Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 126
Текст из файла (страница 126)
+ — <)х» = О. дР дх< дх„ !15.53) дх> дх„ (15.54) Присоединяя к уравпециям (15.52) и (15.54) условия связи (15.41). мы получим систему и + 2|й уравцепий = О...., = О. — = О, ..., = О, д> ' ''д> ' д<> ''' 'ду г! =О,...,г„„=о д.чя опреде>!еп>ля и+ |й координат то жк возможного у<щовпого экстрех|ума и |и мпожителей Л|,..., Л„,. Практически щ>и реализации этого метода поступают <сз<здующихл образом. Составляют функцию Лагранжа (15,51) и для этол фупкцпи па<ходлй> >почи<>, возможного беаусг<о<з><ого зксп>ремл1ми. Для исключения множителей Л|,..., Ллв привлекают у<гловия связи (15.41).
Такой путь отыскания точек возможпого у<>ловпого экстремума является;зак<пшым. ибо оп привод|<о пас как раз к системе и, + 2>й уравпеппй 115>.55). Пример прпмепепия ~схода мьп>жителей 1аграпжа будет рассмотрел в и. 4. 3. Достаточные условия. В этом пункте >лы расгзлотрим одип из ~ут~й допел|и|те:|ы|ого исс юдовапия точ< к во'зможпого условного экстремума. Предположим, что в то |ке >!>о выполпепы необходимые у<жовия экстремума (15.55). Кремле того, дополцительцо потребуем двукратпой дифференцируемости функций (15.40) и (15г11) в окрестпости точки ЛХо и не<!р<зрывпости всех частных производных 2-го порядка в самой то |ке Ме.
Из конструкции фупкцип 11аграпжа (15.51) очевидпо, что йрй наличии связей (15,41) экстремумы функции (15.40) и функции 31аграп- Поскольку при сделанных вылив предположениях перемеппые х|,..., т,„являются веаатлс«мымл>, то из равенства (15.53) за- ключа<>м. что УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ жа совпадают'). Но тогда из результатов ~ 6 гл. 14 вытекает, что для получения достаточпоп> уклонив экстремума в точке ЛХо у функции (15АО) при наличии связей (15.41) следует, т>рисоес)пнтпь к условиям (15.55) >прсбоаанпе знакоапредеясннотпп а,этой точке даФ. При этом в соответствии с результатами Ц б гл. 14 мы можем констатировать наличие в точке ЛХа ми>п>мума, если при наличии связей (15.41) сХ~Ф)лх, ) О, и максимума, если да>Х>!лхе < О.
Сделаем еще несколько замечаний практического характера. Прежде всего отметизл, что второй дпу>ферспий>ал д~Ф м»спенс> а д»>з>во>1 точке ЛХа с>озмоэн >зов» экс>н>Х>емухмс> с>нппсляхаь так, как вслп б>к асе псремс>вныс х ...., хв, у>,..., ут били не>напоим>ямяь В савелов> деле, в общем случае второй дифференциал дзФ функции Ф пе обладает свойством ипвариапт- НОСТИ фОрМЫ И дОЛжЕН бЫЛ бЫ С уЧЕтОМ ЗаВПСИМСН:тн уы..., 1Хзв От Х>,...,Хв ОПРЕДЕЛЯТЬСЯ РаВЕНСтВОМ д Ф = (дх> — + ... + дхп + сХу> — + ... + дун, ) Ф + ' О., ' ' ' "Ох„да, " '."'д>„,) +дФХа + + дФ ~2 Но в точке возможного экстремума ЛХа сх>раведливы равенства — =О,..., =О, дв> ар* так что д Ф о»ределяться той;ке >1>орзз)спой д Ф= (дх> — +...+дхв +длу> —,+...+дхн,— ) Ф, дх й>„' дв д>д ) (15.56) Чта И В СЛУ >аЕ, КОГДа ВСЕ ПЕРЕМЕППЫЕ Х1,..., Хв, У>,..., У„в ПЕЗависимы.
Далее, зазиетпм. что поскольку пам требуется уста- повить,зпакоопредел>п>пост> д Ф аминь т>Хпз наличии санией (15.41). то при х>рз>ведении вычислений> с.>сдует в формулу (15.56) для сХЛФ подставить вместо ду>,...,ду„, их:значения, опреде>>яеупнз из сис!емы (15.47).
После> этого счедуе> изучить вопрос о зпакоопределепности д Ф в данной точке ЛХо. Теперь мы можем перейти к рассмотрению примера. ' ) Это вытекает из то> о, что нрн наличии связей 11оч41) разнос> ь Х(ЛХ)— — Х(ЛХо) совпадает с разност»ю Ф(ЛХ) — Ф(ме). 600 теОРиЯ не11вных ФУнкЦий и ее нрилОжении гл. 15 4. Пример. Предпсоюжим, что пам требуется найти максимальпое и минимальное зна изпия величины определителя Хз У1 Х2 Уи ° Х2 (15.57) 'Сгз 11гз ' ' ' Кзз причем известна сумма квадратов элементов каждой строки этого опреде;ппеля. Задача сво11ьггся к отьк:капию экстремальпых значений функции нт перемсппых (15.57) при наличии зпледующих гз условий связи 1): хз+уз+...+2~ =Ь1з Х2+У2+ + "2 ,2 2 (15.518) х„, + у„, +...
+ 2.„= Ьв, где Ьз, Ь2,..., Ьо -- задаппыс положительные чиспа ). Для рс- 2З шения поставленной задачи рассмотрим и решим более простую задачу. Фнкснруелз у гзпределлзтеля, (1О.О7) в экстрелзальной пючке элементы всех строк, эи нсклнзчетгем одной Ь-й строки,. В таком случае определитель (15.57) можно рассматривать как фупкцизо н переменных х1, у1з... з хь. 21впое выражение этОЙ г))УИКЦии мОзкпО 1пз.!Учптьч 1)азлОжив Оп)зелелитель по элементам 1с-Й г:т)зокп: 21 = х1Х1 + у1 Уь +... + вьЕь. (15.59) Здесь чере:з Хз,зУз,з з 71 обозначены алгебраические дополце- ПИЯ СООтнвтетВУЮЩИХ ЭЛЕМЕИтОВ Х1. У1,... з ХЫ ТаК КаК ЭЛЕМЕП- ты всех строк определителя., кроме 1с-й, фиксированы в экстремальпой точке, то Х1, Узэ .,., ю1 можно рассматривать как постоянные числа. Поставим задачу об отыскании экстремумов функзгнн, (15.59) нунз, нилнчлиз.
одноео услгнтл свя„зн'1) х1 + у1 +... + 2~ — — 11Ы ,2 2 2 (15.60) з з ) Вопрос о цущсзлпззовгзна ° экстремальных значений не вныывает созшений, ибо функция (15.57) является непрерывной функцией своих и' переменных аа замкнутом множестве (15.58). ') 5|ы опускаем тривиазьпый случай, когда хотя бы огзно иэ чисе.з Ьг, 52, Ь равно нулю. В этом сзучае оцретелитель (15.57) тождественно равен пулах 'з) В качестве этого условия мы берем У-е из условий (15.58). условный экстгвмум 601 Для решепия этой задачи составим функцию Лагранжа ф =,„Х„+ „1' +...
+ вИ +Л( ' +у~+... + ' — 5,„), (15,61) и для этой фмнкции решим вощюс о безусловном экстремуме. Из условий дФ = Хв+ 2Ллв = О, длс,. — = Уь+2Лув =-О, дФ дус. дФ вЂ” = 7з + 2Ллсс = 0 дя~,. ваходим коордипаты точки возможного экстремума Хс )'а А ив= — — ув= — —, .: вь= — —. 2Л ' ' ' 2Л ' ' 2Л (15з 62) Посзтояппый мпожитель Л лстко исключить из условия связи (15.60). Из этого условия паходим два значепия: Хс-Ьрс + .+2сз >О Л Хс+1'с Ч- Фвс) <О >: 2=— 41ц. 45с (При этом мы снова опускаем тривиальныи случай, когда все Хв,Ъ'в,...,Яз равны пулю, ибо в этом случае определитель (15.
59) гож деств си по р авеп нулю. ) Такиъл сзбра:зом, мы получаем| две точки возможного экстрехсгтса: Х,. У, гсЛ Х Х, 1;. гЛ ЛХ, (-= и 2Лс ' 2Лс ' ' 2Лс,) 1, 2Лз ' 2Лс ' ' 2Лг) Докажем. что в точке ЛХс реализуется условпый хпшимум, а в точке Мз условпый максимум. Для этого вычислим второй диффс1зсзсщиал сссР фйпкции,Чаг1зспсжа (15.61). с)с".зко вид»топ ГГО сР су = 2 Л[((с)ллв) 2 + (с) уь) 2 +... + (сЬв ) 2) . Из последпей формулы вытекает, что сХ зг' представляс'т собой положителсссо ощзедслесспую квад1зати шую с)зорму п1пз Л = Лс > 0 (т. е. в т»чке ЛХз) и от1зсгцательпо оп1зедезсессссзсо щис Л = Ля < 0 (с.
с. в сочке М2). Итак, функция (15.59) при наличии связи (15.60) имеет условный минимум в точке ЛХз и условный максимум в точке ЛХ2. Не вычисляя паиболыпего и паимопьшего значений функции (15.59) прп наличии условия (15.60),:замсзгим, сто в той т» псс;, в зсотсз1зссйс достпгспотся эти 602 теОРиЯ неу1вных ФУнкЦий и ее ИРилОжениЯ гл. 16 значения, справедливы равенства (15.62), а стало бьггь. справедливыы 1)пи||яства (15.63) Возвратимся теперь к вычислению экстремальных зпачепий опре:|влит|ля (15.57) при наличии || связей (15.58). Сохрапяя ск|ы||л пряпятых вылив обозначений Хь. У~,..., Уы согласно изве|тпому свойству опреде:шт|ля для любого г, отли шого от к, можем зависит| я|Ха + д|)ь + + зг-3ь 6 (| г- к|).
(15.6-1) Из равенств (15.63) и (15.64) находим, что адгь+ д;д|, +... + з,зь = 0 (при | ф й), (15.65) Равенства (15.58) и (15.65) и правило перемпожепия определителей позволя|от заключить, что прп умпожепии определит||ля ха сахлого па себя получается опроделител|ч все элемопты которого равны пу:по, за иск.почепиек| элемептов главной диагонали, которые равны соответственно 5|, 1|э,..., йи. Таким ооразом, Стало быть, максимальное и мипималын|е зиачепия величины определителя (15.57) при наличии у|шовий (15.58) соответс твене « '- КХ ...Хан — %д ...Ха,с ем, что ~а~ с Д х| .. 7;, или ~!1~ < ( г|+" + |Н4+" +зя)" (л'.+" +ге) (1566) По|леднев перавепство, справедливое для п1хоизвшп пего определителя (1о.о7), пазывается веранеистпсзим Адал|ара ), В а м о ч а и и е. При и = 3 неравенство Адамара (15.66) допускает простую геометрическую интерпретаци|о.
В этом| случае !Ь/ представляе| собой об ьем параллелепипеда, построепного па отрезках ОА|, Г)Ая и ОАа. соединяющих начало координат О с т|хчками А|(г|,д|,з1), Аз(лг, дя, Яв), Аа(ла, да.,з|!). НеРавенство (15.66) утверждает. что из всех параллелешпп|дов, имеющих ребра дашюй длины, наибольший объем имеет пряхлоугольпый паралле;п|пипед. ') Жак Адамар — французский математик (1866 — 1963). 6ОЗ ДОПОЛНЕ11ИЕ ДОПОЛНЕНИЕ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ряле вопросов анализа и других разделов математики встречается задача о заявив переменных. Эта задача зак,почается в следую?нем.
Прод- положим, .гго нам задано некоторое выражение (х '-2$ ) (15.67) соцержшцее нозависимые переменные х, д, функцию ? = (хл д) и ее частные производные. Вместо независимых переменных х и д и функции = = = ~(х, д) вводятся новые независимые переменные и и и и новая функции ш = ш(и, и). причом заданы соотношеяия, посредством которых и. и и и выражаются через:?, д и ?: и = э»(?,д,?), и = 1э(х,д,х), ' = Х(лад,х) 115,68) 'Гребуется преобразовать выражение (15.67) к новым переменным и,, и и ш.
При этом мы бучам предполагать, что функции (15.68) достаточное число раз дифференцируемы и что систему (15.68) моисно разрешить относительно х, д и ?, а первые два уравнения (15.68) — относительно х и д. Очевилцо, для решения поставленной задачи цостаточно выразить частд. д" ди: д1? ные производные —, —, ... через и, и, и., —. —, ... Укажем, как:это дх' дд'' ' " ' ' ' ди,' ди' можно сделать. Имея в виду, что - = ?(х, д). а и = ш( и, и), запишем первые лифференпиалы функций (15.68). Получим д ди: дх дх дх»дх д- й1и = — йи + — 'ш = — дх+ — йд -~- — ) — 6х+ — йд). ди ди дт: дд дх) дх дд 115.71) Полставляя в (15.71) ди и г)и.
опрелсляемые формуламн (15.69) и (15.70), и приравнивая коэффициенты при их и йд, получим систему двух уравнений дгу дй д? дх дх дх [ — "+ —,' — ~ = — э-— дх д" д,т д:? д? дх' дьу дх дх дх д? [ — и+ —," — "] = — + — —, дд дх дд дд д? дх' дш ди дш дь дэ др др, др, др Жс =- — Их Э- — дд й — 4 = — дх -с — дд -1- дд д дх дд дд дд ды ди': дш ш = —" г)х -и —, йд -~- — й? = —,' йх+ — ' йд+ дх дд ' д? дх дд др дх д» вЂ” '( — "дх д — дд), д- дх ' дд 115.69) др Гд дх — (= дх -в —, дд), д" дх дд (15.70) ООФ тйр1 Ия Нйу<ВНЫХ Фу<П<ццй И йй Ш И21ОЖ8НИ11 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
