Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 124
Текст из файла (страница 124)
что две функции двух переменных и! = = х+ у и иг = г — у независимы в любой области Р плоскости ху, содержапгей на тало координат. Ясу но, что функция и,! сохраняет постоянное значение нуль на прямой х + у = О, проходягцей через пача- Р ло координат (рис. 15.5). Но на этой прямой функция иг имеет перемен- х нос значение 'иг = 2х. Поэтому на 0 тох! у !ветке этой п)!ямой, кото)эый лежит внутри Р, ил заведомо не зависит от и,!. Сове)э!Пенно аналогич+у=о но дока:зывается, что на лежащем внутри области Р участке прямой Рэн 1о е х — у = О !лг = О, и! = 2х и, стало быть, и! не зависит от !эо.
' ) В частногтн, в качестве об,таста Р можно взять некоторую окрес гность Фнкснрованной гочки Ме п;мерного пространства. ЗЛВИОИМООФЬ ФссНКЦИй 3 а и е ч а н и е. В курсе,пснейной апебры вводится понятие линесснгс11 зиеисссмести функций: пс, функций ис, ия...., и, называются линейно зависимыми в области Р, если для всех то сек области Р одна из этих функций выражается в висле линейной функции ог остальных. Ягно, что линейная зависимость функций является частным слу.гаем завигимости этих функшсй, ибо, если фушгции ис, и,..., и„линейно завигимы в области Р, то они зависимы в этой облагти, но сули'ствусот функции, завигимьис в обгсагти Р, яо не являюсциессс в Р линейно зависимыми (например, функции, гыссисанныг.
в приссерсл 1). Теорема 15.3 (достаточное условие независимости функций). Пусспь т функций от, и > тп переменных 111 СР1 (11: ' ' '; '1 сп ~ ХснС1 ~ ' ' ' с 'Си ): Сст — СРт(Х1 ° ° «; Хт: Х т, сс ° ° °; Хп) о определены сл дссффергстсцслруглмы в глкргхпсноспси точки Мо(хс,... о ь ...., х,лс хт ьс,..., ха). Тглгдв если якобсисн лсз зпсслх функций по квкссм-либо пс перелсенньлм отцличлн олс нуля в псо ске ЛХО, нсо зтси функиин незвгисснмы в некоторой окрестности точки Мо. Д О к а 3 а т е л ь с т в О.
Пг. Ограин1 1ивая ОгбнцнОгсти, Оудгум считать, что в точке Мо отличен от нуля якобиан Р(и, „ию,,., и,„) (15.30) Р(хс,хя,...,х, ) Дгулосжгсьс теорем; От противсксггс. Пргсдпгсзгужикс, *сто функслии исс 1ЛЛс... с и,„эаВИСИМЫ В НЕКОтОРОй ОКРЕСтНОСтн ТОЧКИ Мв, т. Е. одна из этих функций. например сль, для всех точек этой окрестности выражается в виде 111; = Ф(111....., иа — 1, нс;-с-с......, 'ллт)с где Ф . некоторая дифференцируемая функция. Пользуясь правилюм диффгсрепцпрования гсложной ф.упляции, вс,счис.сим прои:1- водную функции нй по любон из переменных хс (1 = 1, 2с ..,, пс). Будем иметь дис.
дФ да с дФ ди с. дхс ди! дхс ' дсц. с дтс + '+' + +, '" (1 = 1. 2...., ). (15.31) дслктс дхс ди дтс Из формуты (15.31), если их взять д.,ся каждого значения 1 = — 1с2,...,т в точке Мв, следуют, что й-я строка якобиллна (15.30) представляет собой линейную коьсбин сцию остальных дФ дФ строк с коэффициентами, соответственно равными дис ' дил ' 590 ткория нкявиых Функций и кк ш иложкния гл.
ьа дФ дФ дФ . Но в этом случае якооиан (15.30) ди, 1' ди,„с " '' дит равен нулкг в точке ЛХо,что противоре шт условию теоремы. П р и и е р. Уже рассмотрснньп. выше две фушсции пг = х + д и пл = х — д независимы в окрестности любой точки Р(ис, ив) ЛХ(х, д), ибо якобиан ' = = — 2 ф О всюду. Р(х, у) 2. Функциональные матрицы и их приложения.
Снова Егассмотрим т функций от п переменных ('15,28): тсс = сЕгс(хс,хэ,...,хл)1 (15.28) «лт ссэгп(ес ° ха~ 1хн) На этот раз предпспожим, что функшш (15.28) определены а дтлуг«Е«ссре«л«Е«лрглелсые в некопсорой окрестпнослгп псочкп о о ЛХо(хс,.... ссп), при'гем все чвстпньп. прои«вод«сые. первого порядка от«тих угу1«скц«л«Е непрерыоньс в самой точксл ЛХо. Составим пз частных производных функций (15.28) следуюшую функциональную матрицу: дггл дг«1 дхг дх1 дуэ дсеа дхс дхл дх„ д„г« дх (15.32) д; дс;,. ссдде д«11 дх1 дх„ 11 ) ЕЕапомним, что минором г-го порядка данной матрицы называется опРедв.титвлсь составленный из элементов, стоатих на пеРесечении каких- либо г столбцов и г строк матрицы.
') В случае, если 1 =-ппп(гл,н), требование л) следует опусплтсы содержашую т строк и тг, сзодбцов. Имеет место следую«нее утверждение. Теорема 1$.в'. 111111«пь д «Х«днкц«го«ссллсьно11 мплприцы (15.32): 1) тсекотпорьсн,,мслнглр «-и» псгрлдклл ) о«ил«счел отп ндлл и пгхгчкс: а ч а ЛЕо(хс, ха......хч), 2) весе лшноры (г -с- 1)-гсг порядки Хкгслссьс п«1- лнг в нскопсорой, ггкгЕ«ест«ссссгсл«гссс псочксл ЛХо а). '1 оддс« ««Е«ЕЕ«сктлслсл', прсдстсшленнмх в укв„псином, мвгшгрс г-го «с««ряс)ксл, гссьлослслссллсь1 о окрссстгг«ссгглтпсл т«ссгчклл, ЛХо, кллтасгдслл гсг остпильпых с)гу«скцслсЕ лв; внспт, в отсгй окХ«естностп отл. дкпзомтсых г фс1«лкцглсл.
Д О к а 3 и т е', л ь с т в О. Не. 0«1)аничивая Оощесости, будем считать, что в точке ЛХа отличен от нуля минор, стоясссий зависимость е))нкцнй 591 в левом верхнем углу матрицы (15.32), т. е. отличен от нуля определите)п дх! дх, (15.33) <Эх дх а Тогда независимость в окрестно(гвн точки Мо функций и,м иа)..., и! сразу Вытека('.т из т(',еремы 1).3. Оста(угся даю!- зать, что любая из функций ит г!) ..,, ин, ') зависит в окрестности Мо от !л(, ил,..., )л,. (Окажем(, например, что и, ! зоннгл)ли е окрест!)иосгй(л квочки МО от и(, ие..., ! и„.
Сосредоточим свое внимание на первь)х г функциях (15.28). Если обозначить о о о о о а о через н),...,иг числа вида и! = (р!(х),)св,...,.га), ..., ит о о о = ())„((х(,хз,... !х„), то всюду в некоторой окрестности точки а а а а л)(га((л!)... ! и,! х! !... ! х„) (и+ 7)-мерного пространства первьн, г функций (15.28) представляют собой единственное и дифференцируемое решение следующей системы уравнений з): Г)(и(, )(О,Х1:,Х ) — = ()а)(Х!) Хн) — (Л! = О, (15.3а1) г! ( и)....
! и, ) х),..., х„) = (Р!. (х ),..., хо) — и, = О. С другой стороны!поскольку якобиан Р(со...,Е,) Р(х),...,х,) ' совпадающий с миноРом (15.33), отличен от НУЛЯ в точке )57О! то систему (15.34) можно в окрестности чтой то"(ки Оя)нг)зитчно ро )реил)17)гь огг)яо(гигпельио и (,..., х! . Иными (' к)В)1ии, Вс)оду В достаточно малой окрестности точки Ме система (15.34) имеет единственное и днфференцируемое решение '! = У)!(! !! ', -7! !' 1) (15.35) Хг = )т()г((Л(! .;)Лг '77', (! . !Хн). Конечно, при этОм про,п!Олщ котся, !то !а ) г.
о) В (амом леле, в указанном точке йа все функцнв 1)),..., г;, обращают- Р(лт„..., 1;.) ся в пуль, а якобнан ' ' =- ( — 1)' =д О, так что выполнены у(щовня и) -. 'и! теоремь! 15.2. 592 'ГКОРНЯ 1!е)1Внык ФУнкни)! и ее НРиложениЯ гл. 1а — ' — '+... + ~" —.' ' + ~' = О. (15.36п) дх) дх( ' ' ' дх, дх! дх! Заметим, что равен(тва (!5.36') (15.367) справедливы для ВССХ значеНИй перемеННЫК Х(1 „х) х) ) ! ~ хп Из НСКОТОРОИ ОкйестнОсти то'(ки Ме.
Для того !тобы убедиться В том, .!Го функция пп, ! Наги(ит в некоторой окрестности точки ЛХВ от п(,..., (!х, подставим значения х),..., х,, определяемые уравнениями (15.35), в (7 + 1)-е равенство (15.28). При этом (л,э! превращается в функцию аргументов 7)1,..., 7)„, х), ь(, ..,, хп, ибо и, ! = ())Гэ)(х),..., х„, ') 7 (1; ..;хп) = (()(Г([Ф((7!1; . ) 7! ~'!)Гэ1~ . ~ хп)~ .. ~ А (7!1; ~717 х(-11; ° ° ° ~ (гп): хп-)! ° ° ~'!и) = Ф(7)1 ° ° ~ пп; хп-р ! ° ° ° ° ° хп) (эту функцию мы об(к)пачили буквой Ф). Остается доказать, что для всех значений переменных х),...,хп,х„.! 1,...,хп.
лежащих в достаточно малой окрестности точки ЛХО, функция Ф 7!е зиппс(ип Огп хпх),..., 7;и. (ля этого до('таточно д(по1зать, 1то для всех х),..., х, из до(таточно малой Окрестности точки ЛХО ( праве!(Ливы р))В()нстВ — = О (1 = 7' + 1,..., 7),). (15. 3'?) дх! Продифференцируем функцию Ф по переменной х! (1 = г+1,...
..., ьч) как сложную функцию. При этом получим д)), э! дй! д(п,э~ дм, д)п,.(1 дФ ! )О.О 367'~-1 ) дх! дх! ' дх, дх( дх! дх(' Рассмотрим теперь следующий минор (7 + 1)-го порядка матрицы (15.32): (З))! д", до, дх, ''' дх, дх) д)7, дф,. дх, дх( дй.~-! (Эр е! дх, дх! ду, дх! д)п -)! дх! (15. 38) Подчеркнем, что равенства (15.35) и первые Г равенств (15.28) ПОТ!но("!1 к) экВивалентны В Окрестности точки Ле.
В "!астности, если подставить х(. хэ, ..., х,, опреде)тяемые уравнениями (15.35), в первые 7 равенств (15.28). то указанные равенства обратятся в тождества относительно х, Г(, ... „х7О п), ..., и,. Дифференцируя эти тождества по переменной х! (1 = 7 + 1,... ...,П) И Зав(ЕЧВЯ, ЧтО П1, ..., Пп НЕ ЗаВИСЯт ОТ Хп)1, .... Х„„ будем иметь д)' д" ' + + д ' д"" + д"' = О, (15.36') дх! дх( дх, дх! д:Г( 593 злвисимо зть функций По условию теоремы этот минор рпосп нулю всюду о окрест«с««о- ссп«л «««очки«. Ма. Уыпожим равенства (15.36«) -«15.36гт«) па соот- ветс«твующие алгс бран иссксн« дополнения са«,..., Ьг, Ь, 1 эле- ментов последнего столбца минора «15.38) н после этого сложим вес; эти равенства. В с илу теоремы о том, что сумма пронзав,«е- ний алел«ентов данного столбца на соответствуюгние алгебраиче- ские дополнения элементов этого «другого) столбца равна опре- делите,««о (нулю), получим «) Л =- —,Ь с.т « .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
