Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Эволюта и эвольвента 1. Нормаль к плоской кривой. Пусть плоская кривая Е задана посредством п ар амет рич вских уравнений 116.41) :: = р(1). р = Ф11). В)дом считать, ч(о кривая Е не иь(се) точек самопересече— ния и участков самопал(ггания. 14роьнз того, будем считать. что каждая точка кривой 1 является обыкновенной ').
Введем понятие нормали к кривой в данной ее точке М. Пр)я»иоя, располов(сенная, в плоскостгин к)и(во(1 А и проходящая через точку М кривой перпендик()ля1)но касаи(ельной к А в точке М, навь(поется норма- ,рь ль)о к Е в точке М 1рис. 16.14). ,,Ф' Ньи(дем урявнение нормали к кривой. Пусть х и д — координаты точки М кривой Л. а Х м(х,у) и У . координаты лн)бой точки Х нормали к кривой. Согласно определению нормаль пер- )((1х,у) пендик' лярна касательной, и поэтому угз)овей коэффициент )со нормали связан с угловым коэ())фицпентоы к( канат()л! ной О х соотношоннем ) )(и 12( = — 1.
(16.42) Рис. 16.14 Так как угловой коэффициент )с( касательной в ()лучае параметрического задания кривой 116.41) равен — ', то из 116.42) )2 )) ) Отметим. что прн этих усчовнях в ка)кдой точке кривой Е существует касательная. 2) ) Это соотноп(ение известно из курса аналитической геометрии 1схс, например, выну('к «Лпа2(итическая геометрия» нагтоящего курса). 628 ИРи:1Ожении ДПФФеРенция:1ьнОГО исчисз1ения 1'л. 1в по.лучаем 1о = — — ',.
(16.43) Используя известное из кур/а аналитической геометрии урав- НЕНИЕ 1/РЯМОЙ С ДаННЫМ У/ЛОВЫМ КОЭффИЦИЕНтОМ Кп, ПОЛУЧИМ 1>Лед! юще/', ур/Лвнен!л/' норт>еь/1и к криВОЙ А: 1' — л/ = — >; (Х вЂ” и) (16./14) >> ы Ф,О> ) Напомним, что В/ = — и лпя обыкновенной точки >> -1- >> ~ О. » Учитывая. что и = //>(1) и 12 = 1/>(1), перепишем уравнение (16.44) в следуклпей форме: о'(Х вЂ” д) + 1('(1.
— ф) = О. (16.45) 3 а м е ч а н и е. В /шучае е/ши касательная в точке М параллельна оси абсцисс, ее угловой коэффициент й/ равен нулю, и поэтому соотношения (16,42), (16.43) и (16.44) не имен>т ск>ы/.>а. Од~а~о В этом сл1'Лж> уравнение (16.4О) В/»;:к/л >ОК>дстаВляет 1'ОООЙ уравн/>н1>е нормали. Действительно, 1',гпи 7/1 = О (касательная парал.Тельна, о/и абсцисс), то 11>' = О, а //о' ф О ) и поэ>ому соотношение (16.44) принимае> вид Х вЂ” /о = О. А это есть уравнение пря»/ой, перпендикулярной оси 12а/ и отсекак>шей на оси (2:с отрезок, равный /р.
Ясно, что эта прямая совпадает в рассматриваемом случае с нормалью в точке ЛХ. 2. Эволюта и эвольвеита плоской кривой. Пусть кривая Ь улов./отвори/.т тек/ >ко условиям, что и В предыдуп>ем пункт/>. Ооратимся к уравнения> (16.45). Е/>тн в этом уравнении рассматривать 1 как пар/Лмл>тр, то ОНО представляет собой уравнение />/2но>>/>!к>„111/н/1и/инского овале/1с7овн всеи но1>>иоле>1 плоской кривой Ь. Представ;н>ни/> О 1»>мейств/л норма.н>Й плоскоЙ кривой дае> рис. 16.15.
Прн определенных условиях одпопараметрическое семейство нормачей имеет огибаюшую, которая называется эволютой кривой А. Итак, э в о л /о >п о й Рис. 16.15 плоской кривой ь ниэыва- эволтотя и эвольввнта ется озтлбинлтцття однтшауюметртлческтьит селтейства нормалтил' евпотл кривой,. Кривая Ь по отлиошснтинл к своей эволнтте. тплзыватптся, э в о л ь в е и и о й. Вьтяттниьт условия существования эволнтты плоской кривой 1 и найдем ее параметрические уравнения.
Будем считать, тто кривая Ь бс:т особых точт.к з глана посредством параметрнчет:кпх уравнений (16.41), Для простоты предпо.тожим, что параметр 1 изменяется на интервале (0,1). Лопут:тим также, тто функции ту1т) и т)л1т), фигурирунтщие в соотношениях (16А1), имеют непрерывные третьи производные на интервале (О, 1). При этих предположениях справедлива следунлттая тео1тттма.
Теорема л 6.4. Пусть во всех точках крттвой 1 се к1шхнтзни Л и пуотлзводтлтля к1лтлвивньл ') не. ривны нулкл. Тозди срцествует эволнипа кривой, 1. пртлчсм тта1ктметп1ттлчссктле у1клвненпя эволтотът иметот вид ел+ ~ 2 Х = тр —,та т,т)л'. (16тА6) у ~ 'Р ер л =ут, е ету —,,Чаа Д о к а з а т е л ь с т в о. Ъ1ьт определилтл эволюту как огибанзтцую однопараметрического т:емсйства норкта.лтттй кривой Л. Это семейство задается уравнением (16.45). Тттттттьт образом, функция г'1Х.
1. 1), задантщая семейт:тво, опрелеляетт:я соотношением Е(Х, У, Е) = ту'(Х вЂ” ту) + ул'(У вЂ” тэ), (16.47) причем 1 играет роль параметра. Применим теперь выводы ~ 1 этой главы о существовании отнбанпцей для выяснения вопроса о существовании эволюты (т. е. огибаняцей семейства (16.45)). т1ьт должны проверить выполнение условий,леммы и. 3 'З 1 этой главы и условий теорт. мы 16.1.
Перейдем к проверке указанных утсювнй. Остановимся сначала на проверке условий леммы. Очевидно, при сформулировюпп,тх требованиях на функции ~р и ттт функции Г(Х., 1;1) и Ртт(Х. У,1) диффеРенциРУемы. Уоелттттсн тепеРь, что Якобиан В(Е',Е~) отличен от нуля. Используя выражение (16.40) для ьритз1х,т ) визны к: кривой 1, можно представить этот якобиан в с,ндуюпттй фо1тмтс 1ЗЖГт) 1„т ьг р ~,лг)З1г лз1х.у) = с р ) При утсювиях, на.юженных на функции З и т", кривизна у пре,ттавзяет собой лпфференцируемукт функцию параметра т. 630 н1'н:1Оження ДИФФе!'енЦнлльнОГО нсчис."1ення 1 л. 1в По усповик! теоремы кривизна ь, отли !Иа от нуля.
Кроме того, так как все точки кривой А обыкновенные. то <р'в + ф'з ф О. 1'аким образом, указанный якобиан отличен от нуля, н стало быть, все у<.ловия леммы выполнены. Проверим теперь условия теоремы 16.1. Очевидно, что при сформулированных требованиях на функпии <«и <1< производные Р~-, Р~!., Г!'<, Р<~1., Р<< непрерывны. Остается лишь убедиться в справедливости соотношения Р~<< у'= 0 для всех значений 1 из интерват!а (О, 1) и для характеристи 1еских точек на нормалях к кривой Л.
Так как Гц' — — <ра'(Х вЂ” <<!) + фа'(У вЂ” <1<) -- 3(р'<рл + <<1'~!") (16.48) и согласно и. 2 3 1 этой главы и формулам (16.13), характеристич<<ские точки;<ля рассхштрива<<мого <с! ! п<я определяк<т<я соотношениями р'(Х вЂ” <<!) +.
ф'(У вЂ” ф) = О. (16.49) р" (Х вЂ” р) + 4"'(У вЂ” ) ) — М" + 1<!") = О: то значение прон:!водной г<! в характеристических точках в силу (16.48) и (16.49) равно Обратимся к выражению (16АО) для кривизны а кривой Л. С учетом обозначешлй (16.41) из формулы (16.40) путем днфференпировапия получаем С помощью этого соотношения и вырагкения (16.40) для кривизны придадих| выражении! (16.50) следуклпук! форму: й«в ( <2+,~,<2) Так как по условию теоремы 1 и !<У не равны нуля! и, кроме того, у~э + <1<<в ф О, то из <и!следнего выражения для Г<< счедует, что для всех значений 1 из ин!ерва;!а (О, 1) и для характеристических точек на нормалях к Л Р<! ф О, Тп<им образом, условия тео1юыы 16.1 также Вьп!Ол<п:ны.
Найдем теперь параметрические уравнения эвола!ты. Так как при сформулированных у<шовиях;эволюта <<сть геометриче<кое место характери<'тических точек семейства нормалей, то координаты Х и У точек эвола!ты определи!Ит<'я из <х<отнонп;ний эво;потга и эвольвинтоа (16.49). Находя из этих соотношений Х и У, мы и получим параметрические уравнения (16.46).
Теорема док лана. 3 а и 17 «а н и 11. В Геомс.т1нси ~~с~~ исполвзусотся нопятия радиуса кривизны и центра кривизны. Радссдсола Л кривизны кривой Т называется величина 17А, где Й кривизна 1, а 11енГпролс крвв7ляны та точка нормали к кривой. котора» отстоит от данной точки кривой Е в направлении всп нутосги Л на расстояние Л. Отметим, что радиус кригизпы кривой равен радиусу соприкасак1- щейся окружности, а центр кривизны совпадает с центром соприкасак1щейсс;я окр1 жности. Ъ'Ое'.диме», что ояолюсла 71171.*с)с7пс1- ялаеш собой геомесарссческое место ссессш11ов сйоонснны к11аоой.
В с:ямом деле. Из соотношений (16.46) получаем )в + ~1:,),)Я т. е. точка эволк1ты с координатюпл Рис 7616 (Х, У) отстоит от точки кривой Т с к011рдинатаыи 1177, 71) на расс;тоянии Л. Из ГссомеГ1)ическОГО с;мыссла эволюты (см. рис. 16.15) ясно, сто точка (Х. У) рас положена, на нормали в сторону вогнутости кривой Л.
П р и м е р. Найдем уравнения эволюты эллипса 4ВСР (рис. 16.16), опрссделяемого парахсетричсскпми уравнениями л = <р(1) = ос:ояко. йс = 7Г(с) = 661п1. Так как ср' = — аяша, ~У = бсов1, сро = — асов1, 717о = — Ьяш то у~т + я7~т = аз явяв+ бя соня 1. а с77~7р~~ — сс7оссу = а11. Поэтому. ссп;ласно (16.46), параметрическне уравнения звал»1ты эллипса Ивпскн ВИД 2 72 72 2 Х = 11ов~1. У = вшв с,. а Ь Таким образом, овал»17оа эллипса представляет собой так называеъсую удлтсессндт 11сса11оссс)у (см. рисх 16.16). Отметим, сто в то сках А, Л, С, Р эллипса 1Т. е. в его вершинах) производная кривизны равна нулю. Поэтому в этих точках не выполнены уссн1вия теоремы 16.4.
В ссютветствующих точках А', В', С', Р' зволн1та эллипса имеет особенности так называС1МЬ11; ТС!ЧКИ ВОЗВРКТа. П Р И Л О «К Е Н И Е ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В г„(. 2 д.(я вв((денни В(1(пественных Еис(а;1 мы испо.п зевали множество бесконечных десятичных дробей. Определив для хшожества этих дробей правила сравнения, (Епоженпя и умнолюния, мы ус:тановили. что эгнзменты этого множества обладшот 13 осноннв(мп сно(1ствсзли( 1перече(св(енными в и. 1 Ц 1 гл.
2 для рациональных чисел). Описанный метод введения вещественных чисел, хотя и обладает несомненными эвристическими и методическими достоинствахш, не является единственно возможным. ."11озкно было бы ввести вещественные числа с помощькз оесконечпых двоичных дробей, с помощью так называемых дедекиндовых сечений в области рациональных чисел ), с помощью последовательностей рациональных чисел ) и другими методамп. Чтобы выяснить взаимосвязь между рнз.плчными методами введения вещественных чисел, привлечем некоторые новые попя1ия и ус1анОВим ('.Епе Оде10 Важное сВОЙстВО зп!оже('ТВВ из('- ченных нами вещественных чисел.
1. Полнота множества вещественнь(х чисел. Д(за ме(ожес:тва, для элементов каждого из которых определены правила сравнения, сложения и умножения, мы будем называть изол(ор()зч ны«ни друг другу отиос нтельно отпл(ж пИзнпл,, если между элезнзнтймп этих хплО:к('.с1В хивино зч;тае10Вить ВзиимнО ОлнОзначнОО соответствие ) так, что ес пл элементам а, и 6 первого множества ' ) Способ введения веслественных чисел с помо(пью се (епий принадлежит пемепкому хсвтематику 1'. (едекинду 11831 — 1916). Этот способ изложен, например, в гч. 1 книги Ф.
Франклина «Математический анализ» или в гл. 1 кшлги Г.М. Фихтенгольпа «Основы математического анализа». ) Этот способ введения веппствеппых паол пропадлежит Г. Кантору. Его изложение можно найти в книге В.В. 11емыцког(Ь )(1.И. Слудской и А.Н. Чоркасова «Курс математич( ского анализа», том 1. гл. 2. з) По ново;(у взаимно однозначного соответствия ме>кс(у злементами:(вух множеств гм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
