и справедливо равенство (А*)* = А, .позволяющее называть операторы А и А* взаимно сопряженными).
Теорема 11.10. Оператор А*, сопряженный к линейному непрерывному оператору А, гпакже является линейным и непрерывным, причем нормьс операторов А' и А связаны соотношением ((А'(! = ))А)). (11.43) Доказательство. Линейность оператора А* сразу вытекает из соотношений (11.42) и из аксиом скалярного произведения. Остается доказать ограниченность оператора А' и равенство (11.43). В силу равенства (11А2), соотношения ~~Ау~~ < < ))А)) ))у)) ) и неравенства Коши. Буняковского для любых элементов х и у пространства Н справедливо неравенство )(А'х, у)! = )(х, Ау)( < ух)! ))Ад(! < уА)) . ((х)! ))у)!. Взяв в этом неравенстве в качестве д элемент А*х, мы получим, что для л ю б о г о элемента х пространства Н справедливо неравенство ))А*х((Я = (А*х, А'х) < ))А)! .
))ху . уА'х!) или ))А*х(! < ))А)! . ((х(!. ' ) Указанное соотношение, справедливое для любого элемента у пространства Н, вытекает из определения нормы линейного непрерывного оператора А. 410 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРЛНСТВО ГЛ. 11 (11.47) ) В самом деле, для непрерывных функций л(С) н у(Ь) равенство правых частей (11.47) и (11.48) очевидно. Но тогда, в силу теоремы 11.4 и неравенства Коши-Буняковского, указанное равенство справедливо и для произвольных элементов а(С) и у(С) пространства ь (а, Ь).
Последнее неравенство означает что оператор А* является ограниченным и что его норма 8А*'8 удовлетворяет усвовию '8А*'8 < 8А)). (11.44) Доказанные нами линейность и ограниченность (или, что то же самое, непрерывность) оператора А* обеспечивают сусцествование сопряженного к нему оператора (А*)* = А. Повторяя для этого оператора проведенные выше рассуждения, мы получим вместо (11.44) неравенство '8А!) < ))А*)!. (11.45) Из (11.44) и (11.45) вытекает равенство (11.43). Теорема доказана.
Определение 2. Нроизвольнъсй, действующий из Н в Н опе- ритор А назьсввепссл с ам о со пр лаю е н мы м, если длл А существуесп сопрлзюенный оператор А*, совпадающий с операспором А (т. е. если длл любых элементов х и у простронствв Н справедливо рв,венство (Ах, у) = (х, Ау)). В качестве примера снова рассмотрим интегратьный оператор (11.40) с некоторой непрерывной на квадрате (а < 6 < 6) х х (а < з < 6) функцией К(с, з) (эту функцию принято называть я д р о и интегрального оператора (11.40)). Убедиьлся в том, что сопряженным к оператору А, определяемому равенством (11.40), является интегральный оператор А', определяемый равенством ь А'х(1) = )'К(з, Х)х(з) дв (11.46) а (под К(з, с) в (11.46) следует понимать ту же функцию, что и в (11.40), но в (11.46), в отличие от (11.40), эта функция интегрируется по первому аргументу). Из (11.40) и (11.46) вытекает, что для любых элементов х(с) и у(1) пространства ь [а, 6) справедливы равенства ьуь (Ах, у) = ) ~ ) К(1, з)х(з) дв у(1) дЬ, а а ьуь (х, А'у) = / ~ / К(1, з)у(1) сИ х(з) дз.
(11.48) а а Правые части равенств (11.47) и (11.48) отличаются только порядком интегрирования по переменным 1 и з и поэтому. совпадают 1) . Стало быть, совпадают и левые части равенств (11.47) г л ВпОлне непрерыВные слмОООпРяженные ОпеРлтОРы 411 и (11.48), а это и означает, что оператор А*, определяемый равенством (11.46), является сопряженным к оператору А, определяемому равенством (11.40).
Из соотношений (11.40) и (11.46) следует, что интегральный оператор А, определяемый равенством (11.40), является само- сопряженным тогда и только тогда, когда для всех 1 и в из (а, о) справедливо равенство К(г, в) = К(в, 1). Ядро К(г, в), удовлетворяющее указанному равенству, называется с и и м е тр и ч н ы м. Докажем теперь следующее утверждение. Теорема 11.11. Норма ((А(( линейного непрерывного самосопрлженпого оператора А представляет собой гпочную верхнюю грань величины ~(Ах, х)~ на множестве всех элементов х пространства 11, имеющих равную единице норму, т. е.
нормо, А определлетсл равенством ))А)! = гпр )(Ах, х)!. (11.49) /,'г/!=1 анн Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через р величину, стоящукг в правой части (11.49) (существование указанной точной верхней грани не вызывает сомнений). Чтобы доказать, что и = = ~~А~~, достаточно доказать два неравенства р < ~~А~( и р > ~~А~~. Первое из этих неравенств сразу вытекает из того, что па основании определения нормы оператора и неравенства Коши— Буняковского для всех элементов х пространства Н, для которых ((х)! = 1, ((Ах, х)( < )(Ах)! ))х(( = ))Ах)! < ((А((. Остается доказать неравенство р ) ))А)!.
Так как оператор А является линейным, то для каждого элемента х пространства Н справедливо неравенство ) ((Ах, х) ! < р . 'рх))г . (11. 50) Далее из аксиом скалярного произведения и из самосопряженности линейного оператора А (т. е. из равенства (Ах, у) = (х, Ау)) вытекает, что для любых элементов х и у пространства Н справедливо равенство 4(Ах, у) = (А(х + у), х + у) — (А(х — у), х — у). Из этого равенства и из (11.50) вытекает, что 4)(Ах, у)( < р ))х+у// +р,))х — у(! = 2р(//х!) + ((у(( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
