И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 38
Текст из файла (страница 38)
я и р) й = ~ ( — ае соз и + а, яп а) Нз = ') а, оу — а, дх. Е Е Прим ер. Пусть 0 — односвязиая область в )с', кусочно-гладкий контур Г лежит в 0 и (е=Сз(0). Преобразуем в двойной ин- П д) теграл криволинейный интеграл ~ — лз, где л — вектор внешдл ней нормали к контуру 1„ Р е шеи и е, Не ограничивая общности, можно считать вектор и единичным, тогда п=(сокр, япЯ и — = — соз()+ — з1п(). д) д) д/ дл дх ду Применяя полученное выше равенство, получаем в силу формулы Грина, что — сЬ = ~ ~ — соз р+ — яп () ~ пз = д) пг д) д) дл ~ , дх ду где йь — область, ограниченная контуром 1..
П р и м е р. Вычислим интеграл Гаусса СО5 (I, л) и (хм уо) = ~ пз, И где (.— простой гладкий контур в л', г=(х — хм у — р,) — вектор из точки Ме=(х„у,), не лежащей на У., в точку М=(х, у) контура 1 и п — вектор внешней нормали к й. 273 Р е ш е н и е, Не ограничивая общности, можно считать, что ха=О, уа — — 0 и и=(соз б, яп Я вЂ” единичный вектор. Тогда соз (г, и) = И и в силу полученного выше равенства ев (г, а) П хаааа ~ уния Г хау — уах да =- да=~- х+ ° "=~ .*+ ° с Дифференциальная 1-форма где С,+ — окружность ха+у'=а' (а)0) с положительным направлением обхода. Если начало координат лежит вне области О, ограниченной ,контуром (., то в О форма м гладкая и, следовательно, применима формула Грина, в силу которой имеем, что = — ~ ы = Я йз = О.
Если же начало координат лежит внутри области О, ограниченной контуром (., то возьмем область О„границей которой дО, является контур О и окружность С,:х'+у'=а'. Число а>0 берется достаточно малым, чтобы окружность С, лежала внутри О. Область О„лежит слева от контура О при положительном его обходе и слева от окружности С, при отрицательном ее обходе. Обозначим через С,4. окружность С, с положительным направлением обхода и через С, — с отрицательным. В области О, форма ы — гладкая, следовательно, применима формула Грина, в силу которой имеем, что ~ м + ~ м = ~ ез = ~ ~ ды = О. С и'а ~а а Отсюда получаем, что ~ о= — ') м= )Ъ=2п. с с+ а а Итак, интеграл Гаусса и(ха, уе) равен нулю для любой точки Л=(хц, у4), лежащей вне области, ограниченной контуром 7, и 274 с.
252. Эта форма замкнута в чала координат, и хау — у ах с+ с~ а а хау — у0х (а = рассматривалась на ха а уа любой области, не содержащей на- равен 2л для любой точки М=(хм уз), лежащей внутри этой области. Область применения формулы Стокса — это вычисление криволинейных интегралов второго рода ) ы, когда кривая /. задана как пересечение двух поверхностей /.: г, (х, у, г) =О, У,(х, у, г) = =О. Во-первых, при таком условии уже определена поверхность, натянутая на Е; во-вторых, переход к параметрическому заданию Е и нахождение соответствующего сужения ф*ы подынтегральной формы в требует нетривиальных преобразований.
П р и м е р. Найдем циркуляцию вектора А=(х(у+г), у(х+г)„ г(х+У)) вдоль кривой /.:(х'+уз+аз=2/сх, хз+у'=2гх, г)0 (0<" - Я)), положительно ориентированной на внешней стороне сферы х'+у'+г'= 2Ях, Р еш еи не. Кривая Р лежит как на сфере х'+у'+ха=2/сх, так и на цилиндре х'+у'=2гх, но условиям применения формуль1 Стокса удовлетворяет только часть сферы, поскольку она является гладкой поверхностью, натянутой на Е. (см. с. 223). Следовательно, ~ А~(х+А„йу+ А, Нг= ~ х(у+г) Их+у(х (-г) г(уосг(х+у) дг= = ~ ~ д (х (у+ г) с(х+ у (х+ г) йу+ г (х + у) Дг) =-. =~~(г — У) ~(у Л (г+(х — г)(г /(дх+(у — х) с(х/~ ду, 5 где 5 есть часть внешней стороны верхней полусферы ха+уз+ +г'=2)тх, г~ О, лежащая внутри цилиндра хг-)-уг=2гх, Поскольку на верхней полусфере внешняя сторона является одновременно верхней стороной, то, выразив явно зависимость г от х и у, получаем запись ориентированной поверхности 5: 5= ((х, у, г): х=х, у=у, г=)Г2хА' — хз — у'-', (х, у) АР, Р=Их, у): х'+у'(2гх)( Находим соответствующий перенос ф*а подынтегральной формы ы: ()7 — х) Нх — у Ну Я вЂ” х) Нх — у ау $/2Дх — х~ — у~ г Й вЂ” х Д ф'ы=(г — у) ду /~ дх — (х — г) — йу /) дх+ ,2 г + (у — х) ьх Д Иу = ( — ' — )с ( Йх /~ г(у, ( у)7, 275 'Следовательно, ~ гг = Я (г — у) йд /~ йг+ (х-.
г) йг /~ йх + (у — х) йх /~ йу = = Д ( у — й) йх /~ йд= Д ( —" — й ) йх йу. В о Так как 0 симметрична относительно оси ОХ, а функция ) (к, у, г)= — нечетна относительно у, то ~~ — йх йд = О уя .угг ~г уя г Т/2йх — хг — уг га следовательно, А„йх+А„йу+А,йг= — К)В( = — лЯгг.
П р и м е р. Применяя формулу Стокса, вычислим интеграл гйх+2хйу — уйг, где А  — кривая А В хг+уг=-2ах, аг= — ху, г ВО, А=-(0, О, 0),  — --(2а, О, О) (а >0). Решение. Так как отрезок ВА оси ОХ лежит на поверхноггти параболоида аг=ху, то, объединяя его с кривой АВ, получим замкнутый контур 1., лежащий на поверхности аг=ху. Об. код полученного контура положителен, если рассматривать его на нижней стороне параболоида. Итак, натянутая на контур Ь часть параболоида с согласованной ориентацией есть В= ~(х, у, г): х=х, у=у, г=- У, (у, х) ~о, 0= =((х, у): хг+уг(2ах, у)0)(, Перенос Ч~*гз подынтегральной формы ю=г йх+ 2кйу — уйг иа отрезок ВА в силу того, что г=0, йу=О и йг=О, дает нулевую форму, следовательно, ') гйх+2хйу — уйг= ) гйх+2хйу — уйг= ) ег. А В Е й Применяя формулу Стокса, получаем, что ') ге= ') ) сЬ = ') ') йг Д йх+ 2йк Д йу — йу Д йг. Находим соответствуюгций перенос !р*ы подынтегрзльной формы ы=йг/~ йх+2йх /) йу — йу Л йг, йг= — (хйу+уйх), 1 а ыр "и = — х йу /) йх + 2'с(х /) йу — — у йу /1 йх = 1 1 а а = — (х — у — 2а) йу /'1 йх; 1 а ~ йг /! йх -)- 2йх /1 йу — йу /! йг = — ~~ (х — у — 2а) йу /1 йх = 1 а ам 2асоыт 1 гг = — ~~ (х — у — 2а) йуйх= — ~ йгг ~ г'(сов~2 — яп !р) йг — а'и= а а а ы а12 = — ~ (соз~<р — япфсоз р) йч: — азя= 3 заы 1 Г [512) Г (1/2) а'и = 2аы 2аы 3 2 з ааы а и=- — — а —— 3 2 — — + —— 3 3 2 2 Пример.
Проверим, что дифференциальная 1-форма йы=йу /'1 йх( — япу+созх)+йх /! йу(созх — япу)=0, функцию /(х, у) находим по уже рассмотренному правилу (см. с. 254): ы. 7 (х„у,) = 1" (О, 0) + ~ йх+ ( (яп х„— х, яп у) йу = о о = хо+ уо яп хо + хы соз уы хо уы 3!и хо + хо соз уы откуда /(х, у)=уз!пх+хсозу+С, где С вЂ” произвольная постоянная.
ы=(созу+усозх)йх+(з)пх — хяпу) йу точна и найдем функцию /(х, у), для которой й/=ы. )а еш ение. Так как форма го=(созу+усозх)йх+(з)пх— — х з)п у) йу является гладкой на всей плоскости /сз, то необходимым и достаточным условием ее точности является ее замкнуггость, т. е. справедливость равенства йы=О. Действительно, П р и и е р.
Проверим, что векторное поле А= (7/г+ —,", '1/х+, ~/у+ ' ) ! !г д д ду дх ~/х+ — ' )/у+ 2 (/у 2 1/х д дх го1А= 1/ г+— 2 1/х Поэтому существует функция и(х, у, г), такая, что нгаб и=А, т. е. Ни=( Р/г+ " ) с(х+ ~'1/х+ ' ) йр+()ху+=) Иг, Функцию и находим, пользуясь рассмотренным выше правилом: хэ и(х„у„г„)е и(1, 1, 1)+~ ~1 + — '~ Дх+ 2 х! 1 + ~ ( ')/ х, + ) йу+ ~ ( '1/у„+ — ' ) дг = 1 1 = хо — 1 + 1/ х, — 1+ р„р/хх — '1/ х, + РĄ— 1+ г, ~рх — 1/ о,, + +х„~/г„— ха+и(1, 1, 1)= — у„')/хо+г„')/у~+хфгх— — 3+и(1, 1, 1).
Итак, потенциалом поля А является функция и(х, у, г)=х 1/г+ +г 1/У+у'Р/х+С, где С вЂ” произвольная постоянная. а 2*. кРиВОлиненныи интеГРАл ВТОРОГО РОДА Еще раз обратим внимание па то, что материал, изложенный в этом параграфе, рассмотрен в 2 3 в терминологии дифференциальных форм. Читателю полезно сравнить определения, основные свойства рассматриваемых понятий н ход решения примеров. 278 потенциально в первом октанте (х>0, у>0, г>0) и найдем его. потенциал. Р е ш е н и е. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является выполнение равенства го1А=О.
Действительно. Определение. Пусть в некоторой области Рс:.йа заданы непрерывное векторное поле А=(Р, Я, й) и ориентированная кусочна-гладкая кривая АВ=(Р, Т) *. Тогда интеграл (А т) й ~ ~ (А т) й) А В называется криволинейным интегралом второго рода и обознача- ется символом Р с(х+ Я ду+ й с(г ( ~ Р йх + сг с(у+ й йг) А В Поясним происхождение символа ) Рс(х+Яду+йс(г. Вектор т для простой гладкой кривой Т.-(х(1), у(5), г(()) имеет координаты где з — длина дуги Т., следовательно, (А )= Р— +Е +й —— ол Ар да Д5 о5 а5 н формальное преобразование выражения (А т)с(з дает следуюхцее соотношение: (А т) с(5 = ( Р— ' + Я вЂ”" + й — 5 ) с(з = Р с(х+ ь7 5(у+ й гтг.
Иа оа сЬ/ Заметим, что скалярное произведение (А т) при данных условиях является кусочно-непрерывной и ограниченной функцией, определенной на 5., за исключением, может быть, конечного множества точек, поэтому интеграл ~ Рг(х+сгоу+йдг=~ (А т)с(з имеет смысл. Если поле А=(Р, Я, й) интерпретировать как силовое поле, то :криволинейный интеграл второго рода ~ Р г(х+ Ясту+й сгг = = )(А т) стз представляет работу этого ноля при перемещении по ориентированной кривой (Р, Т). ' Поле Ф' есть поле елнвнчных касательных векторов т, согласованных с орнентаннеа с (см. с. 220).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
