Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 131
Текст из файла (страница 131)
Теорема 16.Я. Пусть кривая Ь являеошя ерафиколс функиии у = ф(х)> причем ф(х) илгеет в >почъе. хо не равную йулн> с>тору>о производпун> и непрерья>сук> третья пропзвод>сук>. Тогда. для кривой Х сусйествуст в точке Мо(хо> Х(хо)) соприкасаюиСолся окХ>дэк>нос>>пс>. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем искать уравнение соприкасающейся окружности в виде )г+ (у 6)г „г (16. 29) где о,. 6 и р постоянные, подле>кашне определению. Разрешим уравнение (16.29) относительно у и найденное решение д = у(х) подставим в левую часть (16.29).
Тогда мы можем рисматривать (16.29) как тождество относительно х (считая при этом, конечно. что у = у(х)). Продифференцируем тождество (16.29) два раза по:с: и потребуем, чтобы в полученных при этом сос>тцошениях и в самом соотношении (16.29) эначепия уо, д>о, у>о функции у = у(х) и ее первых двух производных в точке хо равнялись соответственно Х(хо)> Х (хо) Х (хо): Уо = Х(сео)> Уо = Х (со)> Уо = Х (гсо). Таким образом, мы получим следующую систему уравнений относительно а, 6 и р: (хо — а) + (Уо — 6) = Р, (хо а) + (Уо 6)уо = О: 1 + (уо) + (уо — 6)уо = О При ус:ювии у>' = Х~~(хо) ф О, р > О эта система имеет единственное решение: 1 Ьуо а=хо — „' Уо> уо 622 нгнложиння диван инцнйльного нс )нслкння гл. кз Из приведенных рассуждений вытекает, что для окружности, координаты (а., Ь) центра н радиус р которой определяк)тся формулами (16.30), и кривой Х выполняются все условия замечания 1 к теореме 16.2.
Поэтому указанная окружность будет соприкасающейс)). В а м е ч а н и е. Если в условиях теоремы 16.3 требованне Х'(що) Х. -0 заменить противоположным требованием Х~'(гао) = = О, то у кривой Х. в точке ЛХе не су)пествует соприкасающейся окружности. Однако в силу заме щния 2 к теореме 16.2 в этом случае кривая А н касательная к ней в точке Мо имеют в этой точке порядок соприкосновения не ниже двух. Таким образом, можно считать, что в указанном случае соприкасаюпщяся окружность в точке Мо вырождается в прямую. й 3. Кривизна плоской кривой 1.
Понятие о кривизне плоской кривой. Пусть кривая Х :задана посредством параметрических уравнений та = щ(т), у = = д(Ь). Будем считать, что для кривой Х выполнены условия, оговоренные в )) 1 гл. 11 '). В таком случае в любой точке ЛХ кривой А можно выбрать )золожззтельное направлен)ле. Договоримся называть положительным паправлениемз в дапной точке ЛХ кривой У' то направление, в котором точка ЛХ будет перемезп)зться прн увеличении параметра Х.
Фиксируем теперь на кривой Х некотору)о то'зкз' Мо„отвечакппук) значению параметра йо, и предположим. что з)Ха эта точка является обьгкновенной точкой кривой А. То)да участок яр))вой Х, ззрззыыке)ю- О )цнй к точке ХКХ)), )Ч)едставл)зет собой график функции вида либо р = Х(щ), либо щ = Х) ~у), при )см существует касательная к кривой Х в точке ЛХо. Па этой касательной мы введем поги)ж)лтельное паправлеьпле, соответствуюшес положительному направлению в точке Мо кривой Х ). вз Вс)оду в двэ)ы)ейп)ек) мы будем рассыатривать ~ель~о паправлепнук) касательную. На рис.
16.10 н)шравление касательной указано стрелкой. ) То есть оудем считать, что кривая 1 не имеет точек самопересочения и участков самоналегания. ) То есть договоримся называть положите.)ьным направлением па касательной то направление, в котором точка, представляющая собой проекпик) на касательпук) точки кривой 1, при увеличении параметра будет перемещаться.
!СРИВИЗЕ1Л и;!ОСКОЙ КРИВОЙ 623 1з Предположим теперь, что все тачклл кр)лсюй Х, расположенные в некоторой окрас'гности фиксированной нами точки Мо, )лил)ли)ттлсгн аботкнавенными. Пусть ЛХ -- одна из указанных точек. Введем понятие. угла, смезн)пашни участка кривой Л|аМ. Ради определенно!:ти бу,тем считать, тто точка М соответствует большему значению параметра, чем ЛХа. Углом смеаюнаспт учасп)ка кривой ЛХаМ ннювем угол между направленными касателытыми к кривой Х в точках М и Мо, взятый со знаком плюс в случае, если касательную в точке Ма для совмещения кратчайшим путем с касательной в точке М следует повернуть против част)вой стрелки, и со знаком минус в прот)тано)л )лу тае.
Па рис. 16.11 изобра)кон участок ЛХаЛХ, имеющий по;южнтельный угол смежности, а па рис. 16.12 -- участок МаЛХ, именнций отрицательный !тол смежности. Рис. 16.11 Рис. 16.12 Введем далее понятие средней криснлзньл участка кривой, МаМ. Средней кривизной участки кривит) Мс)М назовем атнааленае угла смеоюнастви зн)ага учаспгка и длине зтаага участака,.
Так как точку ЛХо кривой Х мы считаем фиксировашлой, то средняя кривизна участка МаЛХ будет футткцией точки ЛХ или функцией параметра 1. Эту функцию мы обозна!им символом )ткт,(М) или )тат,(Х). Ес:тсствснно, возникает вопрос о рассмотрении предела этой функции при стремлении точки М вдоль кривой Х к точке ЛХа (нли, сто то же самое, при стремзении парт)ьтетрт) Х к Ха).
Определение. Предельное значение средней кривизны учат:тка трллтат), МвМ тлр)л стаХ)е млении тттки ЛХ ~дал~ кХ)ллвалл, к тачке ЛХа налиолваеласлн к р тл в и з и о й в далтой' тачке Ма кривой А и абазначаетсн символам )с(ЛХд). Т)ким образом, по опрсгделс)нслю Л(Ма) = 1ш) ломо(М) = 1ш) )тмо(Х). м — мо ' л-мо бай 11РН'1Откення ДНФФегенциа.1ЬИОГО ис'чтио "1ения Г 1 16 Предоставим читатсэлк) самому убедиться в том, что: 1) как средняя кривизна тнобого участка прямой линии.
так и кривизна в;побой точке этой линии равны ну)но. 2) как средняя кривизна любого участка окружности радиуса Д, так и кривизтта в любой точке этой окружности равны 1?П. Ъ'стттттовттхт формулу для вычисления кривизны в любой точке произвольной кривой Ь. 2.
Формула для иычисления кривизны. Пусть кривая Ь задана параметрическими уравнениями х = сс(1). ст = р(1), ЛХО нс)которая фиксированная точка этой кривой, отвечаклцая значению параметра 1В. Предположим, что все точки кривой Ь из некоторой окрестности ЛХО являются обыкновенными и что функции х(1) и у(1) имеют в точке 11) вторые производные. При этих предположениях мы установим обтную формулу для вычисления кривизны в точке ЛХВ кртлвой Ь. Пусть х и х:тттттчсэттття первой и второй производнои функции х = х(?) в точке ?е, тт х+?1):тб значение первой производной этой функции в точке 1В + т.'т? ( ) т — нронзвольное прирантение параметра ?). Таким образом, т'.тх .
приращение первой производной функции х — х(?). Пусть р, у и у+?ту соответствующие значения производных функции т? =- р(1). Если считать, что точка ЛХО, отвечшощая значеншо параметра, ?е, фиксироВана, а точка ЛХ ОтВс'.частт значеник) птц)ттхтсэтртт й = ?е + т".с?, то угол стюжности участка ЛХВЛХ и длину:этого участка можно рассматривать как Е сХ)унтсс?птт с)Х)гт?лтстннтст тзс.
Эттт функ- 1?ии мы ОООзначихт соотВетстВс!нно через сх(т).1) и 1(т".т?). М По определению кривизна ?с(ЛХВ) В точке ЛХВ кривой равна ирс,дель- а(ттт) ном')' значстнию 11(ЛХВ) = 1нп " . (16.31) стт — )а 1(~11 Докажем, что предельное значение (16.31) сутнествует и вычислим это предельное зна ?ение. Обозначим через сдв и сэ углы наклона к Оси От' касатстльн1?х к криВОй Ь, прОВедсэнных чс)ре:т точки ЛХО и ЛХ соответственно (рнс. 16.13). '1огда, очевидно, при любом расположении точек ЛХО и ЛХ для угла смежности ст(т"т?) будет справедливо соотношение ст(ьт?) = т) — т)е Из пос:леднего соотношения вытекает, что 1о сх(?~1) =- Ь+ (16.32) 1+ тх т) тК' с) квивизнл плоской кгивой 625 (16.35) Исходя из геометрического смысла производной (см.
и. 4 ч 1 гл. 5) и из выражения для производной функции, заданной па- раметри пески (см. 3 11 гл. 5), мы можем записать У,. 'У+ ~У 16'РО = — '.; ОК'~ =, х' х+.Хх Таким образом, формулу (16.32) можно переписать в виде У+~У У 1и о(Ы) — х+.' .' ". — ',У У ' . (16.33) у(У-г Лу) х(1: ч Хх) -ту(у-г Ьу) х(х Ч- Ья) Поскольку ф)нинин х =- х(Х) н у =- у(1) имшот в точке ХО вторые производные, то первые производные этих функций в точке ХО непрерывны и, стало быть, 1)ш хху = О, 1пп Ьх = О. ЛЬ-УО ЛЬ-~О Но тогда, в силу равенства (16,33), 1йп Ойгх(Л1) = О.
ГН вЂ” О Из поспеднего равенства и из непрерывности арктангенса вытг. кает, что 1пп о(Ы) = О. анхо Поэтому справедливо равенство 1)ш — 1ш1 ~сов гх(Ь1) = 1. (16.34) о(ЬО . ( о(хтО ш--О сии (~О аО- О ~ УОв о(ЬО Равенство (16.34) и теорема о предельном значении произведе- ния сводит вопрос о вы пилении предельного значения (16.31) к вычисления> О ледующего предельного значения: й(МО) = 11п1 = 1)п1 ~ко(ЬО вп — ~О ш — ~О 1(ди) Для вычисления этого предельного значения заметим, что дли- на 1(ххах) участка кривой ЛХОЛХ определяеОся формулой ~О ги 1(ЬУ) = хв(т) + ув(т)г1т. Фо Применив к интегралу, стоящему в правой пи:ти последнего ра- венства, формулу среднего значения, будем иметь Ухе = х'Л'(~') + ГОгГ (16.36) где 1О ~ (1* ~ (1О + Ь1.
626 пгиложкпия Диеекнкнцилльпого усчислкния гл. Нв Соотноппзния (16.36), (16.33) и (16.36) позволян)т заклн)чит)ь ЧТО ВЫЧИ(;Л(!НР!Е КРИВИЗНЫ ('.ВОДИТСР! К ВЫЧИСЛ(ЕНИН) ПРОДЕВ!ЬНОГО зна н.ния ,:~Ч <~х й(ИВ) = 1гп! '5! -'~с,, 5, (16.37) ! 5(*' ~ь) Е<Е *~Е)~ «зе')~Г'<') Т!к как ф1 нкции х =-:«:(С) и д =- д(С) их<(н)т В точк<. Со Вторые произвоетные., то с! !Исств) 1От пред()льны(. зне!че ния 1пп — = «г и 1пп — ' = д.
Ьх -'~О (16.38) (З«-50 и! ПЕ.)0 л 1««лое, из не)пр(зрывност)! первых производных (])1нкций х = = х(С) и д = д(1) зак«!н)чаеь«, что <<,)е=п, н ее=о, <ь,,Я<~Яе<е)= «еггее «)! — )о пе — )О ' ' пе--)о (16.39) Из суп<ествования предельных значений (16.38) и (16.39) вытекает, что предельное значение, стоящее в правой части (16.37), существует и равно ху хд ]«ог + г]з«5 ' Таким образом, мы доказали, что криви:зна в точке Мо кривой Т суп<ее!'Вуегг и Оп]хздел51('.тс51 формулой '( О) ) 2 )«2 (16.10) 3 а м е ч а н и е.
Пус!ь !ребуется вьгпн !ить кривизну й(МВ) в данной !очк» Мо кривой 7, предстаоллРО!««СЕ! гобой град)пк деао«сдь«дпд)фере«(!«(«1)(дел«о«1 ф!Онк(С!«««! д = С(х). Положив в формуле (16АО) х = С, д = 2"(С), мы получим для искомой кривизны следующую формулу: 1 М (1 -!. (У'(х))з]()«) Наконец, е< !и кривая:задана полярным уравнением г = г(О), где г(О) дважды дифференцируемая функция полярного угла О, го приняв за параметр С !юлярныи у)-ол О и у пггывая, что х = 1(О) сов О, д = «'(О) вшО, мы получих! (Ледую«цее выра)кение для кривизны: г'(Е«) + 2(«г((З)]' — ).(Е«)г" («З) () з(В) -~- [г'(О)]з) "«5 В качестве примера вычислим кривизну в произвольной точке цепной линии д = а с!! —. а 627 ЧВО:НОТА и ЭВО.1ЬВВИ'1А Поскольку 1 + [1((,,))2 с) 2 .'( 1) зсн(х) 1,1 ('с У/ то кр(лвизна равна 2 У ось) -" о й 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
