Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Тогда, применяя теорему о дифференцируемос:ти сложной функции, мы можем утверждать. что функция Ф(ип„х),.,, .хи) дс«с))с))с)рс)сс!««рсдема о о е )сс)коп)с)ро«1 окреспгпс)спи! псочъп ЛХ (и, хм..., сг, ) прснтра)с- сгаеа Лп. Равенство (15.19) и пос:«еднее из уравнений (15.14) поп и и )воля««т утис'.Р)кдат«ч '«то Ф(пт, х),..., хп) = О. По!этому, '«то- бы доказать, что к уравнению (15.20) применима теорема 15.1 и это уравнение разрешимо относ ительно ип,.
достаточно уста- дФ повить, что частная производная — непрерывна и отлична с)т дип, нэля в точи«. ЛХ>'. '1тобы сдс«леть это, вычислим у казаннэю част- ную производную. Подставим в первые гп — 1 уравнешлй системы (1о.11) функции (15.18). являющиеся репи;нпем этих уравнений, и продифферепцируем полученные при этом тождества по и,. Получим 584 теОРия ие11виых ФУнкЦий и ее ИРН(1Ожеии1! Гл. 1э в(!н( тва. Полуявь! т-1 + ! ° ! т дФ( (, дР,, дР;, дд;„1 ди„, ( ди( ди! ди( ) + г. + .+ в=! дк( дг) ди» ! (3Ф ди, ди, ди„, ди, "1ак как сумма !0)оизве,(()нпй э.нжп!нтов д~~~~~о ~~~~бц~ евре,:и ли !( ля на соотв( тствую!Ние алж брани(скн(! д(лк)2(н( ния эл(; ментов этого (другого) столоца равна определител(о (нулю), то каждая квадратная скобка равна нулю, а круглая скобка равна якобиану (15.17).
Таким образом, мы получим ы — 2~т (15.22) Здесь символом (х обозначен якобиан (15.17) ! а гхо, -- алгебраи- ч(к;кое дополнение по(шеднего элемента, последнего столбца, ко- торое совпадает с минором, обведенным рамкой и, по предпо- ложению. оп!личны.и о(л нуля в точке ЛХш Поделив равенство (15.22) на,Ьт, окончательно найдем (15.23) формула (15.23)! справедливая в точке ЛХО, доказывает непре- дФ о рывность частной производной в точке Л!Хо (иоо (х и Ьт ди,, (!Нтных производных функций (15.16) по ((1, нг!... ..., н, непрерывных в точке ЛХО). дФ Кроме тон), и) формулы (15.23) вытекает, что —, в точке ди„, ЛХ(!' отлична от нуля (ибо якобиап (.'( отличен от нуля в точке ЛХо).
Тем самым мы доказали, что к уравнени!о (15.20) можно применить теорему 15.1. Сог:!асно этой т(хгрем(',;1:1я достаточно ма.;!Ого ПОЛОжител!— НО! О ЧИ( Л 1 Е(и Нан 1Ет(я Ч !К !я ОКЙЕ( ГНО( т! !ОЧКИ ЛХО(Х! ! ! Э и) пространства В', что всюду в пределах этой окрестности опре- ,1()лена функция нш ((гт(х! ! хг! '; хи)! (15.24) и которая удовлетворяет условию )ни( — и, ! ( ет и является при наличии этого условия единственным непрерывным и дифференцируемым решением уравнения (15.20). Имея в виду, что функции (15.18) явля(отея решениями первых пэ — ! уравнений (15.14) при любых ои„!21,... !хи из окрестности точки ЛХО, системы Функционал!ьных уРлвнений 585 и вставляя найденную функцию (15.21) в (15.18), мы получим функции, зависяп7пе только от переменных х1,..., т,„; ,, = Ф1(|77.
(х|,...,хп),х|.....,хп) = |75|(х1,....,хп), |1т- 1 — оот ! В|о!7|(|а!~ ° ° ~ хп)~ х1;: хп) — '5т. | (х1~ ° ° °; хп) (Эти фуикцпи мы обозначили символами р1,..., |р, |.) Теорема о 57ифференцнруем|к|ти ел~жной функции дает право утверж;!атпч что ка>кда5! из функций |771,..., !77!о ! днфференцируема а о в окрестности точки ЛХО(х1,....хп). '1аким образом, мы окон'1ател! ИО доказали, '1то 7н функций 7|! = 1|5|(Х|,.,Хп).
нг = |ра(х!,..., хп), (15.25) |1т — 'Рт(Х! ~ °; Хп,) о удОВЛ!!тВОряю1' В Окрестности тОчки МВ усяОВиям |7!! — и! ! < < Е|...., )7!т — 7!т/ < Сп, И ПрвдетаадяЮт СОбОй Прн НаЛИЧИИ зтих условий единственное непрерывное и дифференцируемое в о о НЕКОтОрОй ОКрЕСтНОСтИ ТОЧКИ Л7!О(ХЫ...,Хп) РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ (15.14). Остается доказать, что функции (15.25) представляют собой единственное решение системы (15.14), удовлетворяющее у!шоа о ВИ5!Х! |7!1 И1 ( < С|, ..., |!!7п '|1т ( < Е7п (ПРИ 51ОСТ!Т1 О !НО МВЛЫХ пол |РКИТельн ы х с Ь.... В7п ) .
Предпо|н|жим, что, кроме функций (15.25). существуют еще |и функций й| = А(х! хв,...,х77,), 'йз = |57з(х1, тз,..., х ), (! 5.25') йп, = — |р,„(хм ха,..., хп), также являющихся решением системы (15.14) и удовлетворяюо о !ЦИХ УСЛОВН5111 (7! | — В! ) < Е1, ..., (!!и, — Нт~ < Ст. т|!еда, В силу п1хедпц;!Ож! Иия индб кции, первы!! (|п — 1) функций (15.25) представляют собои при заданном ит = 71,7, единств!нное н дифференцпруемое решение системы первых (ьч — 1) 586 теОРиЯ неЯнных Фун!сци!! и ее нрилОжениЯ Гл.
га уравнений (15.14). Но при заданном иш единственное решение системы первых (т — 1) уравнений (15.14) дастся равенствами (15.18). Таким ос!разом, справедливы соотношения Й! = Ф(г1~,шс,... гш„), (15. 18') г1 ! = Фвг г(г1ш,шс,....т,), в которых Фг,..., Фп, ! ге же функции, что и (15.18). В таком случае последнее уравнение (15.14! и соотношения (15.19) позволя!от нггм утвсэрждать. что пш явля!;тся един!:твсгнным репи!пнем уравнения (15.20). т.
е. й = и„,. Нри наличии равенства йш = сс„из соотношений (15.18') и (15.18) сразу же вытекает, что гг,! — — пг, ..., ип, г — — и Теорема 15.2 полностью доказана. 2. Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений. В этом пункте мы пре;!положим. что яьпнглнены условия теоремы 15.2, и займемся вычис.гением частных производных функций (1522о). Подставим функции (15.25) в систему уравнений (15.14), решением которой этн функции являются. и продпфференцируем получившиеся тождества по хг (! = 1, 2,..., и). Полу.шм дР1 диг дрг ди„„д15 +» +, + дис дхг дгс„, дхг дхг (15.26) дй, сдпг дР, ди„дн диг дтг ди„, дхг дтг Равснс гва (15.26) предгтавляют г:обой линейную систему уравнений огдиг дв„ ношп*ельно ш неизвестных —, ..., .
Определитель этой системы якодхг ' дтг бная (15.17) отличен от нуля в окрествогти точки Луе. Стало быть. юкгтема (15.26) имеет единственное решегше, опредсляемое формулами Нрамерв: Р(1гг, Рг,..., )г, ) дис. Р(глг,...., ис, г. тг, ияэг,..., и Р(1гг, )гг, ° °, 1 ) Р(и и иг,..., гс,„) Выра>кеггия для частных произвсшных второго н пос.педусоших порядков !г можно по.г;чить посредством;пгфференсснровання эгнх формул. Супсествование эгпх частных производньгх обеспечивается;юполнигельными ограниченняхпг на функции (!5.16).
587 вйвисимость функций 3. Взаимно однозначное отображение двух множеств т; мерного пространства. 1'асгмотрим н некоторой окрестности точки Лдо(хт,..., х„,) т функций и> = >р> (т>,..., х,„), т>т =' р>(х>,...,х ), (15.2?) и,„=. т„(хт,...,х ). Рассматриваемые и>, функций огунпютвляют отображение указанной окрестности точки ЛХо на некоторое множат.тво (>т>) т-мерного прогтрансгва переменных и>,и,..., и . Это отображение называется взаимно однозначным, ее >и каждой то >ко из указанной окрщ тпости точки ЛХо соответствует только одна точка множества (."т'), так что при агом каждая то ттта множества (ту) соогветгтвует только одной точке указанной окрестности Ио. Из теоремы 15.2 непосредственно вытекает следующее утверждение. Если функиаи (15.27) диффсрттцирусмм о отрсстностпи точки ЛХо, ттризгм осс частные произоодньш первого порядка нснрермонм о самой точке ЛХо, а якоб>тат> ' отличен от нулл о зтоП точке, то функции (15.27) осггтдесп>елях>тп езаимно однозначное оп>обраоюсние нетотпо- роП от,рсстпношпи точки ЛХо(х>,..., х ) >та ттскоторун> окрестит>ость точки Ео(йт,,й ).
где й, = тот(х>,...,х„,) (> = 1,.2..., и>). В самом деле. соотношения (1о.27) можно раттматривать как систему функциональных уравнений относительно хт, .хг....., х„,, для которой выполнены усювия творе>ты 1522, Но тогда эта система всюду в некоторой окрестности точки >то(й>,..., й ) имеет едингтветтог решение> х> = тр>(ит,..., и„,), (15.27') х.
=ь' (т>т,...,и ). Очевидно, что функции (15.27') осущегтвляют обратное отображение. Заметны, что в условиях гформулированного утверждения как функции (15.27), от уппх.твляющие прямоо отображение, гак и функции (15.27'), осуществляющие обратное отображение., являются непрерьтоньтми. Взаимно одиозна шое отображение, обладающее таким свойством, называеття гомео- .моХ>фньтм.
8 4. Зависимость функций 1. Понятие зависимости функций. Достаточное условие независимости. Пусть тп функций от одних и тех же и переменных и1 = >Р ~ (Х1, Х2,... т Хт> ) т >>2 У>2 (Х1 т Х2 т ° ° т тл) т (15.28) ттт — »От>т (Хт т Х2> ° ° ° Хп) 588 '!'ВОРиЯ ИВЯВных ФУнкЦий и ее ИРилОжениЯ Гл. 1а определены и дифференцируемы в некоторой открытой п; мерной области ') Р. Ьуг!ек! говорить, что одна элз ээгн!х функ!!эгГг. например иь, згзгээ!с!лгг! н гэбластэт Р ога остальпьчх фуэкцээээуе если сргизу для егхзт гпочгк (х,', хг ..., х~э) Облпстэн! Р гць = Ф(иэ,...,иь !,лэьэ.!,...,ин,), (15.29) где Ф неко!порея, функцаяь опредглсииоа и дифференцируемал е сгэогэзгэгэтсгпгэз!нэшт обллнгпнл тл!етэен!ля своих иргулнлэнттньь Функции иэ,иг,.,.,ит„будем называть гэив!эсилиылни о облисннэ, Р, с<.,!и одна из этих с)эункций (все 1эавно какая) зависит в области Р от остальных.
Если же не существует дпфференцируемой функции Ф такой, что сразу для всех точек области Р справедливо тождество вида (15.29), то мы будем называть функции и!, иэ..., ип, независимыми в области Р. П р и м е р ы. 1. Р1!Ргко убедиться в том. что три функции четы)эех зиэ)эем!!нных и! = х! + Хг+ хз+ хги лл2 =х!+х2+хз+ха: из — — 2х! .'сг + 2х!хз + 2х ~ хе + 2хгхз + 2хгх! + 2хвга! зависимы в любой области Р четырех лерного пространства, ибо для вс!",х точ!чс (х1,хг.хз,х!) этой ооласти г и~ = иг — из. 2. Покажем теперь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
