И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. й!"= =Рйх+Яйу+Вйг, то в силу свойства 4 ](В) — ](А) = ~ Рйх+Яйу-)-Айг=-= ~ й[, ла лв где АВ есть произвольная кусочно-гладкая кривая, лежащая в той области Р, где справедливо равенство й[ = Рйх+ ()йу+ Яйг (об условиях, при которых такое выражение является полным .дифференциалом, будет сказано ниже).
Фиксируя точку АенР, получаем значение !'(В) = ) й) +1(А) ла где  — произвольная точка рассматриваемой области Р. Так как ,равенство й]=Рйх+Яйу+!сйг определяет функцию ! с точностью до произвольного слагаемого, то значение )(А) выбирается произвольно. В качестве кривой АВ при решении задач этого типа берется ломаная, составленная из отрезков, параллельных осям координат.
Такой выбор обусловлен тем, что на таких отрезках (св. 9) все координаты, кроме одной, постоянны, следовательно, производные этих координат при любой параметризацин равны нулю и, как указано после свойства 5, криволинейный интеграл второго рода наиболее просто преобразуется в одномерный интеграл. П р и м е р .
Найдем функцию ): Яо — о-В, если оЧ = (у+ г) дх+ (г+ х) ду+ (х+ у) йг. Р е ш е н и е. Функции Р(х, у, г)=у+г, Я(х, у, г)=г+х, Я(х, д, г)=х+у непрерывны на всем пространстве яо, поэтому естественно считать равенство 4=(у+г)г(х+ (г+х)о(у+ (х+у)о(г заданным всюду в Яо, Возьмем произвольную точку В с координатами (хо, уо, го). Положим А =- (О 0 0) М = (хо О, 0), й( = (хо уо 0), тогда АМ = ((х, у, г): х = х, у = О, г =- О, х е= ]О, хо]), М)о' =- ((х, у, г): х =. хо, у =- у, г = — О, у ~ (О, уо]), )У — ((х у г): х = хо у = уо г = г, г ен (О, го]). Отсюда получаем, что ((х„уо, го)=)(В)= ) ф+((А)= ~ (у+г)о(х+ лв АМ +(г+ х) г(у+ (х+у) йг+ ~ (у+ г) о(х+(г+х) йу+(х-)-у) дг+ + ~ (у+г) и'х+(г+х)о(д+(х-р д) о(г+((А) = х„ о, = ~ Очх + ~ хоо(у + ~ (х, + у,) дг = х,у, -)- х,г, + у,г„+ ( (А).
о о о В силу произвольности точки В(х„у,, г,) и того факта, что функ- ция ) определяется с точностью до константы, заключаем, что ((х, д, г) =ху+ хг+ дг+ С, Подчсркнем, что в этом параграфе не решается вопрос, будет выражение Ро(х+Яг(у+Во(г полным дифференциалом некоторой функции );Л'- Я или нет. В задачах этого типа подразумевает- 28г *ся, что условие 4=Ро(х+Ял(у+Во(г верно для всех точек, в ко- торых непрерывны все три функцпи Р, Я, И. П р и м е р.
Найдем функцию ) ! Яз- Р, если « /«Зу! УЗ Щ = — — о(х+ ~ — + — ) З(у — — З(г. ук УЗ ЗЗ «З Решение. Функции « «' И уз Р(х, у, г)=- — —, 0(х, у, г)=- — + —, Н (х, у, г) = —— уз у! « определены и непрерывны, если УФО и г~О. Поэтому и функция 1(В) определяется для точек В(х, у, г) при условии, что УФО и гФО. Примем для определенности, что у>0 и г(0. Чтобы кусоч- но-гладкая кривая АВ не пересекала плоскостей У=О и г=О, не- обходимо начальную точку А также взять в области В=((х, у, г): :у>0, г(0).
Положим А=(0, 1, — 1), тогда для любой точки В=(хо, Уо, го), Уо>0, го(0, ломанаЯ АМЗУВ, где М=(0, 1, г,), )и"= =(О, уо, го), не пересекает плоскостей У=О и г=О. Так как АМ = ((х, у, г): х = О, у = 1, г = г, г ~ [ — 1, го[), МЗЗ=((к, у, г):«=0, у=-у а=го у!=.[1 уо)) Л!В = ((х, у, г): х = х, у = уо г = го* х !=в [О, х,]), то к УЗ КЗ ~ ~[= ~ — ' (г, ~ Л[=~ — ",,(у, ~ ([ =~ — ',(х. лм — ! мм ! мв о Зо Следовательно, 1(хо Уо, го) = [ (В) = ~(А) + ~ 4 = [ (А) + ~ 4 + ~ з() + ~ З([ = зв АЛ! Л!М МВ к, и. =! (А)+ [ — З(г+ ( — "-;- З(у+ !:2З(х= — ! ! о г 2 ! Уо ! «о и, «о = !'(А)+ + - !'(А) — — + — ' "о ' 24 2«о 2уо 22о 22Уоо у' «' Отсюда следует, что 1= — — — — +С, где С вЂ” произвольная пос- 2«З 2УЗ тоянная. Таким же образом находится по своему дифференциалу функция любого числа переменных.
Если 1 — брус в Яо и в! имеем равенство 4= Ха!(х)о(хь а,; Я" — Я, 1(! (п, 2ВВ то для любых двух точек А = (д„уо, ..., У„) ~! и В = (х„х„..., х„) ен ( имеем равенство «к Г(х„х„...,х„)=)'(В)=г(А)+~ а,((„до,..., У„)с(с,+ « + ~ а, (хо Т„д„..., у„) с(со +... + ) а; (х,, хо, ос «к «о (ь Ус+и „,, у„) сдс+ ... + ~ а„(х„х„..., х„ь с„) Л„. Пример. Найдем функцию т: Ко-+ сс, если 4 = (2хс хо+ х) с(х, + (хо1 — 2хх) с(хо+ (2хох, — х) с(хо+ + (х,' — 2х,х,) ссхс + (2х,х, — хо) с(х .
Р е ш е н и е. Положив А=(0, О, О, О, 0), получаем, что «~ «к с (х„х, х„х,, х,) = с (А) + ) 0 с(Т, + ) хоссто— о о к, к, «а ) х~с(с + ~ хо сдо+ ~ (2хА — хо) с(с о о о = с (А)+хсхо — хохо+ х~х4+хсх~ — хсхо. Отсюда следует, что (х! х«хо) хс хо хкхо + хохо + хсх«х«хо + С й 3*. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный в этом параграфе, рассмотрен в $4 в терминологии дифференциальных форм. Читателю полезно сравнить определения, основные свойства рассматраваемых понятий и ход решения примеров. Определение. Пусть в некоторой области Р~ссо заданы непрерывное векторное поле А=(Р(х, д, г), Я(х, У, г), В(х У г)) и ориентированная кусочно-гладкая поверхность (5, М).
Тогда интеграл ~~ (А. а) с(В 289 называется поверхностным интегралом второго рода и обознача- ется символом ДР(.Л (у+а(уЛ .+И ЛУ. Поясним происхождение символа ~ ~ Рг(х /~ г(у+ Яду )( г(г+ Иг/~ /~ г(х. Если 5 — простая гладкая поверхность, т. е. 8=((х, у,г):х=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о), (и, о) ~ 1)) г=(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) с С'(Р), (г„х г,) ~0„(и, о) еи Б »;х'.! ) то Р (А п)= " ' =- х„' (А ° г„' г,) ! (»„Х»,! ! ~ » Р(у, г) Р(г =( 0(и, ») 0(и 1 )((г'„Х г»! ! уи и у»» х) Р (х, у) 1 ") 0 (" ") У Отсюда в силу свойств поверхностного интеграла первого рода получаем соотношение Д~(А и) дс Я~р 0(у,г], () 0(г, х) + г» Р(х, ч) !(г» г»)! ('( ) Р(у, г) + ) 0(г, х) + !(г'„Хг,')! .).) ! 0(и, ») 0(и. ») + 0(х, у) 0(и, ») Д~ Р Ыо Д Рг(уг(г о о перенося формально это соотношение на отображение г=(х(и, о), у(и, о), г(и, о)), 290 Для регулярного отображения ~р: 0-»-6, (и, о)-»-(у(и, о), г(и, о) ), имеем равенство в подынтегральном выражении поверхностного интеграла второго рода заменяем Р д' с(ис(о на Рс(дйг.
Остается еще обра- Р(д, «) Р(и, и) Р(д, г) тить внимание на то, что знак слагаемого Р— У' с(исЬ меня- Р (и, с) ется при перестановке местами функций д(и, и) и г(и, о). Поэтому вместо знака обычного умножения, как в кратном интеграле, между дифференциалами йд и с(а ставится знак «внешнего умножения» Л, удовлетворяющий условию а/с()= — ))/~а. Таким же рассуждением приходим к записи выражения [ ".' с1 ' + Р ' ~) ~ с(ис(п как Яс(г /( с(т-'йс(х/) с(д.
Р(и, и) Р(сс, и) Поскольку запись подынтегрального выражения в виде 1сс(хД /с,с(д+Рс(дРсс(а+()с(з/с,с(х уже определяет, что рассматривается поверхностный интеграл второго рода, то, чтобы не усложнять запись символа, вместо (5, Лс) пишется просто 5. Указание ориентации поверхности 5 входит обязательным условием в задание поверхностного интеграла второго рода. Заметим, что скалярное произведение (А и) при данных условиях является кусочно-непрерывной и ограниченной функцией, определенной на 5, за исключением, может быть, конечного множества кусочно-гладких кривых, лежащих на 5, поэтому интеграл ) ) (А и) с15 = ) ~ Р ад /) с(г + с~ с(г Д с(х -и сс с(х /) с(д 5 5 имеет смысл.
Если поле А=(Р, с',), 11) интерпретировать как поле скоростей гечения жидкости, то величина поверхностного интеграла второго )сода Ц Рс(д Л с(г+Яс(г Д с(х+ййх 1сс с(д= ) ~ (А и) с(5 представляет количество жидкости, протекшей за единицу времени через поверхность 5 (поток поля) в направлении нормали и.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода (всюду предполагаем, что функции Р(х, д, з), 1с(х, д, г), Я(х, д, г) непрерывны в некоторой области с'.)~Ф, содержащей поверхность 5). 1. Если 5=(5, Лс) и 5=(5, — 1сг) обозначают одну поверхность с противоположными ориентациями, то ~~ Р с(х /) с(д+ Р с(д /( с(а+ Я с(г /') с(х ..= = — ~ ~ )с с1х /( с(д -1- Р с(д /( с(г + Я с(г /( с1х (направленность интеграла). 2.
') ') (асс~+ [Ях) с(х Л с(у + (а Р, + [)Рэ) ссу Л с(г + +(аЯ,+К,)с(г Л с(х=-а ~~ /ссс(х Л с(у+Р,с(д Л с(г+с,)„с(г Л с(х+ + [) ~ ~ Р, с(х Л с(у+ Р, с(у Л с(г+ с',), с(г Л с(х, где а и р — постоянные (линейность интеграла). 3. Если 5=51()5г, поверхности 5с и 5г не имеют общих внутренних точек и их ориентации согласованы, то ~~Ру Л/д+Р(дЛ/г+~( Лй =7р( Л (д+ 'а 3[ + Р с(у Л с(г-(-асс(г Л с(х+ ~~ /( с(х Л с/у+ Р с(/ Л с(г+ () с(г Л с(х з~ (аддитивность интеграла).
4. Если 5=((х, у, г): х=х(и, о), у= у(и, о), г=г(и, о), (и, о) сна, область 0с:Рг жорданова, отображение г=(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) си С'(0), [г,')сг„') ~ О, [с„'Х с„') для любых (и, о)ен0 и й/=- и: п= ", ",, то ) р„'хс,')) ~/сс(х Л с(у+Рс(д Л с(г+Яс/г Л с/х=- =- Д [/с(х(и, и), у(и, о), г(и, о)) ' ~) +Р(х(и, о), у(и, о), 0 (и, и) о г(и, о)) ю +я(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) ' ) |с(ис)о. 0(и, сс) 0(и, о)) Следствие. Для гладкой цилиндрической поверхности 5 с образующими, параллельными оси Ог, единичный вектор нормали н точке з=(х, д, г) а=5 есть л(х, у, г) =(соз а(х, у), соз [)(х, у), 0). Поэтому независимо от выбора ориентации 5 справедливо равенство ')') сс с(х Л с(д= ') ~ (А л)сс5 = О, так как А = (О, О, гс).
292 Точно так же для гладких цилиндрических поверхностей 5, и Зг с образующими, параллельными соответственно оси ОХ и оси О]', справедливы равенства '!'] Рйу Л Ыг=О, ']'](~йг Д Их= — О. 8„ тн С л е д с т в и е. Если поверхность 5 задана явной функцией г=г(х, у), т. е. Я=(г: г(х, у)=(х, у, г (х, у)), (х, д) яЦ, г=г(х, у) еи С'ф), ]~.'х~„'] то, как было сказано выше, поля М= п: л= ',," и ]т'= ][г„хг„]! ]~„'х .'! = и; и = ", ', задают соответственно верхнюю и нижнюю ](Г„хl„! ! сторону поверхности 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
