Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Поатгэмэу, в силу замечания 2 из и. 1, для завершения доказательства теоремы дошаточно устаповитэ, что каждая характеристическая точка кривой семейства, Расположшппаа в некотоРой 1экРестности точки Мо, и каждая точка дискрнхшнантной кривой в втой окрестности являются обыкновенными. По ус:пспэию теоремы в точке (шо, йо, оо) э'э выполняегся соотношение г" .+ Р'- ф О, которое, в силу непрерывности частных прои.эводных г, и г,„', будет выполнено и в некоторой окрестнси:ти указанной точки.
Оледовагельпо, в втой окрестности все характеристические точки кривых семейства являются обыкновенными. Из гоотнсппения У",," ф 0 (справедливого. в сэшу непрерывности атой прои:эводной, в некоторой окрестности точки (.гв,ув,оо)) и из второго тсэждества (16.15) ни 67/ вытекает, что в указанной окрестности производные — и — не эгст гэсг обращаю гся о,эновременно в нуль ). Таким образом, все то гэги дигкрнминантной кривой в нейсэторгэй окрестности ЛХ~э являютс:я обыкновенными. И:э только что дока:эанной леммы вытекает также, что различные точки дискриминангной кривой являются характеристическими точкамн различных кривых семейг:тва.
'1еорема доказана. 3 а м е ч а и и е 1. Рассуждения. проведенные нри доказательстве теоремы, показывают, что в слу гас, когда выполнены тспько у<ловия леммы, в каж эой зпэчкс дискриминантной кривой выполнено условие касания зтой кривой н кривой семейства. Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1), что угловие касания вьппэлняе гся н ыэгда, когда общая точка двух кривых является особой точкой по крайней мере о,эной из них. Отсюда ээьэтекает, что дискриминантпая кривая может гг1эедставэгять собой геометрн эеское место особых точек кривых семейства (е<ши в каждой .са1эактеристической точке выпо:шяется условие Е„'в + ~Р~ =- О). Отметим, что и сама дискримннантная кривая может иметь осонк нр бые точки (если — ' н — ' равны одновременно нулю).
сэсг гэо ээ э Непрерывность этих прои эводных непш:редспэенно вытекает из непрерывности производных г,',, Е„'. 1"'„, Е"г и г'и и из соотношений (1б.15), из ээх сэп которых .зги производные — и — ' могут быть найдены алгебраически. На э1сэ 614 И1'и:1Озкения ДЛФФеренЦийльнОГО ис'чис71ения 1 л. 16 3 а, м е ч а н и е '2. Теорема 16.1 геометрически может быть истолкована слсдуюгппм образом. Если все кривые семейства и, дискриминантная кривая не имеют особых точек. то указанная дискримииаьипхал кривал является <эяибаюи<ей.
Рассмотриы примеры. 1'. Найти;пюкримипантную кривую семейства у — (х — о)2= О. Имеем Р(х,у,<т) = у — (х — о)2, Р,',(х,у,о) = 2(х — се). Таким образом, система (16.13) имеет вид у — (х — о)2 = О., 2(х — о) = О. От<пода вытекает, что характеристические точки имеют координаты (<х., 0) (<м. рис. 16.1). Поэтому дискримннантная к)и<вал задаегся параметрическими уравнениями х=о, у=О.
Имеем, далее, г' = — 2(х — о), ~Р = 1. В точках ди<криминантной кривой Е',2 + ~„'2 = 1. Кроме того, У""о = — 2 ф О. Таким образом, дискриминантная кривая — ось Ох является огибающей. 2'. Найти дискриминантную кривую с'емейства (у — о)2 — (х— — о)з = 0 Имеем г(х,<д<т) = (у — о)2 — (х — о)', У" (х.у,о) = = — 2(у — о) + 31х — <з)2. Система (16.13) имеет вид (у — о) — (х — о)а = О, — 2(у — о) + 3(х — о) = О. Отсюда вытекает, что дис'криминантная кривая представляет собой две прямые линии, определяемые параметрическими уравнениями 4 8 х=о, у=оих= — +о, у= — +о 9 '' 27 (см.
рис. 16.2). Легко убедиться, что в точках прямой х = о, У = о гыпо:пзиетси Условие г",. + тгв —— О, т. <к эта, <асть,си<- кримнпан<ной к)знвозз пре дста<э<1<«.т ~вбей г<.ок«*.т)гтс «.ско<1 и<<сто особых точек кривых семейства. <1итатель легко убедится. что 4 8 прямая х = — + о.
у = — + о является огибающей рассматри- 9 '' 27 вагмого семейства линий. 4. Огибающая и днскрнминантная поверхность однопараметрнческого семейства поверхностей. Рмгсмотрим одно«арвмотрическое семейство поверхностей. определяемое уравнением <16.16) г<х,р.г,с<) =-О.
При этом мм бу;юм предполагать, что функция Г1х, у,, и) является дифферопцируемой функци<,й в области ес задания. Линия Е ов <юверхности 615 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ семейства (16.16), отвечаклцей значению о параметра семейства, называ- ется харатпгристической (или характеристикой), если координаты точек этой линии удовлетворяют системе уравнений Е(х,у,г.о) = О, Е (х,у,г,о) =О.
(16.17) 8 2. Соприкосновение плоских кривых 1. Понятие порядка соприкосновения плоских кривых. Пусть две кривые Ьг н Х г касаются друг дрста в некоторой точке ЛХО 9) (рнс. 16.6). Пусть,(злее ЛХ произвольная точка ) Огибающие таких семейств сфер называются капаловьгми поверхностями. г) То ес:ть проходят через ЛХо и имеют в этой точке совпадающие касательные.
Геоьтетртт атское мес:то характеристик пглываетт:я дискримииат*твой пооерхностпьто стмгйствл (16.17). Огибаьлогй одиопараметаричгского сгмейспгоа поогрхпостей (16.16) нагыоогтсл поверхность О, котпорая касаепгся осел пооерхноспюй семейства. Можтто лсгка тать сшедующее утверждение. Если, осе поверхности семейслпоа и, дискриминаитс*ая пооерхпостпь пе имеютп особых пгочгк, тпо укаганнал дискриминантаная ловгрхношпь яоллется огибающей.
Отметим„что дискримипавтпая поверхность может пре;ютаг лять собой геометрическое место особых точек поверхпостсгй сеьтейства и тахта мотает иметь особые точки. Рассмотрим сотедукгший пример. найти огибающую семейства сфер постоянно- Х го радиуса Хс. центры которых находятся в точках дашюй кривой Х ') (па рис. 16.5 изображена одна такая сфера с цептром в точке ЛХ кривой Ь), стпретзечяегтой уравнецияыи : Г р(о): у = ст( ), = х(о). Рис.
16.5 Рассматриваемое о;пюпараметрическое семейство сфер определяется следующим уравпевием: [х — р(о)) -Ь [у — О(п))г .т [ — х(сг)] — Ег = О. (16.18) Характеристики укаэацвого семейства сфер определяются иэ уравнения (16.18) п уравнения [ — Р( )[и (сг) -р Ь вЂ” р( ))ут ( ) + [г — Х(ст))Х (о) = О. (16.19) Уравнение (16.19) представляет собой плогкость, проходящую через центр т)Х сферы, перпев,зикглярцо касателыюй к кривой Ь. Поэтому характеристиками являются окружности, пре,и тавляклцие собой линии пересечения рассматриваемых сфер с плоскостями (16.19) (см. рис.
!6.5). Отметим, что естли Ь является окружнсжтью, то огибактшей будет тор. 616 ири:1Оукени»1 ДПФФеренции:1ьнОГО и<'чис<1ения 1л. 16 на общей касательной< к кривым Х 1 и Х 2, а ЛХ< и ЛХ точки пересечения < кривыми Х 1 и Х 2 соответственно перпендикуляра к указаняой касательной, восстановленного в точке М ) (сь<. рис. 16.6). Будем г<»порить, что две кривые Е< Х» и Хг <хмен»»1» в точке ЛХо порядок, соприкосновения ч<» если, <р»йе<ннврет отл»зчнь<»1 о<п»<для предел м .,л<„~балх„~-'-' ' 1При этом )ЛХ<ЛХг! обозначает длину отрезка ЛХ»М<ь а )МЛХо! д.шну отРис.
16.6 1»евка ЛХМо.) 3 ам еч ан и е 1. Гели предел (16.20) равен нулю, то говорят, что кривые Х 1 и Х2 имеют порядок соприкосновения выше п. 3 а м е ч а и и е 2. Е«ли две кривые Х< и Х2 име»от в точке ЛХо порядок соприкосновения вылив любого и, то говорят. что они имеют в этой точке бенк<»нечнь<»1 п<»ряд<»к с<»прин<»сн<»век<»<я.
П р и и е р ы. 1'. Ь'.ривыес у<вля<ощиесу< графиками функций у = х и р = Зх, касаются друг друга в начале координат О, , 2,.2 причем их обн<ей касательной служит о< ь Ох. Взяв на осн Ох точку М с абсцисс ой х, мы получим, что (ОЛХ! = (х(, а )ЛХ» ЛХ2! = = (Зхэ — х2! = 2х2. Поскольку 1шз ' ', =1шз —,— 2в10» )ЛХ~ЛХ»( . 2»' и-»о ~ОЛХ,"- и- о ~хр то рассъ<атриваемые кривые имеют в точке О порчдок соприкосновения единица. 2'. Рассмотрим, далее, две кривые Х1 и Х 2, первая из которых совпадает с осью Ох, а другая является графиком функции д с 1 ' при хфО., Д = О при х= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
