Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Считая й„функцией от ди и ди, получим из соотношения (12.5Ц, следующее тождество относительно ди и ди (Л вЂ” ИьЕ) ди~ + 2(М вЂ” к„Г) ди до + (Х вЂ” 1„С) ди~ = О. Дифференцируя это тождество по ди и по ди и учитывая, что производная нормальной кривизны для главного направления равна нулю, получим для ди и ди, определяющих любое главное направление, соотношения (Л вЂ” ЦЕ) си + (М вЂ” 1сгЕ) ди = О, (М вЂ” Й,Е) ди + (1ч' — ЦС) ди = О, (12.53) в которых к, значение главной кривизны в направлении ди; сЬ. Так как в каждой точке имеются главные направления, то си- стема (12.53) имеет относительно ди и до ненулевые решения. Следовательно, должен быть равен нулю определитель этой си- стемы: 448 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ.
12 и Й2 могут быть найдены из соотношений А к й1=-, й2=- Е' сэ 2'. Уравнение (12.54) имеет доа одинаковьсх корня; 15 = й = й. Убедимся, что в этом случае любое направление в данной псочке является главным. Если координатные линии в данной точке ортогональны, то в этой точке г' = О и М = О. Мы уже отмечали, что в каждой точке имеются по крайней мере. два раэли ьных главны о направления. В рассматриваемом случае каждому из этих главных направлений отвечает одно и тоже значение й главной кривизны. Но тогда должны обратиться в нуль коэффициенты системы (12.53), т. е. Š— йЕ = О, М вЂ” йЕ = О, 2"ч' — ЙС = О.
Из этих равенств следует, что в данной точке коэффициенты второй формы пропорциональны коэффициентам первой формы; ь = кЕ, М = йр, гсС = кС. 11одставляя эти значения ь, М и 2сС в формулу (12.51), мы убедимся, что в данной точке кривизны нормальных сечений в любом направлении ди: ди одинаковы и равны 12 Следовательно, любое направление ди: сЬ в данной точке является главным. Если координатные линии в данной точке ортогональны, то Е = О, а тогда из соотношения М вЂ” сгЕ = О следует, что и М = О.
Итак, мы можем сделать следующий вывод: в каждой тпочке поверхности имеются ортогональньсе главные направления. Если направления координатных линий совпадают с этими главпсыми направлениями, то о этой точке г' = О и М = О. Введем понятие линии кривизны. Линие й кри,в ионы на 'поверхности называется 'кри; вая, направление которой в каждой точке является глаоным, На любой регулярной поверхности имеется, вообще говоря, два различных семейства линий кривизны (выше мы указывали, что в каждой точке имеются два различных главных направления).
Отметим, что если в качестве координатных линий выбрать линии кривизны, .то первая и вторая форма поверхности будут иметь вид: 1 = Ес1и2+ Сдиг, Едиг+ ~д„2 поскольку Е = О и М = О. 3'. Геодезические линии. Геодезической лип и с й на поверхности называется кривая., главная нормаль в каждой точке которой совпадает с нормалью к поверхности. *з 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии пОВВРхнОстей 449 Две любые точки регулярной полной поверхности можно соединить геодезической линией. Если эти точки достаточно близки, то соединяющая их геодезическая будет и кратчайшей линией любая другая линия на поверхности, соединяющая эти точки, будет иметь ббльшую длину. Отметим, что движение точки по поверхности без воздействия внешних сил происходит по геодезической линии.
6. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна поверхности. Теорема Гаусса. Пусть Р фиксированная точка регулярной поверхности Ф. Будем считать, что координатные линии и и и ортогопальны в данной точке и направления этих линий совпадают с главными направлениями. В и. 5 этого параграфа мы установили, что при таком выборе координатных линий в данной точке выполняются соотношения Р=б, ЛХ=О, т — ~ я=О, !У вЂ” ~за=6. С помощью этих соотношений формула (12.51) для нормальной кривизны кн примет вид азЕди + ЙзСди Е!!из ч'- Саит Если положить ез '+сз ез '+оз ' то, очевидно, получим следующую формулу для нормальной кривизны: ки = к! соз аз + Йо в!и !!з. (12.56) Формула (12.56) называется формулой Эйлера.
С помощью этой формулы нормальная кривизна Йи в направлении ди: с!и может быть вычислена через главные кривизны й! и йз. Очевидно, формула Эйлера и формула (12.50) дают полную информацию о распределении кривизн линий на поверхности. Замечание 1. Угол 9з в формуле Эйлера, значение которого может быть найдено при заданном направлении ди: ди по формулам (12.55),представляет собой тот угол, который составляет наг!равление !1и; с!и с направзсениел! координатной линии и.
Чтобы убедиться в этом., вычислим по формуле (12.36) косинус угла между направлением с!и: !!и и направлением ди: 0 линии и. Полагая в формуле (12.36) би = ди, би = О, полу;/Е Ни У Р , которое аз оз»'' "н иг "' 'л ' т ""Ря " ""ц"Р "г формул (12.55). !3 В. А. Ильин н З. Г. Позняк, часть Н 45о0 ОснОВы теОРии кРиВых и НОВеРхнОстРЙ Гл. 22 В теории поверхностей широко используются понятия средней и гауссовой кривизны поверхности в данной точке.
Средней кривизной Н поверхностиназывается полу- 1 сумма — (Й2+ Й2) главных кривизн. Га у с с о в о й кривизной К 2 поверхности называется произведение Й1Й2 главнь2х кривизн. Обращаясь к уравнению (12.54) для главных кривизн и используя свойства корней квадратного уравнения, получим следующие формулы для Н и К: 1 ЬС вЂ” 2ЛХЕ+ Л2Е 2 ЕС вЂ” 1сг (12.57) (12.58) ЬУ йге ЕС2 в2 А = (т„т„те)(т„т т,) — (т„,т„т„) . 2 ) К.
сй. 1'аусс - — выдающийся немецкий математик (1777 1855). 3 а м е ч а н и е 2. Из выражения (12.58) для гауссовой кривизны следует, что ее знак совпадает со знаком дискриминанта Л222 — ЛХ второй квадратичной формы (дискриминант ЕС вЂ” Г первой формы всегда положителен, так как первая форма положительно определенная). Поэтому гауссова кривизна в эллиптических точках положительна, в гиперболических отрицательна и равна пулю в параболических точках и точках уплощения.
На первый взгляд создается впечатление, что гауссова кривизна К поверхности может быть найдена лишь в случае, когда известны первая и вторая квадратичные формы поверхности (см. формулу (12.58)). На самом же деле, гауссова кривизна может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и поэтому представляет собой обьект внутренней геометрии поверхности. Этот замечательный результат был установлен Гауссом ) и в математической литературе называется «знаменитой теоремой Гауссов.
Докажем эту теоремч. Теорема Гаусса. Гауссова криоизпа К поверхности может быть выражена через коэффициенты первой квадратичной формы поверхностп22 и их производпь2е. Доказательство. Обращаясь к формуле (12.58) для гауссовой кривизны К и используя выражения (12.42) для коэффициентов второй квадратичной формы, легко убедиться, что для доказательства теоремы достаточно выразить через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные следующее выражение; 1 3 некОтОРые сВеДениЯ из теОРии пОВеРхнОстей 451 Это выра>кение легко преобразуется к виду ) 2 Тиитии тии тиити тиити О тиета ти„т„ тти, Е Е тити„Е С 112.59) Дифференцируя по и и и выражения 2 ти =.Е, тит = Г, т =С, получим 1 тиити = Еи~ 1 т та= — С, 1 1 т,„ти = -Е„т„,т„= -С„ 1 тиити — г'и Еи~ 1 тиити — г'и Си.
2 ( Сии + Еии Еии) Еи (Еи Ее ) (т,— — С) Е Е К= 1 1еб ре)г 1 -С„ 2 О -Е -С 2 2 — Е„Е Е 2 -Си Е С 1ЕС вЂ” с'г) г гг ) При преобразовании испальзуетси следующее тождество: агаг агЬг агсг 1агЬгс1)1агбгсе) = Ьгаи Ь1Ьг Ь|сг сгаг сгЬг сгсг Дифференцируя выражение для таит по и, а выражение таит„ по и и вычитая полученные резулыаты, найдем 2 1 тиитии тии — Сии + Еии Еии.
2 2 Подставляя найденное выражение и выражения для скалярных произведений производных в правую часть 112.59), мы убедимся в справедливости теоремы. В заключение приведем выражение для гауссовой кривизны Л через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные: ПРИЛОЖЕНИЕ О ВЫ'ЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ Ф'УНКЦИИ ПО ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ ФЪ'РЬЕ (П.2) ) Определеппе пространства Р и нормы его элементов см. в и.
1 2 1 гл. 11. 1. Задача о суммировании тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье. Предположим сна гала,. что функция 2 (х) удовлетворяет условиям, обеспечивающим равномерную сходимость ее тригонометрического ряда Фурье — е + Я(аь сов ах+ Ьь э1п лх) (П.1) 2 Ь=1 на всем сегменте ( — к, 7г]. Предположим далее, что вместо точного значения тригонометрических коэффициентов Фурье аь и дь этой функции нам известны лишь приближенные значения пеь и Ьь указанных коэффициентов Фурье. Именно этот случай весьма часто встречается в прикладных задачах. Будем считать, что ошибки при задании приближенного значения тригонометрических коэффициентов Фурье малы в смысле нормы пространства 1 ) .
Это означает, что справедливо 2 11 неравенство + ~~ (аь — аь) + (Ьь — Ьь) < 6, 1=1 где б достаточно малое положительное число, которое мы будем называть по г р е ш постыл в задании коэффициентов Фурье. Естественно возникает важная для приложений задача: по приближенным значениям коэффициентов Фурье аь и Ье восстановить в данной фиксированной точке х функцию 1'(х) с ошибкой е(д), стремящейся к пулю при б — э О. Покажем, что прямым суммированием ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье — е + ~~> (аь сов йх + Ьь вш ах), (П.З) 2 Ь=1 О Вычислвнии значений Функции 453 вообще говоря, невозможно добиться восстановления функции 1(х) в данной точке х ни с какой степенью точности.
Фиксируем произвольно малую погрешность б > О и положим С = 2, —. Предположим, что погрешности в задании коэффициентов Фурье имеют следующий конкретный вид: ао — по=О.,аь — аь=Ьь — Ьь= при Ь'=1,2,... ЬСъ'2 Для заданных с такими погрешностями коэффициентов Фурье, очевидно, будет справедливо соотношение (П.2) со знаком точного равенства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
