Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Обьекту а', представимому «бесконс шой десятичной Д1»обл.ло» сло. О~с!к...., поставксм в соотг!!тети!!с вещественное. число а = ао. сл! ал... Пусть двум ооъектам и' н 6! соответствуккт веще.с!веники, лис.та сл н 6. 11з результатов п. 5 вытекает. лто 1) и.' н Ь' свьсзаны тем же знаком, что и числа а и 6, 2) сумме а'+ 6' соответствует сумма а+ Ь; 3) глроизведению а' 6' соответствует произведение и Ь ). Так как по предположению (х') не изоморфно л,х). то ири указанном сООтветствии вс, каждому песце.ствеппоы; шслу Отвечает некоторый элемент множества (х ). Это означает, что ) Ибо сравнение, сложение и умножение объектов о' и Ь' и вегиес твенных чисел о и Ь определяются одними и теми же правилами.
ДА'!ьнейшее РАЗВи'1'ие теОРии ВеЩестВениых чисел 641 множество (:г'1, будучи не изоморфным всему множеству (х!. является изоморфным части множества (х), что противоречит полноте множества (ш ! Полученное противоречие завершает доказательство утверждения. 3. Заключительные замечании. В заклю гение заметим, что аксиоматический! метод и !юнятпе изолюрфных (относительно различных правил) совокупностей обьектов широко использунзтся в разнообразных разделах современной математики и физики (прп построении геометрии, теории вероятностей, классической механики, статистической физики„квантовой механики ') и других разделов). Например.
в геометрии множество точек прямой вводится как совокупность об.ьектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам, среди которых фундаментальную роль играет аксиома о полноте этой совокупности относительно остальных аксиом. Упомянутые аксиомы позволяют установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех то и;к прямой и множеством всех вещественных чисел ). Это соответствие позволяет изображать вещественные пгсща точками на прямой (числовой оси). чем широко пользуются в курсе анализа в иллюстративных целях. О ) Так, квантовая л1еханика первоначально возникла в виде двух внешне различных теорий: «!Иатричной механики» Гейзенберга и «Волновой механвки» Шредингера.
Позже было доказано, что эти две теории используют две изоморфные друг другу конкретные реализации одной общей совокупности объектов, вводимой аксиоматичесьи и называемой абстрактным гильбертовым пространством (см. по атом« поводу часть 2 настоящего курса). э) См. Приложение к выпуску 3 настояна й серии «Аналитическая геометрия» и в более подробном изложении кни!у П.В. Ефимова «Высшая геометрия». изд. 1961 г., ' э20 — 23. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абель 367 Лбеля Дирихле признак 458 Аболя Пуассона метод суммирования 472 Лбсолютная гходвмос ~ ь бесконечного произведения 465 Лбсол1отно сходящийся ряд 443 Адамар 602 Адаыара неравенство 602 Алгебраический многочлев 207 Алгоритм 36 — Евклида 213 Лиалитический способ задания функции 21, 102 Лргумепт 20, 10! †.промежуточный 21 Архимеда аксиома 39 Асими гота графика вертикал~ ная 318 — наклонная 318 Астроида 392 Весконе 1ная десятичная дробь 41 Бесконечно болыпая последовательность 63 — — функпия в точке !08 --малая послодовательность 64 функция в точке 108, 488 — малые функпия эквивалентные !09 Бесконечное произведение 460 Бином Вс ютона 23 Вольпано 85 Больцано — Вейерштрасса георема 8о, 485 Бонне 352 Борель 340 Бореля- Гейне лемма 340 Буняковский 362 Буняковского †Ко неравенство (для интегралов! 364 Буняковского неравенство (двя сумм! 362 Валлис 466 Валдиса формула 466 Вейорштрасс 8з Вейерштрасса теорема вторая 259, 496 порвая 256, 496 Вейерштрасса — Больцано теорема 85, 485 Векторная функция !60 Векторной функции производная !61 Вели тина !переменная, постоянная) !9 Вертикальная асимптота 318 Верхняя площадь 384 — сумма 330 Вещественное число 37.
42, 632 —, модуль 44 ,правило сравнения 41 Взаимно однозначное отображение .587 — — соответствие 91 «Вилкиь метод 402 Внутренняя гочка ыиожегтва 481 — сегмента об Возрастание функции в точке 260 Выпуклая функция 548 Выпгклое множество о44 Гарыоняческий ряд 431 . обобп!енный 435 Гармоническое колебание 22 Гейне 340 Гейне. Ъореля лемыа 340 Геометрическая прогрессия 427 Гельдер 36! 1ельдера неравенство для интегра:о 363 — сумм 361 Гиперболические функции !25 Гомеоморфиое отображение Зз87 Градиент 5!О ГИ ЕД5!ЕГИБ!й ЪКЛЗЛтЕДЬ Градиентный метод поиска акстремума 543 Граничная точка мпожосгва 181 Грань функции (зггчггая верхняя, точная нижняя) 257 — чиглового множества (вор няя, ыггжняя7 !'рафик функции 28. 478 — †, направление выпуклости 308, 548 , ~очка перегиба 3!О Графический способ задания функ~гни 21, 103 Даламбер 436 Даламбера признак 436 Дарбу 326 интегралы 333 — лемма 334 †теоре 326 Движения закон 20 Диаметр ьгногкества 196 Дирихле 102 — функпия 102 Дирихле Аболя признак 457 Дискриминангная кривая 611 — поверхность 611 Диффсрешгиал 164, оОо вьп ших порядков 186, 518 — дуги 381 Дифференциала инварнантность формы 179, 509 Дифференпнровацие 23.
163 сложной фенкции 26, !75. 505 — суммы. разиосги, произведения. частяого 27. 166, 167 Дифференцируеиая функпия 162, .!99 — — и раз 183, 115 ;!лина дуги кривой 374 иаксяиального частичного сегыента 328 Евклида юпорнтм уй 3 Евклидова плоскость 476 Евклндово пространство 176, 478 ЗКордан 383 Замечательный предел второй 25, 135 первый 24, 134 Замкнутое множество 481 Знакочередующпйся ряа 455 Изоморфные множества 632 Инвариантногть формы дифферепппала 179, 509 Интограл неопределенный 30, 191 — определенный 32, 328 †.
эллиптический 245 Интегральная сумма 327 Интогральный когинуг 196 — логарифм )06 . синус !96 Интегрирование биномиальных днффереипиалов 235 дробно-.вннейных иррапиональностей 234 по частям 190, 357 — рюгнонавьной дроби 227 с помощью замены переменной 196. 356 Интегрируемостн условие 335 Инте~ рируемосгь функции 328 Интервал 57 Иррациональные числа 43 Итераций метод 405 Итерационная последовательносзь 406 Итерация 97 Касание кривых 608 Касательная к графику функции 28 .плоскость 501 Касательных метод (ггетод Иьютопа) 403, 408 Квадратичная форма 521 знакоопределенная 534 Квадрируеиая плоская фигура 384 Классификация точек разрыва функции 113-115 Колебание функпии 336, 197 Комбинированный метод отыскания КО!гней 414 Комплгксныо числа 203 Координатная плоскость 476 Координатное пространство 476, 478 Корень многочлена 208 кратный, однократный 2 ! О Коши 88 критерий существования предельного значения фуггк~ггагг 250.
488 сходимосги последовательности 89, 185 последовательность 181 -.признак сходимости рядов 437 — условие 250, 251. 188 форма остаточного члена 279 фо!эмгла 269 Коши- Буняковского неравенство 364 Н! Ндй!Нтний >УКЛЗзб! Ну!Ь Коши — >йаклорсна признак 439 Кривая простая 368 Кривизна кривой 023 Криволинейная грапепия 33, 386 Кубврус>ю> тело 390 Кулона закон 21 Кусочпо непрерывная функция 145 Лагравл< 263 Лаграняса погод псопределоввых мне>китс»ей 597 форма оста>о шого члена 279 формула коночных приращений 263 фупкщщ 5>97 Лаплас 604 Лапласа оператор 604 Лебег 340 Лен андр 240 Лейбниц 34 Лейбница признак 45>5 ряд 45>5 — формула 18> Лейбница — Ньютона формула 34, 354 Лиувилль 240 Логарифм интегральный 196 — натурвлып >й 12о Логарифмн юская функция 123 Локальная ограни юнность функции 2о2 †2 Локапьный макгнмум функции 261, 5>32 минимум функции 261, 532 зкстремум 261, 532 :1опиталя правило 270, 271 Мак.юреп 281 Мак.юрепа формула 281 31аклореиа Коши признак 440 Минковский 362 Мипковско>о неравенство для ин>егралов 366 сумм 362 Множества внутренняя точка 481 > рапичвая гочка 18! диаметр 497 — предельная точка 91 Множество вощсствонвых чисел 46.
об всех значений функции 101 -- копн п>г>г, босковочпоо 91 мощности континуума 92 — ограни чешюе 91 сворху. снизу !6 — плотноо в собе 57 связное 48!. 482 — счетное 92 51одуль вещественного числа 44 >йонотовпая пос>юдоватсльность 73 — функпия 113 бйуавр 207 бйуавра формула 207 Наклонная асимптога 318 Натур>щьиый логарифм 125 параметр на кривой 374 Начальвоо попятив 20 Нооирсдсленный ннтеграл 30, !9! Неоцроделенных козффицяснгов метод 223 множи го>ой мезод (>гегод Лаграв.
жа) 597 Неправильная рациональная дробь 21 5> Непрерывность функции 24, 110, 490 — — в точкс 110, 249, 490 на множестве 1!2. !9! прямой 492 — — односторонняя 111 — — равномерная 337. 197 , ркзностная форма !.57, 491 Неявная функция 568 Нижняя сумма 330 Нормаль к поверхности 503 Ньк>тон 20 Ньютона бином 23 метод касательных 403, 408 Ньк>тона Лейбница формула 34, 3о4 Область 481 — задания функции 101, 482 замкнутая 481 — ограциченп ы '!81 Обобщенный гармонический ряд 43э Обратная григонометричоская фупкдия 132 — функция 111.
579 Объем тела (верхи>з>3, нижний) 390 Обыкновенная точка кривой 578, 607 поверхности 578 Огибающая семейства кривых 611 поверхностей 614 Ограни*п>иная область 481 пг>слсдовател> вость 62, 485 функция 252, 253 — — сверху, снизу 252 Ограниченное множество 91 сверху, снизу 40 Ограпвчеппость локальная функции 254 Однопараметрическос кривых 609 П!'ЕлТМКТН!л!й лУКзлЗЛТЕ71Ь 645 Однородная функция а08 Односторонний предел 104 Односторонняя нопрерыввость 111 — производная 160 Окрестпосгь точки 57, 480 482 Опрадсланныя интеграл 32, 328 Особая точка кривой 578, 607 — — поверхности 578 Остаток ря,ла 430 Остаточныи член формулы Тейлора 276 в интегральной форме 358 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
