Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Сноску ) на с. 91. 1( длльвкйшкк вязвитик ткокии вкщкотвкинык чискл йЗЗ сооз в()тств) к)т э. 1(()тенты а' и Ь' второго множества, то: 1) э)н м(титы а' и Ь' связаны тем >ке знаком (). ( или =), что и элементы а и Ь: 2) элементу а+ 6 соответствует элемент а.' + Ь', 3) элементу а.. Ь соответствует элемент а'. Ь'. Аналогично можно было бы говорить пе о правилах сравнс. ння, сложения н умно>кения, а о каких-.либо других правилах, характеризующих соотношения между элем(тнтаыи, и ввести понятие множеств, изоморфных друг другу относительно указанных правил.
Примером двух множеств. Изоморфных друг другу относительно правил ('.равнения, сложения и умногкнния. могут смужить многксство рациональных чисел. введенных в виде отношения целых чисел. с правилами сравнения, сею>кения и умножения, указанными в сносках на с. 38. и мно>ке(ггво рациональных чисел, записанных в виде бесконе шых десятичных дробей., с Обычныхти правилами сравнения, (тожепия и )мтп)>кения в()в ПСС)СТВС',ННЫХ ЧИСЕЛ.
Рассмотрим более внимательно двя множества: множество всех рациональных чисел и множество всех ветцественных чисел. Для каждого пз этих множеств определены прави.ла сравнения, сложения и умно>кения и справедливы 13 основных свойств.
ВЫ('СТЕ С Т('.Ы ЯСНО, '1ТО МНО>КС',СТВО Вс(!Х ВЕПСССТВЕНПЫХ 'ПИ:С'.Л ЯВ- ляется более «широкимтз чем множество всех рациональных чисел, ибо в т(елолс множество всех: вет()естпвенньсса чисел не изомо1)(1)на отпносинсельна П1жгисл, С1х)анен(слз сложЕнил, тс Улсножетсия лпикжестпву всех рацио)гальньсх чисел ), тсо в лтожсстве ветиестпвенттьсх чисел, лсожно вт>сс)елтсть састть т)ломо1я))нун) отп; ностгтельно укизситньсх правил.
лсножестпву всех 1х)тстсотсальньсх чис.ел. Естественно, возникает вопрос, нельзя .лн и для множества всех вещественных чисел построить более «широкое ? множество объектов, обладакнпее следующими свойствами: 1) в этом более «широком» множестве определены правила сравнения, сложения и умно>кения и справедливы 13 основных свойств: 2) в (се„н>м более «широкое» множество не нзоморфно Относите.(ьно указанных правил множеству всех вепсес(тасиных чи(хл: 3) в бои!с', «п1НРОкоа1» множ('.с1ве ьн)?кно Вы„'се)1ить частсь изомОРфнУк) относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел. Мы докажем, что такого более «тпирокого)г многкества не су111естпвуетп, т. е., кяк принято говорить в математике, мнозн:е)) ) Это вьщехает из тОго, что мвгх;ту множествам всех рациональных чисел и всех вещественных чисел нельзя установить взаимно однозначного соответствия 1сьт. и. о 1 4 гл.
3). приложение стпГГГ! Всех ВГ11цсспсвсснссых 'ч1усал являестпся, тс с! л, и ьс,м Отсснси*ителын! правил, сравнения, сложения и, умнссженлся сс 73 основ- НЫЫС СВОйСПСВ. Вообще произвольное млшжесшсво обвекпюв. для котпорого слсределены, нсскоторые правила тс сэсрпведлтшы тсексэпссэ7эыс свойспша. Назьсвашпся полным опсносатгльно зтпих прашсл и своиспсв, если нельзя, 'ПГГспсрениссь болех «щорс!кос» мнсэзюесстссвс! Обьс.ктпссв тлкзое,.
чтнобыс 1) 6:этс!яэм билсш «тсги7эотгом»,сстевжестпве б1 сли Отсресде«тс1сьс пш Гнсс тсравтслсс 'и Г.'тсрВВГсдл11Вы пы зссс' с6оистпва; 2) 6 цшссэлс, зио более.* «ш1срокое» мнонсесспи'О 'нес бтяАГ! пзсэмсэрс7энс! данному относительно уквзитгных !!ранил:, 3) в .щюлс болг.е «иисус!ком»,мнозк:с.стпве сусдсстпс Овала, члс:тпь., ссзсэмсэ7эс)э!соя данному мношсеству сэпстссссссттсеслсьнс! Едказсснтсьсх 117ксесил. Можно утверждать, что множество всех рациональных чисссс снес явл„яеспсся тссэлтстссм Отпноситссесльно тс7эссвтссс С7мсвтсетстся«ГАО- зияния и умно:лсения и, 1У Гнстсошнсых свойстсь ибо существует более «пплрокоег» множес:тво (ынсэжесство вещес:твснных чисел), удовлетворяющее требованиям 1), 2) и 3) нз только что сформулированного определения.
Докажем теперь. 'Гто лсножеспсво всех ветцеспшенньсх чисел является полным сэтсстссэслстпессьнс! правил срссвнсснтся,. сложения, и, умножения и, 73 основны,.с свойств. Предположим противное, т. е. предположим, что существует более с широкое» множество обьектов )х') такое. что: 1) для элементов множества 1х') определены правила сравнения. сложения и умножения и сираведсшвы 13 основных свойсгв, 2) в целом множество эст~) не изоморфно относительно указанных правил кшожеству 1х) всех вещественных чисел, 3) существует часть хшожества 1х!) (Обозначикс ее символом 1х')). изоморфная относительно указанных правил мноэкеству (х) всех вещественных чисссл. Заметим, прежде всего. что у множества (х'7 существует едтгнственная тшра элементов О' и 1', исрающих особую роль нуля и единицы ) Далее.
можно утверждать, гто элементы О и 1' входят в ссэстав множества )х') сс находятся во взаихшо однозначнокс соотгетствпи с вссщественными сисламп О и 1 ). Пусть ') Если оы нашлось два элемента О', и Освиграюших осооую роль нуля, то, в силу свойств суммы, мы получили бы О', = О', + Ос — — От + О', = О!„т. е, О', = Ос. Аналогично доказывается единственность элемента Э', играющего особусо роль единипся. с) Покажем, например, что элемент О входит в состав множества эт~) и находится во в саимно одиозна шом соответствии с вещественным числом О, Предположим.
что вещественному числу О соответствует некоторый элементг ГЭ' множества )сг'), и пусть а' — любой элемент этого множества, соот- ИА:?ьнейшее РАзВЙ'!'ие теОРии Веи?естВеи?1ых '1исел 633 ст ?ганой-либо э.пмент множества ?гз 1. не н!)инадгзеисало!ий множеству !Сху)!. В силу правила сравнения мы можем разбить все элементы х множества ?х 1 на два класса -- верхний и ни?ж)нпй, отнеся к верхнеъ?у классу все элементы х', удовлетворяющие неравенству х' > с)'. а к нижнему классу все элементы х', удовлетворяющие неравснству х с О. Оба '-)ти класса не 5)гл51ю1ся пустыьш, В самом деле.
докажем. например, что верхний класс не пуст. Повторив элемент 1' слагаемым достато шос гнело раз, мы. в силу свой?ства 13', получим элех?ент и' множества ?х'1. Удовлетворяк)- щий неравенству г)' > сг'. т. е. принадлежащий верхнему классу. Из свойства 1' вытекаег. что ксз)жздый ллеменн) нижзнего класс!с), лзеньше лгобого элемента верхнего класса.
В си.?у изоморфизма множества ?х'1 и множества ?х? всех вещественных чисел можно утверждать. ?то множество всех вещсственных зисел также разбивается на два класса. причем каждое число из нижнего к.ласса меньше любого чиста из верхнего класса. Но это означа?то ниакзний класс! всз)цсзствс:нм)ях ч)и)ел, ог!хппгч«н сверху и имеегг), Св силу теоремы 2.1~ 1))очнун) вер.гнюю гринь т„а верхний класс имеет точнук) нижнюю грань ЛХ. Из определения точных граней вытекает, что обе грани т, и ЛХ заключены между вещественными числами. как угодно близкими между собой. а поэгому т =- ЛХ.
Так как число т = ЛХ является одним из вещсизтвенных 1исс.л, то Оно принадлсзжит Одном) из классов, т. сь сун?сзсзгг)вуеп) либо наименьикнй элеменпз в верхнем класс:е, либо н)иибольии?й элеменлн в )пзмснсзм клшгее,. Докажем, что оба эти утверждения абсурдны. Пусть (ради определенности) существует наив?еньшпй элемент в верхнсм классе веществс"нных гисел.
Тогда су?цествует наименьший элемент т' и в верхнем классе. отвечающем разбиению множества ?г: 1. По определению верхнего класса т' > ст'. Согласно свойствам суммы су?цествует разность т,' — ст'. причем, согласно этим свойствам, пг) — ст' > О'. Но тогда, в силу свойства 9', для элемента т' — сг' существует обратный, который. в силу свойств произвс*денна, равен частно- 1' му,, Согласно свойству 13' влеки)пт 1' можно повторить )и' — о' слагаемым столько раз, что полученный при этом «целый) элемент 11' будет принадлежать 1гг? н удовлетворять неравенству н > , , Из последнего неравенства.
в силу свойств произ)в' — о' ветствующий вещественному чис)у а. В силу и)от)орфности относительно сложения элементу а Л- В~ соответствует вещественное число и Л- О = а, т. е. элемент а'э-В' совпадает с элементом а',но это оэначает,что г' 1единстве)гнмй!1 нулевой элемент, т. е. С)' = О'. Аналогично проводятся рассуждения и для единичного элемента. 636 приложнннлн ведения и суммы„получим ) 7 1' т — — > о. и' Так как элезленты т'.
1' и тл' принадлежат множеству ~хе), то 1 1' и элс;мент (771 — —,)1 таина принадлежит этому множеству и, гг' 1 1' очевидно, удовлетворяет неравенству т — — ( т. Но тогда и' неравенство (П.1) означает, что в вслрхнем клвссгг нмеетися .элсМЕНт. МЕ1ЕЬИГий Нг г Ил. С. т НЕ ЯВЛЯСтСЯ, ИвиМСНтнгЛиМ ЭЛЕМЕН- твм. Полученное нротиворе ше доказывает полноту множества вещественных плсел. 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
