Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 122
Текст из файла (страница 122)
11з этих двух точек только первая принадлежит рассматриваемой кривой. т. е. являс<тся особой. Построив кривук) <гг — дг +:г'з = 0 в окрес:тиос ти точки (0,0), мы убедимся в том, <то эта точка является точкой само- пересечения графика (рис. 15.4). Ясно, что в окрестности этой точки кривую п<шьзя однозначно спроецировать пи па ось О:г, ни па ось Од.
Рис. 15.4 Ряс. 15.3 4. Ъсловия, обеспечивающие существование для функции у =,1(х)обратной функции. Применим теорему 15.1 для выяснения у<щовий, при выполнении которых <1)ункция д = <(<г) имеет в некоторой окрестности точки хо об<я)лп; пдю й)<дпк«пю х = 1 (д). определенную в некоторой окрестности то!ки 'до, Где д<) = 1(хе). БУдех< 1)ассмагйивагь д = ((;г) как <1)1пкци<о, определяемую функц<лональпых< уравнением вида Г(х, д) = 1 (<г) — д = О.
Тогда вопрос о существовании обратной функции совпадает с вопросом о разрешимости относительво;г указанного функционального уравнения. Как следствие )еоремы 15.1 и закплания 1 перед доказательством этой теоремы, мы получим < зедующес утверждение: в<ли фднк<1пя д =- 1(<г) пм<еп) о<нлпеисдю о<в пдля про«<з<зода<дю в <<екоп<оров1 окреспи<осгпп понт то, пи) для пипой' фдпк<1пп, в окрвспкпос<ап:го сдшесп<вде<в обр<иппия <))д«к- 19* 580 тиовия ниявных Функций и ии ш ило»киния гл. )в цпя х = 7 (у), от>ределсти>оя и дифферевцируемоя в >еекопгорой' окрест>и>иятп точка уо, ед» уо =- 7" (хо).
Прот>ввод))с>я указа)спой оброни>ой фувкцеип в точка уо в силу второй из формул (15.11) 1 равна 3 3. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений 1. Теорема о разрешимости системы функциональньтх уравнений. В предыдущем параграфе мы рас>смагривали вопрос о существовании и дифференцируемости неявной функции., опре>де)ляс>мо>1 пос;ретдством с)диого с)>1нкциональ>п>го уравнения. В этом параграфе мы рассмотрим аналоптчный вопрос: для сое)с)к17пностп11 ш (тп — л>обое натурально»> чис">О) не>яе)- 11ьех> функотип, от)7>е>д»лк»мьех воср)едс1пвом с11етп»лсь> ф171>кцне)- )сольных 177>е)втсети>11.
Итак, предположим. что т функций в1 = у>1(х).хг; . -'ЕЬ); иг = срг(сс>, хг,...,х„), (1о.13) Вп>, — У>т(Х1; Хг ° ° ° ° Хь) ищутся как реп)ение сис:темы тп функциональных уравнений т'> (в1) 'о2 ° ° ° ° ° 1>еп ° х1 °:12 ° ° ° ° ° »ап) = О, е г (1> 1 ° 1) 2 ° ° ° ° ° >Ет ° Е 1 ° '1 2 ° ° ° ° ° )С и ) — О. (15.14) с т (и 1 ~ нг ~ ° °, с > о>, ° ее 1 Не г ° ° °; ее ь ) — 77.
И)учиьс вопрос> о разрепптмостп систсап,> 11)1икциональпых уравнений (15.14) относ:ительно 111,1)г,...,и . Под термином «решение системы (15.1:7) > мы в дальнейшем будем понимать совокупность ю. функций (15.13) таких, что при подстановке этих функций в систему (15.14) все уравнения этой сис:томы обрап>аются в тождества. Это решение мы будем называть непрерывным и дифферепцирус>мым в некоторой области 77 изменения переменных х).схг,..., х„, если каждая из функций (15.13) непрерывна и дифференцируема в области 77.
Договоримся обозначать символом 77 пространство (та + в) перс>менных и>,пг,..., п, х>,хг,...,х„. а символом 7«' пространство и, переменных хмхг... хь. Рагс;мотРим тп фУнкЦий гг>, Рг,..., Гт, стоЯЩих в левых та; стах систс>мы (15.14). и составим из частных производных этих систнмы функциональных уравнкпслй 581 а)1)наций атласдт ющий отц>едаалнтелсс дра дГа дГа диа дит ди„, дГ дГ2 дт:2 дас диа ' ' ' ди,„ (15.15) ОГ„, дГ„, дГ диа диа даа Будем называть определите;и вида (15.15) определитпелем Якоби ) (или кратко якобиатсом) функций Р12Гг,...,Г но переменным алс, тлгс..., и, и кратко обозначать символом Р(Гс, Г2...., Г,) Р(и!.и2....,11 ) Имеет место следующее замечательное утверждение.
Теорелаа 1 б. х (обобщение теоремы 1 б. 1) . П устать тп фу кциб Гс (и С а и г а ., ., 1а,в дт а,... 2 Хи ), Гг(аса, асг,..., 11~,.1 а,..., Хта), (15.16) тга(иа тсг ° 2 Слав '11 ° ° °:'Га) о диффсретийаруемы в нскописросУ окргспаногапио тгсочкас Мо(асс, о е о о иг,...,и,,„,хс,...,хв) тсростгсратастгсво, Гц нратчем чааапаныс тароасзводасьсе этоллх фупкцаа11 тил псаремтиисьсм иа, иг, ..., тс„ссепрерьсвтаы в точке Мо. Тогда. если в точке Ме все футскции Р(Г1 ° Г2» (15.16) обрицоюпюя в нулаь а якобиан ' ' ' ' ' ' опс; Р(ис.
и ...., и„„) личен опа нуля, псо для г)остгсгаточтсо мольсаал тсгллоэссалтгсельтаьсэл чисел еа, ег, ..,, е,„, саоладетпся тгсакая окрсстгпюстпь квочки с О Мо(ха.....хв) простщиаасалтасгс Л, чапо в пределих этпоа глчрест; носили сущестпвунттп единстпвенные тп фднкт1иб (15.13), котиорые а О удглвгсстгагсоряютта условиям !111 — иа! < асс ~тсг — иг! < ег, ...
о ..., !атас — и ( < Еаи и, ЯВЛЯЮПЮЯ, РстетаиЕМ С1ЛСтПЕЛаЫ УРЛВтааасатт (15.14), причем этно реаиепие ссепрсрлсвно и дала)ааренцалрусмо в укглэататсглсс ок)лгасатс1аос1пп, тпочки МО. ') Карл Густав Яков Якоби — цемоцквй математик (1804 — 188Ц. 582 '1'еОРиЯ иеЯВных ФУнкЦий и ее нрилОжениЯ Гл. 1э 3 а м е ч а н и е. При еа = 1 теорема 15.2 переходит в доказанную вьшге ') теорему 15.1, ибо в этом случае якобиан (15.15) обращается в частную производную дГ! >>ди>, Д»казательство теоремы 152 проведем методом математической индукции. При и>.
= 1 теорема уже доказана. Поэтому достаточно, предположив т1>орему 15.2 справедт>ивой> для системы гп — 1 функциональных уравнений. доказать справедливость этой теоремы и для системы ьч функциональных уравнений. Поскольку. Но предположе>ппо, якобиан ,„П(!1>.
Ее..... й„,) !>(и>, иэ,, . Нп,) агп,, дР,„ду', дн,о > днп, (15 17) д)г„, да! отличен от нуля в точке ЛХВ, то иогпя бы од>>и >ы амг!но!>Ое 2> (гп,— 1)-го порядка-) этого якобиана отличен от нуля в точке Л4О. Не ограничивая обп!ности. будем считать. что в точке ЛХВ отличен от нуля обведенный рамкой минор, стоящий в левом верхнем углу. Тогда, в силу предположения индукции. первьп' ги — 1 уравнений системы (15.14) разрешимы отно- СИТЕЛЬНО и! ~ 112~ ~ П>п — 1. 1ОЧНЕЕ, ДТЯ ДОСТВТОЧНО МВПЫХ ПОЛО>КИТ!>ЛЫ1ЫХ ЧИСЕЛ Е! Е2 .; Еп> — ! НВИДЕТСЯ ТВКВЯ ОКРЕСТ ность точки ЛХ!> (ипм х 1, ел2,..., Тп) прос гран! тва Л переменных (Пгп,.'11,.'Г2> ., ..
Ип), !ТО В 18>1ЕДЕЛВХ ЭТОЙ ОКРЕ111НОСТИ ОПРЕЛЕЗЕНЫ гн, — 1 функций 11 ! — Ф>(нп>, 21; 12~ ° >г>)~ (15.18) '!1>п,— 1 = Фгп — ! (1>гп !1 !; '12~ ° ° ° ~:"т>) ° о которые удонлпгпортог у1лониям ~и! — и! ~ ( е>...: '!»п> — !— о — ! ~ С Еп, .! И ЯВЛЯЮ!СЯ ПРИ НВЛИЧИИ Э>ИХ )1ЛОВИИ 1ДИН- ственным непрерывным и ди11к(м>ренцируемыы регпением системы первых ги — 1 уравнений (15.14) Подставим найденные функции (15.18) в леву!о часть послед- >> > При этом следует учесть эамсчаши: 2 к теореме 15>.1. ') Напомним, что минпром (ьп — 1)-го порядка дюгного определителя гпго порядка на>ываегся определитель би — 1)-го порядка, полученный и> данного опродели п>ля т-го порядка вы юркиванием одной строки и одного стол бпа.
СИСтНМЫ ФвсНКЦИОНЛЛЬНЫХ М! аВНННИй 583 не! о нз уравнений (15.14). При этом левая пн;ть пос геди«то из уравнений (15.14) превращается в функцию. зависящую только от «)„„хс,..., х„ пги(«ан ° ° ° ~ «т. !. ««т~ ) ! ~ ° ° хп) Лгп(Ф' («и««! ° ° ° ° -сп) Фгп -! («)т~" ) ~;хп)-«!«и ° х! ° ° хп) Ф(««гплх«; ° сп) (15.19) (зту функцию мы обозначили буквой Ф).
Таким образом. нос)леднев из уравнений системь«(15.14) приводит нас к уравнению Ф(пггохс... с л!)и) = О. (15 2О) дФ'-) + дйс О ди) ди„, ' ' ' ди„„. ) ди, ди„, (15.21') дГ„, «дФ, дГ„, «дФ„., дГ„, «д«1« ди) ди, ' ' ' ди„, ) дип, ди„ди, ' (1г 21«п — !) Дале«) продифференцируем по и„п равенство (15.19). Получим дис ди ' ' ' ди ) ди„, ди„, ди,„' Ух«ножик! теперь равенства (15.21'). (15.21т) на ссютветствующие алгебраические дополнения Ь«, Ьа,..., Ь, элементов последнего столбца якобиана (15.17) и после этого сложим эти ра- В силу равенства (15.19) Ф(и,х«,...,х ) можно рассматри- Вать кьпс с' ю)кну«о фу««кци«о с:воях артуа«сп«тов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
