Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 127
Текст из файла (страница 127)
55 дх дх ззз ко<01<ой .<с< ко возрази!'ь — н —: дх др д«др дш дгу др ди дх до дх дх д:с д<о дзо дш дго дз дзз д" до д дх Ес.<и выра>кение (15.67) зависит также и ог частных произво,зных второго порядка, го для определения этих производных через частнь<е производные и, по и и о глсдует заззисатызервые дифференциалы От уке вычислснных произво <ных первого порядка. 3 а м е ч а н и е 1. Аналогично производится замена и в случае, когда старые переменные связаны с новымн не соотношениями (15.68), а неявными гоатношениями ви,та ) (15. 72) 3 а и е ч а н и е 2.
Мы ограничились случаем двух независимых переменных лишь для гокращения записи. Указанный прием применим для случая лзобого числа независимых переменных ги, в частности, для глучая о,<ной независимой переменной). П р и м е р. Пусть,. есть функция переменных:с и д. Преобразовать выражение ") <15.73) х = и сов г, р = и в1п о. Отметим, что в данном примезнз произво,гится лишь замена независимых переменных. Функция - оствегся прн агом неизменной. Из 115.73) вызекаег.что поэтому нз соотношений дх дх дх дх <)х = — дх -~- — Ир = — <)и Ф вЂ”, <)г дс д1< ' ди до имеем дх .
дх . , д дх — (<ов о <1и — ив1пг. <)г) -1- — (в1пс <1<<+ и сов«где) =: Йи+ — <1«. дх др ди до ) Допускакппими, конечно, разрешимость квк относительно и, зз н «<, так и относительно х. р и ) Ука,<аннов выражение называется опера<вором Лапласа. Оно нграот важную роль в матемашке и ее приложениях.
Пьер Симон Лаплас франпузский астроном. математик и физик (1749 — 1827). д«< дзз ди< ды — — + —— д дз. др д. др др дщ дзо дщ дй ди дх до д Фз(зз, <. «з, ах р, х) = О Фз(и. <л ез«х, 1д х) = О. Фзгг<.о, и,х.р,.х) = О. д'х дг х с = хх=:-<- —., дса др« к полярным координатам и н о: <)х = сов«<)и — и<йпг <Од <)р = в)по<)и-~- исоа с<)<5 дз< др дг' д 605 ДОПОЛНННИН Приравнивая коэффициенты ири г1и и де„найдем дв д- . дг — сов г 4- — яп е = —, дх ду ди дх . дх д— — е,япе 4- — исоа г = —. де ' ду ' ' де' Отсюла (15.74) дв да д( — ) Найдем теперь —. Так квк — = х, го ия первой формулы (15.74) дх: дх дх находим дс дх 1. дг1 1.
дс дг 1. дг1 = сов е — ~гов е — — — яв г — ~ — — вш е — ~сов г — — — яп е — ~ . ди! ди и дЛ и де~' ди и де~ После вьггигяений полъ'шм д~, в д х 2 . д"в 1 . а две — = сов е — — — в1пе сове — 4- —, яп е —, + дхг диа и диде иа дев 1,ад 2 де 4- — яп е — + —, яп е сов с —. и ди ив де Аналогично, иа второй формулы (15.74) нахо:1им в д(:) д( — ) д( — '") =вше 4- — сове ду ду ди дг' двв 2 . д'в 1 а двв = вш е —,, + — япесове — + —, сов и —, ди' и диде и' дга ойраюм, в полярных координатах и и е оператор Лаггпага Л дав — имеег следующий вид: дг7в да 1 д, 1 дв диа и ди, иа дг' Таким д'х д:ге д д — .= сов е —— да; ди дг .
дх — = вше — + ду ди 1. дх — яп е —, де' 1 дв — сов с —. и де 1 в дг -> — сов е —— да 2 . гЭх — — яп е сов с —. и' де НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИт1ЕСКИЕ ПРИЛОхКЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСт1ИСЛЕНИЯ й 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых 1. Предварительные замечания. Ъ1ы будем задавать плоские кривые либо при помощи параметрических уравнений х = фа)., у = уо(о), где о некоторый параметр, либо ври помощи уравнений вида (16.2) Е(;г, у) = О. В дальнейшем нам понадобятся понятия обыкновенной и особой точек кривой. Пусть кривая Л определяется параметрическими уравнениями (16.1).,причем функции х = х(п) и у = у1(ст) имеют прп гт = оо непрерывные производные.
Точку ЛХо(:го.уо) кривой Х, координаты:го и уо которой соответственно равны ~р(по) и ф(сто), назовем обьтновенной, если ~р (но) + ф' (по) ~ О. (16.3) Если гке при о = но выполняешься соотногпение цо' (гго) + ут (сто) = О; (16.4) то точку ЛХо мы назовем особой точкой кривой Х. Пусть кривая б определяется уравнением (16.2), причем функция г'(.г,,у) дифференцируема в некоторой окрестности точки ЛХо(хо, уо) этой кривой и имеет в указанной точке непрерывныс частные производные по х и у. Точку Мо(хо, уо) назовем 607 огиьйющйя и диокриминйн гния кривая обгякнооенной точкой кривой А, если в этой точке выполняется соотношение 1) (16.5) Бсши же в точке Изз выполняется соотношение (16.6) го эту точку мы назовем особой точкой кривой А. Убедимся, что если точка ЛХо кривой Л лгзллетсл обьисновенной, то о некотгзрой окрестности этой точки крззвля Ь предсгвавллегп, собой либо гра1)зик нсктзторой дзгузузереззцггруежой 1(зункйигл у = 7" (х).
либо грод1ик некопюрой ди1Я~еренцззруемггй функайгзи х = 6(у). В самом деле, пусть кривая Х определяется параметри зескими уравнениями (16.1) и, кроме того, выполнено условие (16.3). Из непрерывности прои сводных ~р (о) и уз (о) при о = оо и иэ условия (16.3) вытекает, что в некоторой окрестности ггв хотя бы одна из этих производных, например За'(гг), не равна нулю.. Тогда функция:г = уз(гг) является дифференцируемой стронз монотонной функцией в отмеченной окрестности. При этих условиях существует дифференцируемая монотонная обратная функция гг = гр '(х). Подставляя эту функцию в выражение у = ф(гг), мы убедимся, что кривая Л в некоторой окрестности точки Мо представляет собозл график дифференцируемой функции у = = 1(х) = уз[уз 1(х)), Справедливость сформулированного утверждения для гшучая, ког за кривая задается при помощи уравнения (16.2), вытекает из того, что в окрестности обыкновенной точки действует теорема 15.1 о неявных функциях, и поэтому прилегающий к обыкповеннозл точке участок кривой представляет собой график дифференцируемой функции у = )'(х) или функции х = б(у).
3 а м е ч а н и е 1. В геометрии го гку Луо кривой Х налываюз обыкновеннон, охли в неко горой окрестности агой точки кривая й !!родс гавляег собой график некоторой, гяфференцируемой функции, и осогзой, если в любой окрестности агой зочки кривая Е не можег быль представлена в виде графика дифференцнруемой функции.
Рйы видели. по гочка кривой Тч являюгцаяся ооыкновенной согласно нашему определению. бу.ге г также обыкновенной с геометрической гочки зрения. Моагно привсгги примеры, ко~да точюз кривой. яв.икнцаяся особой ио нашему онределонию. будет обыкновенной с геоагет1ш ~есной гочки зрения. Таким образом, на~не определение обыкновенной точки является более узким, чеи геометрическое, но более гсзобным для приложений. Введем теперь понгггие касания кривых Бз и Ь2 в их общей точке Лзв. Будем говорить, что кривые Лз и Аг касагопизл, в их ') Понятия обыкновенной н огобой то юек для кривой (16.2) уже были введены в и.
3 2( 2 гл. 1б, 608 1?!'илО)кения ДНФФегенЦил?1ьнОГО исчис, 1ени11 Гл. 1о Х?(хо) = .Ге(хо) (16.7) Используя формулы дифференцирования функций, заданных параметрически (см. 8 11 гл. 5), и формулы дифференцирования неявных функций (см. и. 2 8 2 гл. 15). получим Х~'(х??) = ' ( ') Д(х?з) = — '(' '). (16.8) !Я(ио) ' Е»0!!и) Формулы (16.8) позвозяют придать равенству (16.7) следующий вид: аУ(оо) Х;„'(ЛХо) з»'0»о) е„'(!Ха) ' (16.9) или ~'. (ЛХо'4(о??) + Еи(ЛХой(с»о) = 0 (16 10) Псх?леднев соотношение мы будем в дальнейшем называть условием киевння в точке ЛХо кривых Х? и Хо, заданных соответственно уравнениями (16.1) и (16.2).
Опуская аргументы функ!у пий и используя обозначения ?р = — и»! = — ', мы запишем г!»» ии у?г?овне» касания в !ле»!ую?цей форме: '' 4 оХо (16.11) 3 а м е ч а н и е 2. Если в общей точке Мо кривых Х? и Х», заданных соответственно уравнениями (16.1) и (16.2), выполнено уш?овне касания (16.10) (или, ч?о го ?ке самое, (16.11)) и ешти при этом точка ЛХо является обыкноветшой точкой кривых Х! и Хз, то кривь?е Х? и Хз касаются в точке Мо. В самом деле, из соотношений (16.3), (16.5) и из у!ловпя (16.10) вытекает либо общей точке ЛХо, е?ши обе кРивые имеют в гочкс Мо касатп!ьные и эти касательные совпадают. В дальнейшем пам понадобится уся?овне кисання двух кривых Х? и Хз. Пусть кривая Х ! определяется уравнением (16,1), а кривая Хв — уравнением (16.2) и ЛХо(хо., уо) общая точка этих кри?зых (ири этом координаты хо и уо отвечают значению с» = !то параметра о).
Будем считать, что гочка ЛХо является обынновенн?»!1 точкой кривых Х ! и Хз и эти кривые ниса?отел в точке Мо. Тогда эти кривые пренс !валяют собой в окрестности ЛХо графики дифференцируемых функций. Ради определенности бу !ем считать, что Х? и Хв Явлаи»тса гРафиками фУпкЦий У = Х?(х) и у = Хз(х). Так как по условию кривые Х? и Х»» касаются в точке Мо(хо, уо), то угловые коэффициенты касательных в Мо к графикам функций Х~(х) и Хз(х) равны, т. е. огиьлющля и дискриминлнтззля кривля 609 й'(ао) Рь(ЛХо) условие (16.9), либо узшовие ", =- — ',, т. е.
равенство уг- р'(оо) Н( зто) ' ловых козффициентов касательных в общей точке ЛХо кривых А1 и Ья. Это и означает, что кривые Хз и Ье касаюзся в Мо. Заметим, что условие касания выполняется также и в случае, когда точка Мо является особой точкой по крайней мере одной из кривых Ь1 и Ьа. Итак, условие касания (16.10) вьппшнястся как в случае, когда кривые Хз и Ха касаются в точке ЛХе, так и в <шучае, козла ЛХо является псовой то ппзйз по к)зайней ме)>с одпозз из ятях кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
