И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Определен не. Если А=-(Р, Я, Я) — векторное поле, задан- дР до дй нее в области 1г, то скаляр — + — + — называется дивергендх ду дг цией поля Л и обозначается ь()у А. О и р е д е л е н и е. Если А =(Р, Я, Л) — векторное поле, заданное в области й, то вектор Е ) й д д д дх ду дг Р Я называется ротором (вихрем) поля А и обозначается го1 А.
О п р е д ел е н и е. Векторное поле А, заданное в области 0~ с:кз, называется потенциальным в й, если существует функция и: Р-~.й — потенциал поля А, такая, что ага~и= ) ди ди дч ) А дх' ду' дх О в р ед е л е н и е. Векторное поле А, заданное в области йс: с:Рз, называется соленоидальиым, если в области 0 существует векторное поле Яг (называемое векторным потенциалом поля А), такое, что го( 07=А. Как указывалось выше, для силового поля Л=(Р, Я, Р) интеграл )Рг(х+Яг(у+юг(г представляет работу этой силы при перед мещении по ориентированной кривой (,. Принято называть интеграл )Рйх+Цпу+)('пг работой поля А=(Р, Я, )х) вдоль кривой Ь для любого векторного поля, безотносительно к его физической. характеристике.
Если кривая (. является контуром, то этот интеграл обычно называют циркуляцией поля вдоль контура Ь в данном направлении. Точно так же безотносительно к физической характеристике поля А=(Р, Я, Р) интеграл ~~Р(рЛ (а+Я~.Л (х+И (хЛ (у принято называть потоком поля А через ориентированную поверхность 5 в данном направлении. О п р ед ел е н и е. Кривая Ь называется векторной линией поля А, если в каждой точке МенЬ вектор поля касателсн к Л. Из определения следует, что векторными линиями поля А= =(Р, Я, Л) являются интегральные кривые системы уравнений дх ду .дх е й' Определен не.
Область, ограниченная поверхностью 5, называется векторной трубкой поля А, если в каждой точке Мен5 вектор поля ортогонален вектору я — нормали к 5. Из определения следует, что поток ) ) (А п) г(5 поля А через поверхность 5 векторной трубки равен нулю. 302 в В; 4) ориентация поверхности (5, У) согласована с ориентацией контура (Л, Т). Тогда ~Р х+() (у+Юг=Я~( —" — д') бу/~а + + ( — — — г(г Д г(х+ ( — — — ) г(х Д г)у. ! дл дгг ~ Г дО дР ~ ~ дг дх) ~дх ду) Используя формулу связи поверхностных интегралов первого и второго рода, правую часть формулы Стокса записывают в виде Я ~ ~ — — — ) соз сс+ ( — — — ) соз р+ +( — — — ) сегудо г/5, где сова, соз р, сов т — координаты единичного вектора л~йг. Коротко подынтегральная функция в этом интеграле записывается в виде созсг созр соз"г' д д д дх ду дг Р Я )с В терминах векторного анализа формула Стокса выглядит так: Пусть область В~Юг, ориентированный контур (Е, Т) и ориентированная поверхность (5, й) удовлетворяют сформулированным выше условиям.
Тогда циркуляция вдоль контура В векторного поля А, заданного в В, равна потоку го1А через поверхность 5: (А г) г)з = ') ') (го( А л) г(5. 3 Формулы Грина можно рассматривать как формулу Стокса для плоского векторного поля (Р, Я, 0). Т с о р е м а (формула Остроградского — Гаусса) . Пусть область В лежит в Рг1 граница дВ области В состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей; функции Р, Я, Я~С'(В). Тогда ~ Рг)у /~ г(г+ЯНг /~ г(х+ггг(х /~ г(у= ао =Я ~ — + — + — ) г(хг(уг(г, 304 где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности. В терминах векторного анализа формула Остроградского— Гаусса выглядит так: Пусть область О удовлетворяет сформулированному выше условию.
Тогда поток векторнога поля А через поверхность дР в сторону внешней нормали п равен интегралу от б(уА по Р: ) (А и)с(5= ') ) ~с(1уАс~хс(ус(г. а 'Ь' Оп р ед е л е н н е. Область Рс:Л' называется односвязной, если для любого контура Рс:О область Оьс:Я', ограниченная 1„ целиком лежит в О. Т е о р е м а. Пусть область Рс:Р' односвязна и функции Р, дЯ дР Я~С'(О). Тогда условие — = —, (х, у) ~ Р необходимо и додх ду статочно для существования функции иснС'(0), такой, что ди= =Рс(х+(;Яд.
Пусть область Ос/~а такова, что любой контур (.с с:Р можно непрерывно стянуть в точку, не выходя из области О, дй дч дР дЛ и функции Р, О, Я~С'(О). Тогда условия ду дх дг дх дЦ дР— — необходимо и достаточно для существования функдх ду ции иенС'(О), такой, что с(и=Рих+ Ос(у+Ма. В терминах векторного анализа зта теорема выглядит так: Пусть область ОсРсз (Осйз) такова, что любой контур Ьс0 непрерывно стягивается в точку, не выходя из Р. Тогда гладкое векторное поле, заданное в О, потенциально тогда и только тогда, когда го(А=О всюду в Р.
Необходимость условия теоремы есть просто условие равенства смешанных производных второго порядка функции иен яСз(0). Чтобы проанализировать достаточность условий теоремы, рассмотрим выражение " " " ". В области 0=)(х, у): — х'+у'(4и'~ х~ + у~ ( 4 (а «О) функции Р(х, у)= У и Я(х, у)= бесконечно хй + уй х~+ у| гладкие и удовлетворяют равенству дР— х'+ ух дЯ ду (х'+ уэ)~ дх Условием существования в области Р функции иенС'(О), для которой с(и=Рс(х+~с(у= х ду — удх является равенство нулю х~+ у~ интеграла ~ Р с(х+ ~ с(у = ~ по любому замкнутому хну — у ах х~+ у~ контуру Е.с:О. Покажем, что зто условие не выполняется.
Действительно, пусть Π— окружность радиусом а с положительным 305 направлением обхода Ь=((х, у):х=а соя Г, у=а з1п/, (ен(0, 2л)). 2я 'Тогда 1,г:В и хна — д йх г а~ сьяма 1+ 0~ 5!пйГ аГ = 2п. Итак, х' + у~ ца 1. о х Ыу — у к.т функции иенС'(т)), удовлетворяющей условию да= хз+ у~ не существует. Такой результат получился потому, что область аь 0= ~(х, у): — (х'+у'-(4а'~ 4 не является односвязной. Если же рассматривать односвязную область 0=((х, у):хе+у'(4ая), то нарушается условие гладкости функций Р(х, у) и Я(х, у). Могкно показать, что при любом доопределении этих функций в точке (О, 0) получаются разрывные в этой точке функции. Естественная область применения формул Грина и Остроградского — Гаусса — это вычисление интегралов второго рода по контурам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве.
Но иногда, особенно в пространстве, вычисление интеграла второго рода по незамкнутой кривой или поверхности упрощается, если замкнуть эту кривую или поверхность н вычислять данный интеграл как разность соответствующих интегралов по замкнутой кривой или поверхности и по замыкающему множеству. В качестве замыкающего множества обычно берутся отрезки прямых или части плоскостей, параллельных координатным, поскольку по таким множествам интеграл второго рода вычисляется наиболее просто. В частности, этот метод дает возможность заменить достаточно сложную процедуру ориентации кусочно- гладкой поверхности путем согласования ориентаций ее гладких составляющих более простым выбором внутренней или внешней стороны замкнутой поверхности.
П р и м е р. Вычислим указанным способом интеграл ~ ~ у аг /~ йх — х' бу /~ дг+ г' Их /~ ду, где 5 — часть поверхности тела 1'=((х, у, г): 2х'+2у'(аг(х'+у'+а') (а~О), удовлетворяющая условию у~О, и вектор нормали, определяющий ориентацию 5, в точке М=(О, а/2, ба/4) образует острый угол с осью ОЯ. Р е ш ен не. Замкнем поверхность 5 частью плоскости у=О. Тогда полученная поверхность 5 будет границей тела: Р=((х, у, г):у>0, 2х'+2уз(аг<х'+у'+а').
Точка М=(0, а/2, ба/4) лежит на верхней границе тела г', и нормаль в этой точке направлена вверх, следовательно, интеграл берется по внешней стороне по- 366 верхности ду. Часть плоскости у=О, входящая в дУ, есть поверх- ность Ят= (г: г(х, г) =(х, О, г), (х, г) е= О), 10=((х, г): 2х'(аг~х'+а'). Внешняя по отношению к телу Р нормаль а на 5~ направлена противоположно оси ОУ. Так как в данном случае г'=(1, О, 0), г,'=(О, О, 1), (г,'хг,') =(О, — 1, О), то п=(г„'хг,').
Так как плоскость у=О параллельна как оси ОХ, так и оси 07, то в силу следствия 1 свойства 4 поверхностных интегралов второго рода имеем ~ ~ у' дг /~ Их — х' г(у /~ дг+ г' г(х Р, ду == ~ ~ у' дг /~ Ых = 5, Б1 =~~ 0 агах=-.О. о (Так что определение ориентации здесь оказалось ненужным.) В силу полученного равенства и аддитивности интеграла имеем, что ~~ у'Дг /~ дх — х'г(у Д г(г+г'г(х /1 ду= ') ~ у'аг /~ дх— — х' Ну /~ дг+ г'дх /1 Ну. Так как Р=((х, у, г): 2х'-(-2у'~~ аг(х'+у'-1-а', (х, у) яд), О=((х, у): ха+у' -а', у 0), то, применяя к последнему интегралу формулу Остроградского— Гаусса, окончательно получаем, что ~у'дг /1 дх — х'ду /1 Иг+г'Их Л дд= мхаз+м О =Я(2у — 2х+2г)ахдудг=2 Ядхау ) (у — х+г)дг.=.. У о 2к~+2уа а 2 гг — ~ ~а(д — х)(а' — х' — у')+ + — (Зх'+ Зу'+а') (а' — х' — у') ~ г(х г(у = 2 307 ч а 2 с ~'Г 1 = — ~ д(Ч« ~ ~(а«г' — аг')( — созе«+з!пр)+ — (а'г+2а'г' — Зг'фг =- 2 о о =а'~ — + — ~, П р и м ер.
Найдем поток вектора А=хЧ+уз)+азу через а) боковую поверхность конуса К=((х, у, г): Н'(х'-~-у')(И', 0(г(Н) (й'>0) (в сторону внешнем нормали); б) через полную поверхность этого конуса (в сторону внешней нормали). Р еш ен не. Начнем с п. б).
В силу формулы Остроградского — Гаусса поток вектора А через полную границу оК конуса К есть Я (А и) 2Я = Я б(ч А д(х Иу д(г = дк к и =Я Их г)у ~ (Зх'+ Зу'+ Зз«) д)г =- «*+м~а* зл и и и = 3 ~ г(«р ~ г Й ~ (г'+ х') бг = бп ~ ~ г' ( Н вЂ” — ) + о е и« о Я вЂ” (Н« — — ~) ~ д)г=2п ~ ~ ЗНгз — г« ~ — -~- — )-1-гН«~ д(г= о =2п1 — НК4 (ЗН~«-) НЧ~«) 1 Нзйз1= ()(«+2Н«). с 4 5 2 1 10 Перейдем к п. а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
