Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 121
Текст из файла (страница 121)
у), то достаточно доказать непр<— с а а рывность функции и = <са(х. у) ли<во о тоо ке Мо(х. у), Требуется доказать, что для любож1 доссаточно малого пспожительного е <:уществует псьз<1жительное число 5 такое, что для любых х и у, о а удовлетворяющих неравенствам )х — х) < 5, )у — у( < 5, справеда о лино неравенство )и — й~ < е. где и = ссг(х. у), и = ср(х, у). Если взять в качестве с то число, которое выбрано вьппе при рассмотрении п. 1, то существование Л обеспечивается неравенствами (15.5).
Остается заметить, что в ра<1суукдениях и. 1 поло>кит<льнов чис:со г может быть в гято как угодно милым (это отм<гча<нк;ь в п. 1). Тем самым непрерывность функции и = <са(х. у) установлена. лапин!еа< Условие, непуе11ьсвн<1сы111 фгнкпии 'и = ссг(сг. У) В точке о о ЛХо(х, у) о рияносстно<1, форме.
Обозначая через <аи полное при- ') 11меино, любой точке и'( с, у) из акре< <иосси (15.6) соо гвен твует точка ЛХ(к,х. у) пространства Я такая, что фунющя Е(и, х. у) обращается в нуль в точке оХ, лиффере«пируема в некоторой окрестности точки ЛХ и дЕ намет в этой с<с<1<<с< тн<ссти «тли «Н со от неля састпу ю щюиэволнтсо —. да 574 теОРиЯ неЯВных Функций и ее ЦРилОжени11 Г 1. 1в о о ращепис с))упкцип и слв(слб у) В То скс'. ЫО(лг, 11), сооТВс.ТСТВукпцси! П1ЛИ1>аи!Слил!яы а1ЛГ1уисПТОВ ЛХХ, Сл 2су, МЫ ПОЛ!'Плп, сте Л'~и — Х 0 с с л.'хх -+ О, при Ьу -с О.
3. Ос!котся доказать дсл1)лс(сере!с!!ируелсоспс! функции и ср(х.,у) в любой точке ЛХ'(х,у) окрестности (15.6). В силу заыечапия, сделанного в п. 2. достаточпо доказать дифферен- л О О г цируемость функции и = ср(х.у) в самой точке Ма(х,у). 1тобы это сделать, вы !ислим полное приращение л.'хлл фупкпии и, = о о =- слх(;гв у) в точке ЛХо(сг, у). соответствующее приращениям аргу- о а мептов Ьх и лху.
Поскольку г'(сл, х, у) = 0 и г'(с! + ьлс!,:11+с)лхб у+ + лЬу) = О, то полл!ос прслХхсилсссие лхХг сХлусскции Г(слл х, у) в гоч- с о о ке ЛХв(и, х, у), соответствующее приращениям аргументов лхи, Лхх и .Ьу, равссо нулю. Но в силу условия дифференцируеэикти о о о функции г" (и, х., у) в точке ЛХв (и, х, у) это полное приращение имеет вид лги. = (~~ + 7) л1, . + (~~ + ) лЛх+ ( —, + 1д) л'ху. дЕ дГ дГ Здесь все чпстпью производссые —, — и —, бсруслсл в то"сди дх ду лхх — с О. о о о ке ЛХ11(сл, х, у): сн 11 и у — > 0 при Ь!! -+ О.
Ьсл -с О. Итак, мы получаем 0 = ( +'у) л'-'хсл+ ( + гх) л-"!х+ ( — + В) Ьу. (15.7) Согласно разпостпой форме условия непрерывности функции о о ( л."хх — с О, и = ллл(х, у) в точке ЛХ„'(х, у) Лли -+ 0 при ' Таким об- ( Ьх — >О, разом, можно утверждать, гго из условия !следует, Ьу — с 0 что сх. Хт и у — + О. 1 е ткогкмл о стчщкствовлнии и диа Укгкнциггкмости 575 дЕ По условию теоремы частная производная — оп>лпчаа ота ди ( Ьх->0, одлл в точке ЛХо. Поскольку у — ~ 0 при то про, ( >.'19 — > О, дГ досглапшчпг> м»льва Ь>т: », Ьу выражение — + т пе обрап1оеп>сл ди в пдл>о В таком слУчае фоРмУлУ (1о.>) можно поде:ппь на ( — + г >' дЕ да + у), в резульгьсн. чего мы получим дк д>т + и — +д >~>> дт >~и + У >т у (Рй 8) — -~- т ди ди По теореме о предельном значении частного двух функций мо- жем утверждать, что дг дУ дк + ди дà — -~- д д>> дГ + > ди (15.9) ( Ьх-+О> где >з и» -ч 0 при Ьу — > О.
Сонг>ставляя формулы (15.8) и (15.9), окончательно получим ) и, о частности, от одного аргумента. >Рорь>ула (15.10) доказывает дифференпирусмость функции и = а о = у>(:>:> д) в точке ЛХ~>(>г.,у). Тех> самым теорема 15.1 полностью доказана. 3 а и е ч а и и е '2 Приведенное доказательство без всяких натру>дн>лн>Й переносится па случай псин>к>й г1>ункцни, зависящей не от двух, а от люоого конечного чигла аргут>енг»в лы >из,..., л„, ').
Ступай двух аргументов и и у ахнет лиюь то преимугцество, что допускает наглядную геот>етрическу>о иллюстрацию в про>п1>анснве (н,:г,д). 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции. Остановимся на вычислении частных производных функции, неявно заданной посредством уравнения (15.3).
576 '1'еО!'ия 1!е11вных ФУнкЦий и ее цвилОгкени11 Гл. 1а Пус:ть выполнены условия теоремы 15.1. Тогда для полно|-о приращсзния с)|1нкции и = ~7(.г,у) справ!;дливсл пре/!стслвг!с.нис, (15.10). Это представление и теорема 14.9 позволяют утверждать, что частные прои'|водные функции и = ср(х, у) определяются формулами дг дг (15. 11) ди с7и Аналогичные формулы справедливы и для случая, ко!Ла неявно заданная функция зависит пс от двух, а от лк>бого коне шого числа аргументов х|, !!а,..., |г,„. В этом случае дг — = — — (/л=! Й гп) ди Если а|ы хотим обеспечить существование у неявно заданной| функции о = ср(х,у) частных Н1юизводных второго порядка, то, естественно, приходится усилить требования, наложенные на функцию Г(71, х, у) в теореме 15.1, а именно: приходится дополнительно требовать, чтобы функция Г(71,:г, у) была два раза дифференцируема в рассматриваемой точке.
В этих предпозн|- ЖГПП1ЯХ ОСТННОВИЬП:Я На ВЬ| ПИЛЕНИИ си|СПИСЬВС П!1177ЛЭВСЛС!7|ЬЛХ опик|- рого порядка. Введем полезное в дальнейшем понятие |юлной частной производной функции. Предположим, что нам дана дифферснцнруемая функция трех аргументов Ф(и, х. у). причем один из этих ар|ументов и сам является дифференцируемой функцией двух других 7|ргух!с'.нтОВ х и '7/ Тогда с)|/пкцик| Ф(и, х„|/) мОжнО рассматривать как сложную функцию двух ар|ументов х, !/. Частные производные этой сложной функции по х и !/ будем пазы|зать пол|гыма чисписыми проилводпнм|л с/!улскс!7ли Ф(и,:г, у) по сг !7Ф !/Ф и у и обозначать символами — и —.
По правилу днфферен0г !эу пирования сиз!!жной функции мы |п|лучим слс!д! юпни| с)|ормулы для указанных полных частных производных: РФ дФ ди дФ ОФ дФ ди дФ вЂ” = — — + —., — = — — + —. лэг ди д.г дг ' !7у ди ду ду Переходим к вычислшппо частных производных второго порядка яви|вне заданной с)|ункции. Ра/!и сп!рс|дсплс!Ннслс|ги вычис |им д'и производную —,. Диффс!ренцируя первую из формул (15.11) дуди по !/ и принимая во внимание, что каждая из час|ных произ- дР дг водных — и — зависиг от трех аргументов оч х, у, первый из дх ди 1 в тиоримя о пущиство!)яни!! и диееириицирмимости 577 которых сам является ф) нкцисй т и у, буд! и им! ть ~дГ~ ~дГ1 ди !Зу дх Ву !зу (дГ)' дГ )' д'Г д д'Г '1 дГ (д)Гда даГ 1 ди ),дхдиду дхду/ дх ),диа ду диду/ (дГ)' ди Вставляя в полученнук) формулу выражение —, определяемое ду' второй из формул (15.11), окончательно будем иметь д Г дГ дГ д)Г !тдГ'! д)Г дГ дГ д Г дГ дГ д'и дхди ду ди, дтду !, ди / диа дх ду дуди д.
д, дудх (15 12) д и СОВерпк)нно аналоги'п10 вы'пиля)отея 1астпьп) произВодные д и, и,,'. Аналогичным методом могут быть вычислены и час)пые ду' производные третьего и последующих порядков ). д и П р и м е р ы. 1) Вычислить частну)о производную дудх функции и = 1))(уй у), заданной посредством уравнения х + у + и, — с ~~1 у ~)) = О. Прежде всего. пользуясь формулами (15.11), вы пилим частные произВодные п1)рвого порядка д, ди )+ — 1 ать«) — 1 дх ду ! + с-' ьэь ) д и Д)1 1ес) ОчевиДПО.
ЧТΠ— = О. дудх 2) Тот же вопрос для функции, заданной уравнением п, +ги +УЯ вЂ” О =-О. ) При ус;ювпи, что фупкшы Г(и, х, у) лиффорвпцирусма в датской точко соотвотствуюгиоо чи<ло ра). 19 ВЛЬ Ильин, са!1 Иовиик, часть 1 578 'г!<Овин 1!Н11нных ФУнкЦий и ин цвнлохкнни11 Гл. 1а Используя формулы (15.11), полу шм ди 15 ди дх и ду и Далее, будем нъ!еть дудт тэу Оу ей и' 3.
Особые точки поверхности и плоской кривой. Рассмотрим некоторую поверхность Ь' (плоскую кривую 1). определяемую в задапиой декартовой пряузоугольной системе координат уравне<гием г'(х,у, х) = 0 (г'(х,у) = 0). Относительно функции Г(х, у. К) (г'(г, у)) предположим, что она имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем аргументам всюду в некоторой окрестности любой точки поверхности Я (кривой Ь). Будем называть данную точку поверхности О' (кривой 1)) особой, с<щи в этой точке обращак)тся в пуль все частные производные первого порядка функции Б окрестнск:ти особой точки нельзя применить к уравнению Г(<сл у, и) =- 0 (Г(:г,, у) = 0) теорему 15.1.
т. е. нельзя утверждать, что это уравнение разрегпимо хотя бы отпос ит<щьно одной из переменных х, у, и (х, у). Таким образом, учен;ток повс)рхности Я (кривой А), прилегающий к особой точк<ч может не допускать однозначном) щюецирования нп на одну из координатных плоскостей (нн па Одну из Осезй координат). Струит)'ра пОВе',рхек)с:ти О (кривой 7) в окрестности особой точки может быть очень с южной и тр<)бует дополнительного исследования. ТО 1ки 1к)в<зрхносги Я (криВОЙ Ц, пе яВляк)и<и<'.ся 0<'Обыми, приня10 называть Об!як)еоее)7<)емл471. В окрестнОсти ОбыкнОВеннОЙ1 точки действует теорема 15.1, так что прилегающий к обыкновенной точке 1 Еас:ток поверхности О (кривой Ь) доп! сиен)т Однозначное проецирование хотя бы на одну из координатных плоскостей (хотя бы на одну из осей координат). что существенно облстчает исхледование этого участка. П р и м е р ы.
1. Найти особые !очки кругового конуса ха+ дГ + !<з~ — хв = О. Поскольку Г(х,у„и) = х~ + 77~ — лз, то — = 2х., дх дГ, дà — = 2у. — = — 2л. Бдинственной особой точкой является начаду '' дк ло координат. Хор<лпо известно, что в окрестности этой точки поверхно<'.Ть конут'а не хп)же)т быть Однозначно спроецирована ни на одну из координатных плоскостей (рис. 15.3). < г ткоРКМА О О)<щвстВОВАИИИ И дИЭЭК1 Кнцн< МКМОСтн 579 2. Тот же вопрос в отпоп<ении плоской кривой;гг — дг + х' = др г = О. Частные производные имеют вид — = 2х+Зх = х(2+3:г), д» дà — = — 2д. Обе частные производные обращак)тся в нуль в двух дд точках плоскости (0,0) и ( — 2<<3,0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
