Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Убедив<си. что указанные кривые им<ют бесконечный порядок с<н<рнкосновени"1 в начале координат О. Так как общей касательной в точке О служит ось Ох, то. взяв на этой о<и точку ЛХ с абсциссой х, мы получим, что ~ОМ~ = ~х(, а (ЛХ<М2~ = е ) Л Х» ЛХ» ( 3,остаточно доказать, что для любого п предел 1пп М,О 10»1Х~ л' ') При этом предполагается, что если точка ЛХ достаточно близка к Лх, <о перпендикуляр, во<станов»еп»<ь<й< в точке ЛХ к ка<зтельной, пересекает каждук» кривую Х ~ и Х лишь в одной»очке. 617 СОПРИКОСПОВЕПИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ ,,— «и й 1пгг, )!авен нулю, Полагая ! = 1гг/х).
мы св(дом этот х О ~х~"" 1"' предел к пределу 1шг, . Б конце и. 2 8 12 гл, 8 доказано, г — «;ос е« что последний п)!вдел равен нулю. 2. Порядок соприкосновения кривых, являющихся графиками функций. Предположим, что две кривые Аг и 1 « явл«потея графиками фувкпийг у = 11(х) и у = у (х) соответственно. Предп(хчожим, далее. что эти кривьп' каган!тон друг друга в некоторой точке Мв(хв. )1(хо))«причем точка Мв является обыкновенной для каждой гт этих кривых '). Мы докажем, что при этих предпо:гожениях данное в предыдущем пункте опред(ление поря,гка 1 оприкосновения кривых Аг и Ау можно заменить другим эквивалентным определением, более удобным для п)>иложений. Пусть г.'гзг — произвольное приращение аргумента, в точке хв.
а х =:гв + Ьхз Будем нгворить«что нрггвг«ге. Ь~ и Ьй имеют, в пнгчле Мв(хв,дг(хо)) порядок соггрнкосновенплн п«если сугг(ествует, отличив!В' от мулл предел 1уг( г«+'1 ) — У( еэ-Х )~ 1 ~Ь(х) — 1(х)~ (1б2ц с«х — «О т, -«хо !х — хс!" ' ' Для того чтобы можно было говорить о порядке соприкосновения рассматриваемых кривых Аг и Аз в смысле определени«1, данного в преды,пущем пункте. нужно прежде всего доказать, что в некоторой окрестности Мв эти кривые одьягзначно проеци1гукт«ня на свою об!дую каса!с !внук«, Эгсгьг) по« нингена щ»!водяная ниже лемма 1.
Остальная часть настоягцего пункта посвящена доказателгп тву егце двух лемм, из которых непосредственно вытекает эквивалентность двух определений порядка соприкосновения кривых 1.! и Лв. Лемма 1. Если то «ка «11««(хо, Пха)) лелле«пся обикковенкой точкой кривой Ь, слуга:а««гсй графиком функции у = 1(г«).
«по кривая Ь о некоторой окр«:с«внести «Ие однозначно проскирустсл на свою касатаельную. Д о к в з в те л ь с т в о. П1«ежде все~о. отметин«. что су«пествоввпио касательной к кривой о в точке З1с вытекает из существования производной 1 (.сс). Перейдем теперь к новой си«теме декартовых прямоугольных координат Ху„поместив новое начало в точку касания ййс и направив ось Х влоль касательной в ггйс (рис.
16.7). Если через о ооозпвчить угол между осью .г, и осью Х. то очевидно. что новая система координат получветгя из гтврой посредством переио«в начат в точку г!Хо(хс.,)(хо)) и новорозв осей нв угол ««. Используя известные формулы преобразования координат Определение обыкновенной точки кривой, заданной уравнением Е(х„у) = О, бы, ю двпо в п. 1 1 1. В чвгтпо«ти. для кривой, заданной уравнением у = ф(х), 'гочка «се(хо, ф(та)) взлет ооыкнове«оюй, ещ«и п1«оизводггвя 1'(х) лишь непрерывке в точке то.
В1 В.й. Ильин, Эзп Позняк, часть 1 618 нриложкиии Лис экркиг(ийу!ьного исч|ислкнии гл. Ро при переносе и повороте осей (сл|. выпуск 8), получим сзе;|ун|щее выражение новых координат Х, У |очек кривой Л через старые коорлипа|ы х и р = Х(о:): Х = (х — хо) сова -|- (Х'(х) — Х(хо)) вши, (16.22) У = — (х — хо) вша+ (Х(х:) — Х(хо)) сов!|. 1!вша цель булет д|н:тигнута, если мы покажем.
что из уравпепий (16.22) можно выразигь 1' как функция| Х (это и б|дет означать, что участок У кривой Ь, примыкающий к !!Хо, одное зпачно проецируотся пв ось Х, т. е. г па каса! Рлъп| ю). Де|я э|ого досгаточио доказать, что в окрестности точки ЛХо Х первое из уравнений (16.22) одпозпачно разрепшмо отпосительно х. (В сам! мом,|еле. выразив х через Х из первоо; го уравнения (16.22) и подставив полу' (Лх~ Х(х) чепное выражение во второе уравнение (16.22).
мы и опре;|елим И как функцию О хо х х Х.) Согласно теореме 15.1 достаточно доказать. что производная по х правой части первого из уравнений (16.22) отРис. 16Л личпа от пуля в точке хо и непрерывна в этой то.|ке. Но зто о |егидпо, ибо |казы!пав прои|во,!пав ~~ее~ гит со. и-~- т Х (,г) вша и в точке хо, в которой Х|(хо) = Скп, раппа 1,|сова. Так как т ф яХ2, то сов и у- О. Лен|ма доколе||а. Пусть кривые Х ! и Ьо, представляющие собой графики функций р = = Х! (х) и р = Хо(х), касаются друг друга в точке ЛХо(хо. Х! (хо)), которая является обыкновеши|й для каж,|ой из этих кривых, а х = хо + |зх.
Пусть„ да:т'е. из точки ЛХт(зи )о(:г)) опущен перпендикуляр па касвтельеун| в ЛХо (рис. 16.8), ЛХ! |очка пересечения этого перпендикуляра с кривой Ь! '), а ЛХ . с касательной. Тогда спр шедливы следующие утверждения. Лемма й. Сри|естеует отлиягний от нуля предел Г . (16.23) .',"'0 ~ЛХ|ЛХ,~ Лема!а о. Сущее|вере!!! отличный от, пуля предел л.",.",о )йх) Заметихц по из лемм 2 и 3 вьггекает, что отличный от пуля предел (16.21) существует тогда и го:|ыго тогда. когдд с|тцесгв|.ет отличньш от пуля предел (16.20), Рпг.
16.8 ') В силу леммы 1 при достаточно молом .йх такая точка булет только олпа. СОПГИКОСПОВК1ПХП ПЛОСКИХ КРИВЫХ 619 в зто и означает зквиввлептность „твух определений порядка соприкосновения. Перехо;сим к доказательству лемм 2 и 3. До к а з а т е л ь с' т в о л г м и ы 2. Ради простаты обозна псы расстояние Мс ЛХ. через р и ради определенности будем с щтатьч что кривые Х,с и Ао расположены так, квк указано на рис. 16.8.
Если Х и У координаты точки ЛХс, а и стол наклона касательной в ЛХо к оси О:г, то, очевидно, .'т = х+ ря1ссп, У = Х 1х) — ргоя и. Твк как точка ЛХс лежит на кривой Ьс. та К = Хс) З) или Хс(х) — рсоа а = Хс(я: -ь ряшсс). Применяя к правой части последнего равенство формулу Лагранжа по сеглсенту 1х, х+ рашо), будем иметь Уя<х) — с ' = Хс(х) -ь расс У'®., где б — некоторая точка, лежащая Твк как р о О при Ьх — з О и производная Х (т) непрерывна в точке хо, то посхзеднее равен- ство можно перс писать в виде внутри укязщщого гегмепта.
Хя(х) — рговсс = Хс(х) + + р яш сс)Х Ого) -Ь я)„(16.23) где я — я О при зо — з О. У гитывая, что Х'(хо) = 16 о, мы получим из (16.25) Хясх) ус сх) 1 -Ь я вша. р сав и Лемма 2 доказана. О До к азател ьсз во с а и м ы 3. Обозначим крез 3 угол между хордой ЛХоМз Рис. 16.9 и касательной МоМ (рис. 16.9). Очевидно, что И -з О при Ьх — > О. 11з прямастольных треугольников ЛХоЛХяР и МоМ М 1зстесь Мор пвралте,тьно оси Ох) находим )Лх) ~МоЛХ~ )ЛХОМ2) с оя(п -~- д) гоя И 11з последней формулы очевидно, что 1. )ЛХОЛХ~ .
сая 3 1 1нн = 1шс л.: со )Ья):т. осоя(от и) сова Лемма 3 доказана. 3. Достаточные условия соприкосновения порядка и. Пусть. как и выше, две кривые Х1 и Х 2., служащие графиками фуикиий 11(х) н )2(х), ксиасотся друг друга в ЛХО(хос Х1(ха)). Справедливо следующее утверждение. 620 И1'и:1Ожения ДПФФегенциильнОГО ис'чисг1ения 1 л. 1в Теорема 16.2.
Пусть функ!!а!1 у =--1!(х) и у.= 1а(х) (и +1) рав дифференсснруемы в некоторой стрестноглпо, гпочкн хо., причем произ!ладные порядка и + 1 непрерьнны в само6, точке. то. Тогда, если в точке хо вьшолнянзцлгя гав!пион!ения .Гл(ХО) = 1а(ХО)л 1!(ХО) = ЫХО)л .; У! (ХО) = Ха (ХО) (и) 1в! ~~вг О(х.) ~ ~~"О(х.) ( ) то кривые 1! и Га иментл, в точке Мо(!хо,1'1(хо)) порядок вол!раки!!наивная, п. Д о к а з а т г л ь е т в о. Пусть г"(сг) = 1а(х) — 1!(сс!). Достаточно доказать, что сулцествуе! отличныГ! от нуля предел 1ш! Так как в силу (16.26) Е(хо) = Г'(хо) = ...
= Р(")(хо) = О, Е(ле!)(хо) и'= О, то, записывая для функции Е(х) формулу Тейлора с огтаточным членом в форхле Лагранжа, будем иметь Е(, ) рдвгО(, +у(х, ))(, )пч! О ~ у ~ 1 (и -!- 1)! (16.27) В силу непрерывногти прои'зводной порядка и + 1 в точке хо Р( л(:го + О(х — хо)) = Р( )(хо) + ел (16 28) где е — з О при х — л а;о. Из соотношений (16.27) и (16.2л8) шзлучнм.
что 1!ш ™!, = !Гвз !(хо)/ ф О. лкь ~к — к~~" е' ( з-1)! Тсло1зехла дока:зана. 3 а м е ч а н и е 1. Если вь!полцены вге условно теоремы 16.2, за игключением, быть может, условия 7! ' (хо) ~ (з ' (хо). (!)се!) .(пз-!Л то можно утверждать, что кривые 1 ! и 1 а имеют в то !ке Мо порядок соприкосновения не. ниже и. 3 а ъл е ч а н и с' 2. Выясним порядок соприкосновения кривой рн являкицейся графиком функции у = 1(х) со своей ка- гательнслГ! Т в точке Мо(хо, Г(хсл)). При атом будем считать, что функция 1(х) три раза дифференцируема в окрегтности точки сго, а ое третья производная непрерывна в точке хо.
Напомним, что кагательная Т служит графиком глинейной функции = ср(сх) = Х'(хо)(сг — хо) + Х(хо) Таис как ср(хо) = Х(хо) ср'(схо) = =- л"(хо) и сра(хо) = О, то в случае !'а(!го) ~- 'О кривая А имеет го своей касательной Т порядок соприкосновения и = 1, а в случае 1а(хо) = О указанный порядок соприкосновения не ниже двух. СОПРИКОСЛГОВЕНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 4. Соприкасаюсцаяся окружность. Пусть Мо(:ео> уо) точка кривой А, являющейся графиком функции д = 1(х), имеющей непрерыв>сую третью производную в точке:ео.
Через точку ЛХо можно провести бесконечно хшого окружностей, касаюпснхся кривой Х в:>той точке. Легко убедиться в том> что часть каждой такой окружности, расположенцевс в некоторой окрестности точки ЛХо, представляет собой график функции вида у = = у(х). Поэтому мы можем говорить о порядке соприкосновения кривой Х, и любой из этих окружностей в их общей точке ЛХо, Та из этих окружностей, которая имеет с кривой А порядо>с соприкосновения не ниже. двух, называется сс>прс>кас>ак>с>се>1- ся окружностью для кривой Х в пи>чке ЛХо. Следу>осцее утверждение успшавлпвает достаточные усповия для существования у кривой А в точке Мо соприкасасощейся окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
