И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Так как г„'=-(1, О, у!а), г'„=(О, 1, х(а), то (у,х, — а) а = ' ' н, следовательно, 1/аг+ хг+ уг г г(х-)- 2х г(у — у г(г = рг *+".+у' д тг г+ Р д дг — Р ах г — у ,) 1 у'аг + хг + уг ~/аг -1- хг + уг Так как г(5 = ф 1+(г'„)г+ (г'„)' г(х ду = — 'р' аг+ х'+ у' г(х г(у, 316 Р (г, х) )1 (у, х) (/аг+ х'+ уг д ду 2а) И. то 1 гг 2а~ а'л гг!х+2хг!у — уг(г =- — ~~ (х — у — 2а)г(хг(у= —— а 3 2 Х~ уо 7 (хм уо) = 1 (О, 0) + ~ г(х+ ) (яп ха хо яг! У) «(у =- о о = х, + уа яп х, + х, соз у,— х, = у, яп х, + х, соз у„. В силу произвольности точки В=(хя уа) находим множество функций )(х, у)=хсозу+уяпх+С, где С вЂ” произвольная постоянная.
П р и м е р. Проверим, что векторное поле А = ( Угг+у(2 ~/х, у х+г!23/у, ')ггу+х12')Гг) потенциально в первом октанте х) )О, у)0, г)0, и найдем его потенциал. Р е ш е н и е. Условием потенциальности поля А является равенство го!А=0. Проверим справедливость этого равенства для данного поля: д дх Г ! у 2 ~/х л д дг у у+= 2)/ ! д ду 'угх+ го! А-- Потенциалом поля А является функция и(х, у, г), удовлетворяю- щая условию вегас! и=А или Ни = (~/г+ — "~ г(х+ (')/х+ — '= ) г(у+ (7~/'у уР ) г(г. 2)/х ! ! 2 ~/у 7 1 2')~'г, 317 П р и м е р. Проверим, что выражение (соз у+у соз х) г(х+ +(з!пх — хз!пу)НУ является полным дифференциалом, и найдем все функции, для которых это выражение является дифференциалом. Р е ш е н и е.
Так как функции Р=соз у+ у соз х и Я=з!ц х— — ха!ну непрерывно дифференцируемы на всей плоскости Рг, то д9 . дгх из равенства — =созх — япу= — следует существование дх ду функции (: Кх — К, для которой г((=Рг(х+Яг(у=(соз у+у соз х) Х Х г(х+ (яп х — х з!и у) ду. Функцию !(х, у) находим по уже рассмотренному правилу (см.
с. 254). Рассмотрим две точки А=(0, 0) и В=(хм уа), тогда По уже рассмотренному правилу получаем, что «р и(х„д„г,)=и(1, 1, 1)+~(1 + — ) о(х+ 2 ~/х) 1 о« «« +~ (~/х, 1- ) иу+~ ~(/у„-т- ) о(г 1 1 =хо )+Ухо )+до'«г" хо — г'хо+7 уо 1+го7 до — у'до+ +хонго — хо=уоЪ хо+го7 уо-'хо'$/ го — 3. Итак, потенциалом поля А является функция и (х, у, г) = х т/г+ г У'у+ у ~I х+ С, где С вЂ” произвольная постоянная. Непосредственная проверка показывает, что дивергенция соленоидального поля А тождественно равна нулю. Верно и обратное утверждение: если б(чА=О в области 0с:Яо, то в этой области поле А соленоидально.
Так как б(ч(ягаби) — = О, то векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностью до слагаемого, являющегося потенциальным полем. Один из векторных потенциалов йг=(В'„йго, ЧУ,) соленоидального поля Л=(Л«, А,, Л,) получают следующим образом: !) полагают йГ„=О; 2) за (о'о берут одну из псрвообразных функций А, относительно переменной х; 3) Ж', будет та из первообразных функций — Л„относительно переменной х, которая отвечает уравнению дог~ да«о — ' — — =А„, ду дг Запишем это так: В'„= ~ Л, бх, (Р', = — ') А„бх+ <р (д, г), д~р д где функция <р(у, г) удовлетворяет уравнению — = А, + — (до+ ду ' дг а + — ~ А йх.
Выбирая одно из решений этого уравнения, оконду,) чательно определяем функции К„=О, йго, Чу,. Пример. Проверив, что поле Л=(х — у+г, д+г — х, х+у — 2г) соленоидально, найдем его векторный потенциал. д Р е ш е н и е. Поле А соленоидально, так как б1ч А = — (х — у+ дх +г)+ — (у+г — х)+ — (х+у — 2г).—.-1+1 — 2=-О. Одним из векд д ад дг торных потенциалов поля А является поле йг= ((г'„, 1Р„, В',), где Р~« = О, 3! 8 зз )Р' = ( (х+у — 2г) 3х= — '+ух — 2гх, з 1 2 зз )р'з=~(х — у+г)Их+~р(у, г)= — — ух — гх+~р(у, г), д~р д / ха — = х — у+ г+ — ( — + ух — 2гх) + др дз (, 2 д г х* + — ( — + ух+ гх) = — у+ г, др(, 2 ч = — — + гу.
рз 2 Итак, векторным потенциалом поля А=(х — у+г, у+г — х, х+ +у — 2г) является векторное поле Р=)р'+ афтаб и, где хз хз — уз )Г= ~0, — +ух — 2гх, — ух — гх+гу) и и — произвольная 2 2 функция класса С'. ЗАДАЧИ $1. Алгебраические и дифференциальные формы 1. Найти значение формы пз Л "з Л пз Зпз Л из Л из из Л иа Л из+ 2из Л з'з Л иа на векторах $,=(2, 2, — 1, 1), 5з=-(4, 3, — 1, 2), $з=( — 1, О, 2, 3). 2. Найти значение формы и Л из+ 2пз Л пз — Зиз Л па на векторах $,=(1, 4, 1), $з=(2, О, 3).
3. Привести к координатному виду форму (2п, + ззз — па+ 2ззз) Л (зз Л пз — Зпз Л'пз). 4. Привести к координатному виду форму (2из Л ма Зпз Л па+из Л па) Л (биз 2пз+Зпа+из). 5. Найти значение дифференциальной формы хрхзг(х, Л Йхз+хзхздх, Л уха+ хззхззйхз Л Мха-+ хз1хгпхз Л дх, на векторах ~~=(1, — 1, О, 2) и $з=(З, 1, — 1, 0) нз пространства т/1ц 3!9 6. Найти значение дифференциальной формы х,х'йх, /1 дх,+2»,х,х'И», Д с1»,+х,х,»фх, /1 Лх, на векторах 5~=(1, О, 1), $г(2, — 1, 0) из пространства Т/гм,, и, Привести к координатному виду дифференциальные формы.
7. (ху(хз /1 Их~+ »В(», /1 д», + «фх, /~ Их,+ х,д», /( д»,) /~ /~ (х,х,дх, + х,»,дх, + х,х,~х„+ «~х,дх,). 8. о (агс18 — '* ) /~ с((х,х,— х,х,). ,) 9. о (2х',х,х дх, Д дх -)- х',»,'дх, /~ йх,— 2»,х',х,Нх, Д дха). 1О. й(2»,»,е"+"'йх, /~ дх,+»',е"~"'Нх, /~ дх,+ + 2»,х,е"+"'Нх, /1 ох -(-х~е'""""'йхз Д дх~). 1 1 ° о (2»тхз»з»~ф»т+»~хз»дд»~ + х~ »з»И(»з+ х~ х хь ~ИЗ). 12. о'(»(г' — у') дх+у(х' — г') ф+г(у' — хз) ог). 13.
й(хугЧ» /~ ~(у+ «угу Д г(г-)-»угг/г /~ с!»), 14. й(яп(х,+х,— х,— хд)дх, /~ йхз+яп(х,+х,— хз — х,) ',( х Их, Д дх~ — яп(»,+»з+х,+х~)т/х, /~ дх,+ -)-яп(х,-)-хз-(-хз-)-»,)с~х, Л лха) 15. д (х~хзг)х~+»г»зд«~+ха»~~4»з+х~ху(»4) Л /~ (»здх~ +»3 (»з + хз~1»д +»т(1»д) Выяснить, замкнуты или нет следующие формы: 16. 2гхдх+ 2гуду+ (х'+ у') дг. 17. 2»угу -)- (х'г — г'у) 0у + х'увг. 18.
(уе'"*+ ху'ге'"') дх+ (хе""*+ х'уге'"') ду+ х'у'е""' дг. 19. (хг+ х,х, — х,х,) Ух, /~ Нхз+ (х~+ 2»з«д — х,хз) дх, /~ Лх, + +2»,х,фх, /~ йх,+(х,»,— х,х,)дх, Д Нх,-~- +( — 2х х,+ хх) дх, /1 Ихз+(ххз+хх,— 2х х) дх,/~д«,, 20. г (х — у) сов(х+ у — г) Их Д г(у+»(у+г) соз(х+у — г) йу /1 /~ с~г — у(х+ г) сов(х+у — г) й /~ 4». 21 (»г»з+»3»з) д»~ /~ д»Я+(»г»3+»Я«з)дх~ /~ дхд+ + (хгх»+хзхз) охз /~ йхз+(»1+»»+ х + х ) охз Л сЬ4. 320 22. (х,хз+ х',) ь)х! /т ь(хз /( ь(хз+ хьхзь(х! /! ь(хз /! ь(хь+ + (х,х,— х') ь(х! /) с)«з Д с!хь- 1- хьхзь(хз /! дхз /~ с1«!.
2«зхзф(х! l~ ь(хз /!! ь(»4 2»~ьхзхзь(»! /!! !1«з /!! ь(хз+ + (2х,хзх,— х,х,х,х,) ь(х! Л ь(хз Д ь(хь + (2х,х,х, '+ х,х'„) д«! /1 23. /~ !(хз /ь! (»»» х «ь 1« /!! ь(х /! (» (хз)х~ ! 2»зх, » ) о!х /!! Л ~(хз /! ~~хз+3»!»4«ь|(хз /! "(хь /! ь(»ь хьхзхз«ь х! /! ь(хь /! ~(»ь" 24. в=(»+япх)ду — у(сои»+1)дх, г.
= ((х, д): » = х, д = х соь х). 23. в = уь(х — »ь(у, Л=((х, у): х=-у1пу, у=-у). 26. в = угь(х — «гс1у+ хуь(г, Е=-((х, у, г): х=асоьь, у=-аяп(, г=(ь/). 27. в= »Ы«+ узду+(хз+у') дг, Е. = ((х, у, г): х = а/ я и Е, у = а! сои 1, г = И'). Найти суьксние формы в на поверхность 5 с указанной параметризацией: 28. в = хь(у Д дг -, 'ус1г /!! !1»+гь(х /!! ь(у, 5 =- ((х, д, г): х = х, у =- у, г = х ь! и д + д 5!и х) . 29. в= — — г(г'+ у') !)х Д ь(у+у(гз+уз)ь1г /~ ь(х+2»с(у /! !(г, 5 = !(х, у, г):х=агс1и д -(-уг, у=у, г — — г 1 г 30. в = г!1» Д с!у+ хь1д /! !ьг+ 2рг1г Д !г«, 5=-((х, у, г): х =х, у=хг1п(х'+г'), г=г).
в = хь(у /) с)г+ у!)г /( ь(х+ гь(х /1 дд, 31. 5 — сфера радиусом )«: 5=((х, у, г): х= — )ь'соь!рсоа!Р, у= = )с ып !р соь зр, 7 — — )с 51п ьр). 32. в=г'(х+у) с1» /! ь(у — г(х'+у')(ь(г /!, ь(х+!)у /! ь(г), 5 — геликоид: 5-=((х, у, г): х=-аисоьо, у =-пияпо, г=/зи). 321 Найти сужение формы в на кривую Е с указанной параметриаацией: 33. ы = уеду /1 6(г — хгйг /1 Их + хуйх + с(х /1 ду, 5--тор: 5= — ((х, у, г): х=-(Ь+ асов р)созе, у=-(Ь+ + а соз ср) з(п ч!, г = а з1 п !р), а ( Ь. 34. ы == д!(х /! Ну — гс(г Д Нх+ хс(у /! Нг, 5 †гиперболическ параболоид 5=((х, у, г): х=-аио, у — -=а(и+о), г:= а(и — и)).
33. !з =. г (х' + у') !(х /! Ну — х (у'+ г') с1у /! Ыг + д (х' + гз) Иг /! с1х, 5 — цилиндр, 5=-((х, д, г): х= Юсова+В, у=/сз(п!р, г=й). 3 2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый вдоль ориентированной кривой В: 36. ~ (2 — у) дх+ хс(у, В=((х, у): х=1 — гйп1, у= — 1 — соз1, 0(1(2п), где кривая проходится при возрастании параметра. 37. 1 " + ", где Е, есть отрезок АВ, А=(0, 0) и В=(1, 1), ,! ! + х~р~ 38. ~ ( — хаут + хугау), В = ((х, у): х'+ уз =- г'), где окружность проходится в положительном направлении, 39. ~ удх — (у+ х') !(у, Š— дуга параболы у = 2х — х' от точки А = =-(2, 0) до точки  — — (О, 0).
40. ~ хИу+2уах, Š— контур, составленный линиями у=О, у=х, у=.- у'1 — х' с положительным направлением обхода. 41. ~(х+у)Ых — ху!(у, где  — дуга кривой хна+у!и= оп' от точки А=(0, а) до точки В=(а, 0). 42. ~х уЧх — х'уду, Е=((х, у);2(х+у)=-(х — у)'), от точки А= =-(О, 2) до точки В= — (2, 0). 322 43. )худ — х'Ну, В=((х, у):х' — 2х'у'-1-у'-.—.0) от точки А= =( — 1/4, — 1(8) до точки В=(0, 0). 44. ~ уЫу — 2хуЫх, где Š— часть кривой х"-, '2хз-т у'=-3 от точки А=( — 1, )'2) до точки В=(1, 0). 45.
~(у-1-л) дх+х соь уду, где  — часть кривой л 1и х — у+ +з(ну==О от точки А=(1, 0) до точки В==(е, л). 46. ~ хЧу — худ, где Š— часть кривой х' — у'=-бх'у от точки А =— =- ( — 4~/2; 4) до точки В=(О; О). 47. ~ хну — удх, где Š— часть кривой х(х — у)'+у=О от точки А=(0, 0) до точки В=(2(5; — 8!5). 48. ~ хау — удх, где  — петля кривой х4-)-у'=-а'(х'+у') с положительным направлением обхода.
У к а ванне. Положить у=х(. При вычислении соответствующего интеграла сделать замену г=1Н. 49. ~ худ — хау'Ну, где Ь вЂ” контур квадрата )х — у(+ )х+у) =1 с отрицательным направлением обхода. 50. ~ хгйх+ ахну — х'аг, где  — часть кривой аг — — ху, х+у+ -1-г=- а, ха О, у) 0 от точки А =(О, а, 0) до точки В(а, О, 0). 51. ~ угйх+ауйг — агру, где  — часть крпвой х'+у'= — г', у'+ + х'= ах, у в О, г ) 0 от точки А= (О, О, С) до точки В(а, О, а). 82. ~ х'уМх+г(у+гав(г, где Š— часть кривой х'+у'=г', г=-Н от точки (г, О.
Н) до точки ( — г, О, Н), проходящая через точку (О, г, Н). Для вычисления следующих интегралов удобно пользоваться формулами Грина и Стокса, замыкая, если нужно, кривую отрезком прямой. Все они могут быть вычислены н путем параметрнаации кривых, что полезно проделать для проверки, однако вычисления при атом, как правило, становятся существенно более громоздкими. 323 53.
~ (х' — у') Ых+ 2хус1у,  — контур треугольника с вершинами А.=(1, 1), В=(З, 1), С=(З, 3) с положительным направлением обхода. 54. ) хддх+2ху'с(д,  — контур треугольника с вершинами А= =(1, 0), В=(0, 1), С. —. (О, 0) с отрицательным направлением обхода. 55. ) (х — д)'~(х-)-(х+у)'ду,  — ломаная АВС, где А=(0, 0), В= =-(2, 2), С=(0, 1). 56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
