Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Так как ИР— знакоопределенная форма, то выражение ~Ь сов о+2М сов о вгп о +г"г' впа о~ имеет положительный минимум А, т. е. ~Ир~ > Арг. 1 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии пОВБРхнОстей 443 ний р, и поэтому в окрестности точки Р поверхность располагается по одну сторону от касательной плоскости лР в этой точке (рис. 12.10). Точка Р поверхности называется в этом случае э л л и и т ической. Сфера,.
эллипсоид, эллиптический параболоид примеры поверхностей, каждая точка которых эллиптическая. 2'. Вторая квадратичная форма ПР является зпцкоперемепной (1л'у' — Лт2 < О). В этом случае в точке Р на поверхности можно указать два таких различных направления ди: дв и би: бп, что для значений дифференциалов переменных и и п, определяющих эти направления, вторая форма обращается в нуль, все же остальные направления разделяют- Р ся двумя указанными на два класса.
Для дифференциалов ди и дп, отноше- Рис. 12.10 ние ди: да которых определяет направление принадлежащее одному из этих классов, вторая форма положительна, для отношений ди: дп, определяющих направления другого класса, отрицательна. Поэтому поверхность вблизи точки Р располагается по разные стороны от касательной плоскости лР в этой точке урис. 12.11). Точка Р поверхности называется в этом случае г и п е р б олической. Каждая точка однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида является гиперболической.
3'. Вторая квадрати шая форма ПР является квазизнакоопределенной 11 Х вЂ” М2 = О). В этом случае в точке Р на поверхности можно указать одно такое направление ди: дп, что Рис. 12.12 Рис. 12.11 для значений дифференциалов ди и дп, определяющих это направление, вторая форма обращается в нуль. Для всех остальных значений дифференциалов вторая форма сохраняет знак ) (рис. 12.12). ' ) В этом случае вторая форма может быть представлена в виде квадрата некоторой линейной формы дифференциалов ли и ле. 444 ОснОВы теОРии кРиВых и пОВеРхнОстей Гл.
с2 Точка Р поверхности называется в этом случае и ар аб оп и ч е с к о й. Каждая точка цилиндрической поверхности параболическая. 4'. Вторая квадратичная форма ПР равна нулю в точке Р (ь = ЛХ = 1с! = О). Точка Р называется в этом случае т о ч к о й у и л о щ с н и я . На рис. 12.13 изображена поверхность с точкой уплощепия. Любая точка плоскости является точкой уплощения. Примером изолированной точки уплощения может служить точка с координатаРис. 12.13 ми (О, О! 0) поверхности, задаваемой уравнением я = я + у . Отметим, что если все точки поверхности являются точками уплощения, то поверхность является плоскостью. 4.
Кривизна кривой на поверхности. Пусть регулярная поверхность Ф задана посредством векторной фу.нкции т = = т(и! о), и единичный вектор нормали к Ф, Е регулярная кривая на Ф! имеющая в точке Р(и, о) направление ди: с4о. Выберем в качестве параметра на Е длину 1, так что т = т(и(l), о(1)) = т(1) вдоль Е. В п. 6 предыдущего параграфа мы установили, что вектор т' (1) направлен по главной нормали и!. к кривой 7 в точке Р и модуль этого вектора равен кривизне и кривой Ь в точке Р. Поэтому т"и = к сов ~р, (12.47) где ср --. угол между главной нормалью пв кривой ь и нормалью п к поверхности (рис. 12.14).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем с! с2 ! ! с2 о и т (1) =т„„и +2ти„ио +т„„о +тки +тоо Так как вектор и ортогоналеп векторам т, и т,, то, подставляя найденное выражение т"(1) в левую часть (12.47) и учитывая формулы (12,41)! получим топ = (т п)и' + 2(т „п)и'о'+ (т„п)о' = Ьи" + 2Мисо' + Дсо'2. (12.48) сси ! !со Поскольку и = —, о = — и накривой Ь справедливо равенство Ж' сП сП~ = Еаси~ + 2Гс1ис1о + Сс1о2! то из (12.47) и (12.48) следует 1 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии пОВБРхнОстей 445 соотношение Асса 4 2Мссиссе+1усси 11 с12 49) к сов сз = Едиа -~-21ессийи-~-б'сси' 1 Правая часть (12.49) зависит только от отношения ди: дщ т, е. только от направления ди: ди. Поэтому для всех кривых й на поверхности Ф, проходящих через точку Р в данном направлении ди: сЬ, вьсразн;ение сс сов сз равно некоторой постоянной сси: 1с сов ез = к„= сопэ1.
(12. 50) В частности,. если кривая Л представляет собой так называемое нормальное сечение Аи поверхности Ф в направлении аи: сЬ, т. е. линию пересечения поверхности Ф с плоскостью, проходящей через нормаль п и направление ди: ди,. то 9з = О, сов ~р = 1, и поэтому формула (12.50) примет вид Таким образом, величина ки представляет собой кривизну нормального сечения поверхности в направлении сси: ди и может быть вычислена по формуле Ьссие -~-2М ссади 4-1Усси' 11 (12 51) Еди' 4- 2ГдасСи -Ь СА~' 1 Величину ки называют также нормальной кривизной липин Ь.
Отметим, что равенство (12.60) выражает содержание теоремы Мекье ) . 5. Специальные линии на поверхности. 1'. А симптотические линии. Направление ди: йи на регулярной поверхности Ф в точке Р называется а с и м пт о т и ч е с к и м, если нормальная кривизна в этом направлении равна нулю. Из соотношения (12.51) следует, что направление ди: ди будет асимптотическим только тогда, когда для этого направления выполняется условие Лди + 2Мс1ис1и+ г1с1и2 = О. (12. 52) Так как вторая форма обращается в нуль в гиперболических точках, параболических точках и точках уплощения поверхности, то только в этих точках имеются асимптотическис направления: в гиперболической точке два асимптотических направления, в параболической точке одно асимптотическое направление, в точке уплощения любое направление является асимптоти сескикс.
) Менье - франпуэский математик (1754-1799). 446 ОснОВы теОРии кРиВых и НОВеРхнОстРЙ Гл. 12 П = 2ЛХдисЬ. 2'. Главные направления. Линии кривизны. Из формулы (12.51) видно, что нормальная кривизна в дашюй точке представляет собой функцию от ди и с1и, точнее, от отношения с1и/с1и, т. е. от направления ди: аи в данной точке. Экстремальные значения нормальной кривизны в данной точке называются главными кривизнами, а соответствующие направления главными направлениями. Убедимся, что в данной точке регулярной поверхности всегда имеются главные направления. Полагая ди = сов сх, дю = в1па, преобразуем выражение (12.51) для к„к виду Асов а -Р 2ЛХсоьосйпо -Р 5'в1о~ о ив Есов~ о+ 2с сов осйпа+ Сей1~ о Таким образом, в данной точке нормальная кривизна к„ представляет собой дифференцируемую функцию аргумента сс, заданную на сегменте ~0, 2я) и принимают ю одинаковые значения при сг = 0 и сс = 2к.
Поэтому в некоторой внутренней точке сх этого сегмента ко имеет локальный экстремум. Указанному значению ес отвечает направление аи; дв на поверхности, которое, естественно, является главным. Если вести отсчет углов ег от этого главного направления, то, рассуждая аналогично, мы убедимся, что по крайней мере еще для одного направления ди: дв достигается экстремум нормальной кривизны. Введем понятие асимптотической линии. Асимптотической линией на поверхности называется кривая, направление которой в каждой точке является асимптотическим.
Если регулярная поверхность состоит из гиперболических точек, то она покрыта двумя семействами асимптотических линий. Например, два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида являются асимптотическими линиями. Если на поверхности имеются два семейства асимптотических линий, то их можно выбрать, вообще говоря, за координатные линии и и и.
В этом случае вдоль линии и, например, не меняется параметр и, и поэтому на этой линии вторая форма имеет вид П = Т ди . Так как в асимптотическом направлении 2 П = 0 (сы. соотношение (12.52)), то Т = О. Аналогично можно убедиться, что Х = О. Итак, если асимптпотическпе лиьгии поверхности являются координатными линиями, то вторая форма имеет вид 1 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии НОВеРхнОстей 447 Л вЂ” к,Е М вЂ” /с,Е = О. ~гЕ (12 54) Из уравнения (12.54) могут быть определены главные кривизны й;, а затем из соотношений (12.53) главные направления. Уравнение (12.54)является квадратным уравнением относительно Йн вещественными корнями которого являются главные кривизны. Поэтому могут представиться два случая; 1'.
Уравнение (12.54) имеет два различных корня Й1 и йг. 2'. Корни й, уравнения (12.54) одинаковы. Рассмотрим эти слу чаи отдельно. 1'. Уравнение (12.54) имеет два различных корня: й1 и Ка, 1с1 у= йг. Этим корням отвечают два различных главных направления. Убедимся., |то если направления координатных линий и и и в данной точке совпадают с главными, то в этой точке Е = О и М = О. Отметим, что обращение Е в нуль означает ортогональность главных направлений.
Итак, пусть направления координатных линий и и и в данной точке совпадают с главными направлениями. Это означает, что направления ди: О, О: ди являются главными, и поэтому из соотношений (12.53) вытекают равенства Š— 1, =О, М вЂ” 1,Е=О, М вЂ” 1гЕ = О, 1'ч' — 1гС = О. Так как к1 ф 1г, то, очевидно., М = О, Г = О. Отметим, что при указанном выборе координатных линий главные кривизны Й1 Итак, в каждой точке регулярной поверхности имеется по меньигей мере два различных главных направления. Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
