Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Полное логическое завершение наших представленитт о вегцествсгнных 'тислах дает аксиомати'тсекий метод введсь ния этих чисел. Этот метод заключается в етедующем. лг)нгэзн71117711777 ье1цехялвти111ьлх чисел ввод1иглсля, кглк сОВОьу71- ностпь стбтьекттгсгв любой нриродьг„удовлепгворяннцих )7 ллктслмвм, в кв,честве которых беруинхя 71)астгллв срзвпения, слосгнюния гл умножения, ). 13 основньлхгвойстпв и пкапхма о тггэлнслтег 07пнос117пельно укизпннтьлх 71)ягвтлл и свойспгв, Указанные 17 аксиом обычно называют вксиомами веилесттгвсннсэео чгюла, Конкретной реализацией совокупности обьектов.
удовлетворяюпсих 17 аксиомам веществетшого чис та. является изу генное нами в гл. 2 множество бесконечных десятичных дробей. Возможны и другие реализации указанной совокупности обьектов з). Полное выяснение вопроса о связи между этими реализациями дает с тедующее заме тательное утверждение. Любая ревлизпцтля ),х') сввокупнглсиги Обьектпов, у)довллетпворятюлгни г ) 7 пксиомпм вегйс стиве ннлэео чти лп, глэоыору)тллл втпнснтлтпвжьно тлрслелглл, 77)ялвненгля,. слозяления, гл, умнозкенгля изученному вьлггле,лене нсеств у 1х) бесконемньлс десялп глчньлллг дробей. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ради удобства разобьсм доказательство на отдельные пункты. Г.
Прежде всего. заметим. по аксиомы гарантирунзт сусцествование у множества )х') элементов О' и 1', глграюпсих особую ') Эти свойства обеспечивают применимость всех правил алгебры. ) Гостулируется лишь факт существования правил сравнения, сложения и умножения. Конкретный вид этих правил при атом но укааывается. ' ) Мы уже указывали во введении к настоящему приложению, что вещественные числа могут быть введены различными способами Сс помощькг бесконечных двоичных дробей, с покющью так называемых дедекиндовых сечений и другими способами). НАс?ьнейшее РАзВ?л'!'ие теОРии Вен!естВен?1ых '1исел 637 роль нуля и единицы. В силу аксиомы Лрхимеда 1' > О' ').
Выделим у множества ?х') совокупность ссрациональных объектовы Для этого заметим. что любое рациональное число может быть получено из шсел О и 1 посредством операций сложения. вычитания и деления. В самом деле, повторяя чнсло ! слагаемым нужное шсло раз, получим .,побое положительное целое число и: вычитая ис! числа О число 1 нужное пило раз, мы полу шм ллс?бее отрицательное целое лисшо: делением двух целых чисел получим любое рациональное число. Так как в множестве ?т'). согласно аксиомах?, опрс?дс'.лены опс'1мщии с' ложс'ция, вы'п?тания и дс'.лс'- ния. то с помощью этих операций полу"?им из О' и 1 вс е «рациональные обьекты?ь Эт?л обьекты мы будем обозначать темп же символами, тго и рациональные числа, но снабжать штрихами.
Докажем. что построенная нами совокупность «рациональных объектов» множества ?т') изоморфна относительно правил сравнения, сложсния и умножения совокупности рациональных чисел множества )г). В самом деле. поставим в соответствие рац?лональному числу ти!г! «рациональньш объект» ти'сст!'. Из способа построения «рациональных обьектов» вытекает. что сумме и произведению рациональных чисел тгг,си и р?с) соответствует сумма и произведение «рациональных объектов» и!'?!и' и р',?д'. Остается убедиться в том, что т'/и' и р'??с?' связаны тем жс" знаком, что и ти)л! и р/д.
Поскольку при нашем построении «рациональных обьектов» правило сравнения любых «рациональных объектов» посредством умножения на «целые объекты» сводится к сравнению «целых обьектов», то нам достаточно убедиться в том, что для любых «целых ооьектов! т! и и' т! > и' при т ) л?,. Для того чтобы убедитьсл в этом, достато шо в силу аксиом до?лазать, '?то !и + 1) ) *и . Пес"?с'.днес'.
Вытекает из то!'о, что 1' > О' и. стало быть. (и+ 1)' = и'+ 1' > и'+ О' = и'. 2'. Пусть теперь а' любой обьект множества ?т'), Покажем, что апшмр обвеклсиу ллкнсно лиюташипь и соо?пжелпстние еиолнс ои!нс)еленн!??с! «бесконечсигю с)еслтгснчнрнл дробь» . Ради определенности предполс?жих?, что а' > О . В силу аксиомы Лрхимеда из «целых обьектов», строго меньших а'. найдется наибольший обьекг, который мы обозначим через а~о, из тех «рац?лональных обьс?стон» ао, О': ао:1:.,,: ао " ') В самом деле, если бы было верно противоположное неравенство 1' < < О', то иа него, в силу аксиом, мы получили бы !'+ 1'+...
+ 1' < О +О +... ... ж О' = О' (око??ько бы раз число !' ни бы:ю повторено слагаемым), а что противоречит аксиоме Архимеда. нриложннии которые строго меныпе а', найдется наибольшпй объект. который мы обозна !им через а~о, и1, и т. д. Таким путем мы поставим в соответствие любому объекту бесконечную совокупность «рациональных объектов» ае, ао, и!...., ав, и!... и„;... / / / / / / (П.2) или, что то же самое, «бесконечную десяти шую дробь» ио, а!аа... ил...
(П.й) Те же рассуждения справедливы н для а' < О', но в этом случае как все обьекты (П.2). так и «бесконе гная дескгичная дробь» 1П.З) будут иметь знак минус. Из построения совокупности объектов 1П.2) очевидно. что для лк>бого номера и справедливы неравенства / ! ! / / ! / с / 1 ав, и!ай... ил < а ( ио. а,ий... аи +, (П.4) 110")' ' т. е.
любой обьект а' заключен между двумя «рапиональными объектамиж разность между которыми, может быть сде- (10" )' лана меньше любого наперед взятого «положительного» обьека1) 3'. Докажем теперь. гго если даа лблскта а' н Ь' могут быть заклн»чинь! мяглсс)у двумя «рстцнонслльнлыми лбьгктигилт» ст' н )э" ф' ) ст'). уознотиь мемсду катар»лми ))' — о' маоюги! быть аделина маньене,побеги наперед взятпого «т!олозньптпельногсм объгктгь то с»~ = Ь .
Предполож»лм, что а~ ф ЬС Пусть. например, а' < Ь'. Тогда ст' < а' < Ь' <,У. Из этих неравенств, в силу аксиом, получим О < Ь~ — а~ <,'3~ — с«~. (П.б) Но тогда для обьекта Ь вЂ” и, найдется обраттгый... а для / / „„1' б' — о' ' него найдется «пелый обьект» тб такой, что 1' тъ ) б' — а' ' гак что !' ! ! — < Ь вЂ” а. и' Сопоставляя пос»еднее неравенство с (П.5), получим — <»л'— и' ') В самом деле. для любого объекта е' > 0' в силу аксиом существует обратный элемент —, а для него найдется «целый объект» и' такой, что 1' и > —,такчто « — г.
(10")' и' дйс!ьне!!шее РйзВН'1'ие теОгии ВеЩестВен!1ых чисел 639 что противоре пн тому. что разность !У вЂ” гя может быть сделана меньпп. любого наперед взятого «положгп гльного» об"ьекта. 4'. Убедимся в том, что доул! неравным, обьекпгггм, мнгхзкль си!на (х') нпаояхися о сгготоегиспгоие различгньге «бссконечнью десяти гнлге дроби».
В самом деле, предположим. что двум обьектам из (х') ставится в соответствие одна и та же «бесконс-шая десятичная дробь» (например! (П.З)). Тогда в силу неравенств (П.4) оба зти обьекта могут быть заключены между «рациональными обьектами», разность между которыми может быть сделана меныпе ли!бого наперед взятого «положительного» объекта. На о! новании и, 3' рассматриваемые объекты равны. Доказанное утверждение оправдывает представлешле гпобого объекта множества (х') «бесконе пюй десяти шой дробьюж 5'. Сог.,!асио первым трем аксиомам для объектов множества (х ) определены правила сравнения сложения и умножения.
Докажеь1: что г г ли Бег' !!бог кгпы м!«гзанъч 7пги!' (и ) ирггдсггггзе117гггь «бесконечными десятичными д1гггбямгг»», то для «пшх г дробггй» прооалгл сргитешгя, и определения еуммьг и пршюнедсния, фггрмулируютися точно так гнгггг, как дл,.я, обьггных бесконечньгх дес»н тичных дробей. илученныс оьтле. Пусть а' и Ь' -- лкзбые два, обьекта множества (х'), и пусть згим обьектам соответствуют «бесконечные десятичные дробгл» ') аОга1 .. и' ... 1л ЬО!Ь1...Ь'„ (П.6) Прежде всего выясним правило сравнения об"ьектов а' и Ь', представленных в виде «!бесконечных десятичных дробей» (П.б). Достаточно доказать следующие два утверждения: 1) если дроби (П.б) совпадают„т.
е. если ! ! ! ! ! ! О О' 1 ! ''' ' 7! 'и! то объекты и.' и Ь' равны: 2) если найдется номер и такой. что справедливы соотношения гго = Ьо. а', = Ь',, ..., о,'„, = Ь'., и,'„< Ь'.. (П.7) то объекты а.' и Ь' связаны неравенством о,' < Ь'. Утверждение 1) уже доказано в п. 4'. Докажем утверждение 2). Последнее из соотношений (П.7) можно переписать в виде а'„+ 1' < Ь'„.
Пользуясь этим соотношением и остальными соотношениями (П.7) и записывая д,ш а,' правое из неравенств (П.4), а для Ь' !) При установлении правила сравнения можно ограничитыя случаем «положительных» обьекгов о' и Ь', ибо общий случай сводится к этому случаю с помощью правила знаков, ри иложиник левое из неравенств (П.4). будем иметь а, (ао, и,...а„,ан+ =ао,ач...аи (сл„+1)( ! ! ! ! ! л ! ! ! ! ! (ло-) < асо, с!~к... а! лбло < Ьл! т. е. сл < Ь. Докажехл теперь.
чго для обьектов а' и Ь' слтраведливы те же опрегсскления суммы и произведения, что и для обьглных вещественных чиссл. Ограничимся случаем суммы, Пусть мл. ск!л. лхл и ~Зл — всевозможные «рацнональные объекты», удовлетворяющие неравенствам ол « сз!,бк' <6' <А. (П.8) Тогда сумма и'+ 6' объектов а' и 6' представляет собой единственный обьект. удовлетворяющий неравенствам ок + (лк (~ а' + Ь' (~ схл + лс)л. (П.9) В самом деле. из аксиом вытекает возможность почленного сложения неравенств. а отсюда следует. что сумма а'+ 6' удовлетворяет неравенствам (П.9). Кролле того, эта сумма является единственным объектом, удовлетворяющим неравенствам (П.9)! ибо каждая из разностей Ол — схл н )3л —,'Зл ! а стало быть, и разность (аа»,'9а) — (сх', + ~3,) может быть сделана меньше ллобого наперед взятого «положительного» объекта (в силу и. 2').
Аналогично рассматривается случай произведения. б". Докажем! наконец. что множество 1х'1 изоморфно множеству вещественных и«сел, представимых бесконечными десятичными дробями. Предположим, что множество 1хл1 не изоморфио 1х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
