Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Д)ь!ее можно утверждать, что на множестве (,), имеется лшпь к о н с ч н о с число точек последовательности (хь) (ибо пас,н доватсльность ( л(хл)), у которой имеется бесконечное чис.,ю элслннтОВ, удОВ:н(творяющих 1нй)аВенс1Вч 1(хл) ~ ))п, > (п, 1н( может сходиться к числу )и) Стало быть, мы доказали, что для любого с > О найдется номер Х, начиная с которого все элементы последовательности (хл,„) лежат в шаре С( радиуса с с центром в точке хо. Это и означает, что последовательность (хл,.) сходится к точке хв. Тем самым, для случая ограниченного замкнутого выпуклого множества Л~ основная теорема доказана.
Пусть теперь Лг) н с о г р я н и ч е н н о е замкнутое выпуклое множество. Снова фиксируем произвольную точку х) этого м1нпк(эстВа и (>остаВим и1('реи(ионну1О поспедОВат('льность (14.116) при условии, что чи( ло о удовлетворяет неравенствам (14.115) Прп доказательстве теоремы о существовании локального минимума у сильно выпуклой функции (см. и. 2) мы установили, что точка хо локального минимума сильно выпуклой функции л(х) на неограниченном замкнутом выпуклом множестве б) лежит в той части (,)я множества Л,), которая содержится в шаре Ся с центром В точк(1 (г), радиус Л ко!Срого Выпряв И1 успения — 'Л вЂ” (дала(( Л(х()) > О.
Там же унгановлено, что по,(множес!во (()н множества 1() является ограниченным выпуклым замкнутым множеством и что всюду вне (()11 значения 1(х) превосходят л (х!). Так как в силу леммы 7 (а точнее в силу неравенства (14.127)) по(;!Сдоват()льность (1(хл)) явля~т~я !нвозрасталощей, а за пре— делами (,)н все зн;гнция л(х) превосходят л(х)).
то Все точка итерационной послсдоаате)г(~носили (хл,) лс>(сат а Л~н, а потому для любого номера й л>()(хь — (1 Кла()У((гь)) = Р(1я(хл- О Ига()Х(хл)). 565 дополнение Стало быть. итерационную последовательность (14.116) можно заменить на хь-ь1 = рс2Н(хь — о. Кгас).1 (жь)), после чего все дальнейшие рассуждения сведутся к о г р а н ич е н н о м у замкнутому выпуклому множеству („!и, т. е. к уже рассмотренному выше случаю.
Основная тькгрема и!ълыостью доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Особенно просто выглядит по!шедоват!ельность (14.116) для случая, когда множество Я~ совпадает со всем пространством Ег"'. В этом смучае д. и! любой точки т справедливо равенство Рсг(!х) = и, и потому рекуррентная формула (14.116) принимает вид и/гч1 = хь сг ' Егаь1 у (."хг).
3 а и е ч а н и е 2. Изложенный на ги метод позволяет при выполненш! соответствУюЩих Условий искать Решение то = (хг, х,..., х„) системы гп функциональных уравнений: Уг(х) = (г(х!,Хг....,х„,) = О, гъ(х) = гт(хг,хг..... „х,) = О, У,(х) = У„,(х!. хг....., х„,) = О. Дос гаго шо заметить, что решение указанной системы совпадает с точкой локального минимума функции 1(х) =- (! (х) -1- 1; (т) -!-... -!- 1 (х). 3 а и е ч а н н г! 3. Изгюжвнкая наъ!и тео1гия отыскания локж!ьного минимума сильно выпуклой (вниз) функции без каких-либо осложнений переносится на отыскание локального !!висит!ух!а сильно на!пук.чой (вверх) функции. Д О П О Л Н Е Н 11 Е О ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ СЕГМЕНТА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫъ1ИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА В гл.
12 для приближенного вычис;игния интеграла ь / 1(х) гггх (14.133) мы разбивали сьтмеят (а,ь) яа достато шо большое чигшо и равных частичных сегментов и на каждом из этих сегментов:!вменяли функцгпо 1(х) иногочленом нулевого, первого или второго порядка. Возникгвая при этом погрешность никак не учитывала индивидуальных свойств 1(х). Поэтоъгу, 566 ЭЬ ПКВИ14 НВСКОЛЬКИХ ПВРВЬОВННЫХ Г:1.
11 » Ьчину й-го частичного сегмента (х»..>, х»] (Ь = 1„2„..., и) ооозначнм символом й». гак что Ь» = хъ — х» — !. Пре;д:танин интеграл (14.133) в виде суммы интегралов ь "» / 7"(х)йт = ~ ~/ 7'(х) >1х. в=! » — ! (143 34) приблизим каждый из интегралов в правой части (14.134) с позклцью»>дней пз грех приближенных формул (прямоугольников, трапеций или парабол). Любую нз указанных трех формул можно записать в виде — ! Д(х)с(а = Ь» ~ 9,](х» + ~,,1!») + Л,,„,»(7), =о >» †! (14.135) где узлы й и веса»Ь (!' = О, 1,..., >и — 1) выоираются так, чтобы остаточный член Л... »(7) имел порядок Ь». при некотором з ) 1 ).
Вставляя (14.135) в (14.134), мы получим, что — ! Ях)»(х = ~ ~Ь» ~ д,Х(х!» -1-1 Ь») -1- Л.. (У), (14 136) — =е где Л -Ф =~~.Л'»,»У) (14.137) >;=:! Поставим вопрос о выборе такого разбиения (х»] сегмента (а.Ь]. при котором квадрат погрешности (14.137) достигал бы ъ»инимума при фиксированном числе то гек разбиения и.
фиксированной функции 7(х) и фиксированной приближенной формуле (14.135). Прн >акой постановке вопроса квадрат погрешности Л, „, (1") зависит только от выбора промежуточных точек разбиения, г. с. является функцией (и — 1) переменных х>, хз,..., х' опроделенпой в тетраэдре а < х! < т «...
.г.„! < Ь. По»кольку указание>й гегрездр яв оп т! я открытов областьк>, то минимум функции Л> „„, (1') в ') См. работу А.Н. Тихонова и С.С. Гайсаряна ч»0 вь»боре оптимальных сеток при приближенном вы шелепин квадратур» (журна ! вычис»иге;>ьной математики и»>атехоати !вской физики. т. 9. Ьт 5. 1969). ) В частности, для формулы трапеций в (14.135) следует положить т = =- 2, е .= 2, 1о = О., 1! = 1. де = д! = 1)2. естественно.всгаег вопрос о варьировании точек разбиения основного сегмента (а. Ь] и вь»боре для каждой фиксироваяной функпни Д>г) такого оп»и»»ал! Ного разбиения основного сегмента на и, Роооп»е говоря, не равных лруг другу частячнь>х сегментов, которое обеспечивало бы минимальну>о величину погрел>ности данной приоли>кенной формулы.
В настоящем дополнении мы остаяовимся на решении указанного вопроса, припал.тежашем А.Н. Тихонову и С С. Гайсаряну >. ,>! Д»ш приближенного вьгшсления интеграла (14.133) разобьем сегмент (а,Ь] на и частичных сегментов при ломово! точек а=хе<.г! <.г>«...х„=Ь.
567 ДО17О7!НВНИВ этом те граэдре ъшже г, вообще говоря. и не достигаться (г. е. опгиманьяого рззбяения сегмента [а. Ь) может. вообще говоря, и не существовать). Можно, однако, доказан,. что если произнпднпя ум!(х) !|Ох!|а|!лет|! знак но, сезл|ентпт. [а.Ь], тпп м|нямум квпдритпа позреигвпсттн! 7С, „,(7) досшизпетея но, |шиком разбиении сезментп [а, Ь[„узлы х|.
ктппорого удовлетттоутятотп. (п — 1) уривн|ю|ям д)7,' „,(у) = 0(й = 1,2,... дх|, .... и — 1) (14.138) и дшшлнительнмл| услони- !'ис. 14.4 ямхо=а,х„=Ь |! Ос|вновихтся более подробно на случае ф о р м у л ы 'г р а п е и н й. В этом случае в формуле (14.136) следует положить в = 2, |и = 2. то = О. т! = 1, цо = 63 = 17|2. в результате чего формула (14.136) принимает вид ./ ~(х) дх = ~ — [~(хо) .~- ~(зп '; 1тт)) 4- Л д(Д). (14.139) 2 | — 1 Уравнения (14.138).
в силу (14.139) и (14.134), приводятся для этого случая к виду 7(хт |!) — ф(х|. !) = ф (г|;)(х| || — х| !) (й = !Р2,...,п — Ц. (14.140) Существование решения гисгемы уравнений (14.140) обеспечивается сохранением знака второй производной т""(т) на сегттеттте [а, Ь). г. е. сохранением направления выпуклости кривой у = ф(х) при а ( х, ( Ь. Узлы (2|.) оптимачьного разбиения сегмента [а.
Ь[, определяемого уравненнями (14.140), обладатот ш|еду|ощим |еометрпческим свойством: секущая. проведенная через |ночки графики функиии у = 7"(з!) с пбсцисгпмз! 2|э! и х|. |, параллельна касательной к указанному графику. ироведенной через ем! |почку т: ибсо,шхой х|. Это свойство является прямым следствием равенств (14.140) и ил|по| трируется яа рис. 14.4 (ра|'суждения те >ко самые. что и в 8 т гл. 8). У!ажно док лат|в что узлы от!ряб!ли>к||и!того ртшбнениян (х|.) (Й = О. 1.....
и ), опредсляемые рекуррсптными равенствами х =, х.„=хз!.+Л[Ун(х,)[ '" (у=О.1,..., — 1), (14.!4!) прп Л = (Ь вЂ” тт|тп удовлетворюот уравнениям (14.140) с опп|бкой (или. как говорят, с невязкой) порядка Л". Это |ыначаег, что при больших и разбиение (х|) близко к оптимапноыу разбиении| (х|.). Таким образом.при больших п вычисление интеграла (14.133) по формуле трапеций с разтбтиениек! (т|), узлы которого последовательно определя|отся рекуррентными соотношениями (14.141), обеспечивает погрешность.
близку|о к итти!!к!аль!той. ) Доказатещ гтво этого утверждения можно найти в работе А.Н. Тихонова и С.С, Гайсаряна. отмеченной в сногке )на с. 666. ГЛАВА 15 ТЕОРИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ й 1. Понятие неявной функции В )1атемцсгике. и В ее приложениях щ)иход)Г1с51 ст'1'1киВатьс)1 с такимп задачами, когда переменная и, являющаяся по смы- 12)у задачи функцией аргументов х, у,..., задается посредством функционального уравнения Е(и,х.,д,... ) = О.
(15.1) В этом случае говорят, что и как функция аргументов х, у,... -.'.-.'-..ц-...„» ., Ф,.« -.=- т:..:ц) „-- сматриваемая в круге х + у ( 1. может быть неявно задана ,,2,2 посредством функционального уравнения Г(и,х,у) = из+ хз+ у! — 1 = О. (15.2) ЕстестВенно, Возникает Вощ)ос, щ)и каких ус)човиях функциональное уравнение (15.1) ос)иоан!)ино разреппскю относительно и, т. е, одиитично определяет явную функцию и = )р(х, у,... ), и более тонкий вопрос, при каких условиях эта явная функ))ия является иснрерысч)ой и диф)1)ерси))ируе) ио)й Эти вопросы не являются прос)ыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
