Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Так функциона))ьное уравнение (1522), вообще говоря, определяет в круге х + у < 1, кроме указанной вь)- ». -»' Ф;.«,- ° ='-Л:И:У цч:«-: «Фу «ц ~ »': * Ф, ц = ц)5 — '-Е, ц ф~ ца, ц '-ц)Г-.*' — ц' „,...„.„).,) „...„... „ц1„,... — цт:.,:, д))я остальных точек этого кру)-а. Для выяснения вопроса об условиях, обеспечивщощих однозначную разрешимость уравнения (15.2) относительно и, обратимся к гсохп)трической иллюстрации. Уравнение (1522) определяет в пространстве (и,х.
у) ! а теОРЕМА О СмшестВОВАНИИ И ДИФФЕ! ЕНШИНЕЕМОСТИ 569 сферу 5' радиуса 1 с центром В начале !Гоординат (рис. 15.1). о о Возьмем на сфере о' точку ЛХО(а, ац у), не ле)кащу ю в плоскости о Оху, т. е, такую, „!ля которой а ф О. Очевидно., часть сферы о', лежапьая в:!остаточно малой окрестности точки ЛХО, однозначтсо проецируестся на п,лоскость Оху.
Анялити !секи зто означает, что если рассматривать функцио и Г(и.х.у) = аа + ха + уа — 1 только в ука- и, зянной окрестности точки ЛХО, то уравнение (15Г2) одиозна шо разрешимо осносптельно а и Определяс!т с'.д1Н11)тВент1ун) яВную '!) о и функцию а = + 1 — хз — уа при и > О и и= — 1 — х- — у прий(0.
о и, Есь)и же на сфере 5' взять точку ЛХ! (О, х. у), ле)кашую в плоскости Оху (рис. 15.1), то очевидно, что часть сферы О, ле- !')тс. )5.! жящяя В,я)обо!1 окрестности ЛХ!. нстодпоаначно проси,прустся, на плоскостпь Оху. Аналитически это означает, что ес ли рассматривать функцию Хг(и,х,у) = ив+:ге+ да — 1 в лк)бой окрестности точки ЛХ!. То уравнение (15.2) не являетс:я Одно'!Няшо разрешимым относительно и. Обратит! внимание на то., по частная ду производная — = '2и функции г'(и,х,у) = а~ + х~ + уз — 1 нс ди об!)аи1ается, и пуль о точкс. ЛХО и обращае)ся в нуль в н)чке ЛХ!. 11и)!Ге мы установит!, что для однозначной разрешимости в окрестности точки ЛХО общего функционального уравнения (15.1) относительно и прннципияльную роль играет нс)об1кьи!Гн дГ ние о нуль о точке ЛХВ част!ной, проилоодной —.
Попутно мы ди' установим уд)111)вия, прн которых явная функция, прет!с!!авля- ЮШНЯ собой единственное р!)и!ение уравнения (15.1), яв;!Несся нт)тьрерыотсоьл и дтыЯГ)рсгссц!ьртуелсос1. В дальнейпн)м мы будем обозначап пространство переменных (и.х, сд... ) си'1ВО„!Ом ХС., а пространстВО переыснтных (х,у.... ) символом Л'. Ради сокращения записи и для удобства геометрической иллюстрации будех! рассматривать две иерем!)нпые х, у. й 2.
Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения 1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Теорема 1$.1. Пус'.)тьь футгкцил, Р(тб х, у) диффстрсттсци1)ус!асс!. о о о о и!котпорст окрес)ттсостть точки ЛХО(и.х, у) прогтрсснстааа Л.
520 ткогия нкявных и нкций и кк гн ило>икния гл. 1В др прэичем часпилая, щюиэагэд№ая — непрерылиил в точке Мо. Тогда, ди есллл в точке ЛХО функция Г обращоеп(ся в нулин о, чоюп)ноя ээро- дГ иэгнэдная — не о()Хял(цаегпгэя в нуль, то для, лгюбого догтаэпочно ди малого) паэоэюигпе>1(ээээ)Во числа е нийдется, э!лакая, гэкргэгэп)нгэ(эгглээ планки ЛХО(х, у) пргэстранспава Л', чгпгэ в пределах этой глкрестэлосэаи существугип единственная функция, и = (р(:г., у), к(э!пор(я о удогэлетгэоряет услооиэо ~и — и~ < е и яоэ)яеээиэя, решением ураонени.я, Р'(и,:г, у) = О. (15 3) причелл э)па функция, и = (р(х.
у) няпрерывни и дифф(51)гэн(эи1)уема в 11ка(алиной окрестноепи(, точки ЛХ). г 3 В м е ч В н и е 1. В у()павиях теоремы 15.1 можно опустить дГ требование непрерывности частной производной — в точке ЛХО, ди но тогда щ>идется дополнительно потребовать, чтобы зтп производная не обращалась в нуль не только в ся)мой то эке М(), но и в некоторой М)Мг окрестности этой точки и сохраня.)В определенный знак в злой окрес")ностп. М >Мо Д О К В 5 и Т ('. Л Ь С Т В О Т(ОРЕМЫ 15.1. Мэ 1. Прежде всего докажем.
что для дос(аточно малого е) О (э ок1)(эсэээног:пги !почки ЛХ(',(х. у) существует единсп(пенная, функция и = (р(х,у). О удоолетворянэщгля уел>)вин) (и — и~ < э э у < е и,яолянлщияся ргииением ураонелиия (15.3). Чтооы сделать дока:)иге;эьслво б)елее на(лядным, б з(ем сощ)овождпть его геометрической иллюстранисй. 115 аналитической Г()оы(".Трии известнО, !то уравнение Рэ(( 1О 2 (15.3) определяет в пространстве Л, некотор)чо поверхность о (рис. 15.2), причет!, в (эилъ условия Хг(МО) = О, !очка ЛХО лежи! на этой пове1эхности.
С геомегРической точки зрения однозначная разрешимость уравнения (15.3) Относительно 'и Озня'юпэт, '1то '1асть пов()рхиОсги О, )1е>)оэнгня в непосредственной близости к точке ЛХО,ма>кот быть однозначно сщ)оепировВИВ ИВ координатную пэ!Оскость Оху. 1 э теовемл О сушестВОилнии и ДНФФе!ае!Щиг'Уев!Ости 571 Рйзнл опргдезнзнности 1)уз!ехз с !Нтйть, !То чйстная прзнсзвг>71- дГ нйя — полотоательна в точке ЛХе.
Тогз!а из непрерывности укада ганной производной в ЛХО и из теоремы об устойчивости знака непрерывной функции вытекает, что нзтдется пгаквл окрестдр ность пючхлг ЛХо, всюду в пределах копн>рнт1 —, положительно,. да Эту окрегппг)гзть мы можем !знать в виде шара й достаточно мйлого рйдиусй с центром в то зке ЛХО. Ф!зкззиругзгз дйлгз!з положительное число е настолько малым., !тобы каждая из тоо а о а о о чек М!(и — е.злу) и АХа(п, +в.
Тл у) лежала внутри шара й (для этого достаточно взять е меныпим радиуса шара й.) Подчеркнем, что при этом снизу е ограничено лизпь нулем, и мы можем брать его как угодно ъзйлым это будет использовано нами ниже, о о 1йсгмотрим функцию Г(гз,х,у) одпоп пгзрззьпзн»о!1 нй сего ~ен~е а — е «< и, «<и + е. С геометрн веской ~он~~ зрения это означает. что мы рассматриваем функцию трех переменных Г(и.х,у) вдоль отрезка ЛХ)ЛХэ (см. рис.
15.2). Так как произ' 'дг' '= ° о водная —.(а,х, у) положительна на сегменте й — е < и < и+ о о + е., зо функция Г(и, х, у) воз!>встает на этом сегменте. Но то- 1;гй, НОскольк1 эта функция рйвна нулю в серел!Нне укаэанного о о о сегмента (т. е. Нрзл и =. и), то Г(и, х.у) имеет отри!!отельное зн)>чение но, левом кг>нйе и поагожьппгизьное знамен!ге нв, провом конце укагзанного сегмента, т.
е. Г(М,) < О, Г(ЛХ,) > О. а а Деи!ее рассмотрим функции Г(и — е.:г, у) и Г(и, + е,х. у) двух переменных з: и у, т. е., выра>каясь геометрическим языком, рассмотрим функцию Г(и, х, у) на двух плоскостях, параллельных координатной плоскости Оху. первая из которых проходит через точку ЛХ>, а вторая через точку ЛХ>н Поскольку Г(М>) < О, Г(ЛХа) > О и функция Г('а, т.у) непрерывна всюду в шаре й, то по теореме об устойчивости знака непрерывной функции на укйианных плоскостях найдутся твк!зе окрешаности то !ек ЛХ) и ЛХ>ь в пределах которых функция Г сохраняет те же знаки, *!то и в то гках ЛХ) и ЛХэ. Зт!з окрест!Н>сзн мы можем взять в виде открытых ква:!ратов с центрами в точках ЛХ! и ЛХз в с достаточно малой стороной 2д (на рис.
15.2 указанные квадраты зшптрнховои!ы). П)т фйкт, зто функция 1' (и, т, у) гохрйняг'.т пог'тоянньп! знак на указанных квй,'!рггтггх, .йналити 1ески Вьц)а- 572 'Гео!'ия не11вных Фмнкпи1! и ее ИРилОжениЯ Г:1. 1в жается неравенства кп! о г'(и — е,х,у) < О, о о при !х — х( < Л, ~у — у( «1.
(15А) г(й+ е.х.у) ) О Выбор стороны указанных квадратов мы подчиним и еше одному у<тоники возьмем Л стол<в милылл, чтобы оба указ<и<них квадрата леелсотн внутри шаХи1 й (зто заведомо можно сде<ппь, ибо ш<нтры квадратов ЛХ! и ЛХя явл!!ются внут1ьеннимп точками шара й). При таком выборе 5 любая точка пространства (и.
х, у)., координаты кочорой удовлетворяют неравенствам (х — х(<д, ~у--у)<Л, ~и — 11~<в, (15. 5) будет лежать внутри шара й. С геометрической точки зрения неравенства (15.5) определяют открытый пряаюугольный параллелепипед с центром в точке ЛХо и со сторонами, параллельными осям координат и, х, у н соответственно равными 2в.
26 и 25. Этот параллелепипед мы будем обозначать символом П. Так как параллелепипед П лежит внутри пира й, <по дГ всюду в нирвллелспиг<едв П ) производная, — поло<яви<валюш. да Кроме тото, в силу неравенств (15А). функция г'(и, х. у) оп<риИип<сл<ьно, <ш низ<гнем основании и гптохюительнв т< верхнем основпнии П. Докажем теперь, что уравнение (15.3) однозначно рьазрешимо относительно и, с<пи функцию Ха( и, х. у) рассматривать л!ппь для значений и, х, у, лежепцих внутри параллелепипеда П. Уясним, что требуется доказать. Пусть ЛХ'(<х, у) любая точка пространства Л', координаты которой удовлетворяют неравенствам (15.6) (х — х)<б, (у — у(<д.
Иначе говоря, пусть ЛХ'(<а. у) любая точка плоскости Оху, лео о жанн!111 вн1три квадрата, < центром в !очке ЛХ„(х, у) и со <торонамн, равными 2д. Требуется доказ пь, что для координат х, у точки ЛХ' найдется, и п1>игом едино<поенное, чи< <о и из интервала о й — е < и < и+в такое, что г'(и, т, у) = О. (С геометрической точки зрения ато <лна гаи<т, 1то любая прямая, параллельная оси и и пересекающая параллелепипед П, пересекает поверхность л' внутри птралл<ин.пинеда П в одной и ~о~в~о в одной точи<1.) 3<гфиксиров<1в зна п.ния х и у, 1дов„п.творяю<цие нерав<1нстваъ< (15.6), расслнп рим функцин> Г(и.
х, у) аргумента и на сег- ы ) Включая открытые квадраты. лежащие в его основаниях. 1 в теОРЕМА О СУШестВОВАИИИ И ДИФФЕРЕППВРУЕМОСТИ 573 а о ьлентг и — г < и < и+ г, т. е. рас«мотрим функцию Г(и, х, у) на отре:1ке ЛХ1'ЛХг, сде М1' и Мг -- <очки пересе сепия прямой, 161оходяп<ей через точку ЛХ<(х, у) и параллельной оси Ои, с основаниями параллелепипеда П (см.
рпс. 15.2). Так как прои<водная др о а — (и, т,„у) положительна на сегменте и — е < и < и+с, то фупкдя ция г (и„х, у) возрастает на этом сегменте (нли, что то же самое, возрастает на отрезке ЛХ, М,). Но тогда из гп повии г" (ЛХ1) < О, г'(ЛХэ) ) О вьгсекает, что внУтРи сегмента и — с < и < и + е найдется одно единственное значение и такое, что г'(и. х. у) = О (или, выра 1<нся<1ь сеохнстрич<юки, внутри от)и зка ЛХ1 ЛХ~э нийд< т< я <динственная то ска ЛХ„л<сжап<ая на пов<срхности Я.) Пусть теперь функция и = ср(хл у) с имволизирует то прави1<о, воср<.дствоас кот«росс каж:сой точк<".
ЛХ'(х. у) нз окрестности (15.6) ставится в соответствие единственное пило и из ингсрваа о ла и — г < и < и + г, для которого Г(и, т, у) = О. Л)ы доказали, что в окрестности (15.6) существует единственная функция и = а = <р(х. у), удовлетворяющая усыовию )и — и( < с и являющаяся реп<гнием уравнения (15.3). 2.,Яокауксы теспрс«сто функция, и = со(х.у) напр<рнии<1, е яиодой точке ЛХ'(х, у) отрсспгноспги (15.6). Так как для лн1бой точки М'(х,у) нз окрестности (15.6) выполнены те же усло- 1 вил ), что и для точки ЛХо(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
