И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2 дитивиость интеграла. 12. Указание. Использовать критерий Лебега и провести рассуждение, аналогичное решению задачи 1О. 13. Указание. Применить теоре- мУ об оценке интегРата. 14, а) ПУсть х„ч — — хп р ч и и = и'ах (пы пз) + !.
Умножая равенство р 1 — + = — + „2"т~ 2 * „2"+~ на д, 2", полУчим, что отношение 4,/дэ есть целое число, а УмножаЯ это Равенство на пз 2", получим, что отношение дз/4~ — целое число. Следовательно, 350 ус5 уз=д. Умножая равенство (*) на У 2", получим равенство р У 2л "' + + 2" —" — с — р»42л "* ! 2л —" — ! Если п,тпо, то одна из частей этого равенства четное чис.ю. а другая — иене~нос, «~о невозможно Итак, л,=ло. При д,й уо и л, =л, из равенства (») следует, что р, =-рь б) Из посзРоенил следУет, что 0 < х„ р < 1, 0 < Уп р а < 1, и оы М, РсНМ, уыМ, т. е.
Ес/. Если ха~ [О, Ц не входит в множество (х„ры), л енМ, рыб(, у си М, то вса веР~икаль к=хо не пеРесекаетсЯ с Е; если же хо —— = х„„а, зо в силу однозначности определения чисел ло, ра, да (п. а) на прямой х=х, лежит единственная точка из Е, координата уо которой равна У„„Для доказательства того, что любая горизонталь пересекается с Е не более чем в одной точке, надо показать, что из равенства Ул,,р„а, =- Ул„р»,оо следуют равенства п,=ль р,=рь у,=а/о, т. е. у„р а однозначно определяет ро тройку чисел ла, ро, да Действительно, если у„р а — — у„, то га + Рг = г +, +6, гдс б принимает одно из значений О, 1, — 1, и, сле- )' 2 - 2"' 1 донате.оьно, число = ~ — — л ~ рационально, что возможно тольно тог- )/ 2 ~ 2"* 2л* да, когда — — = О, а из этого Равенства в силУ нечетности Ро и Рс сле2л„2л, дует, чзо п,=ло, р~=уь Тогда г =- га з б, а так как 0(г„(! и О(г (1, то г =- г .
Осталось показать, что в любом прямоугольнике 6=[а, [)]Х ао' Х [у, 6] ~/ найдется по крайней мере одна точка множества Е. Действитель- но, если 1,:2"»(([) — и!/8, то сгасйдется такое роев/Ио, что а(ро/2л»((ра+ + 1) /хс'([). Таи как Ро/2гч(Р,/2"»+ 1/4 2"'г' ( (Ро+ 1) /2"' дзк всех д~ Л4, то х„о —. !а, б). Далее обозначим через (1, 6)' интервал (у — ро/2ло, 6 — Ро,'2"'), если У вЂ” Ра/2п':- О, и интеРвал (У вЂ” Ро/2"'+ 1, 6 Ро/2 ' + 1) в противном случае, тогда (у, б)»П(0, Цм=/с! н найдется рациональная точка го, он(У, 6)'П(О, !).
Тогда У„р а ен [Т, 6] (пРовеРить!) и, следовательно, точка в) Немедленно оледует из утверждения б). 15. Указание Графически изобразить /(хо, У) и /(х, уо), 18. Например, функция /(х, У) определенная в квадрате [О, ЦХ[0, Ц, равнан нулю, если оба аргумевта х и у рациональны, и равная 1, если хотя бы один из аргументов— иррациональное число. 18. Например, /3,— — [(х, у): 1/4<х'+уз<4), Т/г=((!, з); 1/2<!<2, — л< <з<3л), й; х.=С сов 3, у=! з/!и т. 20. О. 21. 4/9 22, Указание. Пронерить, что [(х, у)о Я(Е,) для любого Е»= (1/2", ЦХ (1/2", Ц, ланМ, и 1йл ! [ !/ (х, у)(нхХ л ол Хс/уа — — оо, 23. а) Так как Е, — простая гладкая кривая, то г»(!) = =(х»(!), У»(!), г»(!)) и х,(С)снС'[О, Ц, у»(С)енС'[О, Ц, а»(!)енС'[О, Ц.
Из условий !) и 2) следует, что: 1) х,(0)-'ха. У (О) уо, х (0) го, где хь уа, хо — координаты точки А 2) Последовательности х',(!), у',(!), х' (!) сходятся равномерно на [О, Ц. Отсюда следует, что последовательности х (!), У,(!), х»(!) равномерно сходятся на [О, 1] к функциям х(!), У(!), х(/) ~С'[О, Ц, т.
е. г»(С)»г(!) =(х(С), у(!), х(!))СнС1[0, Ц и г'(С)=ар(!), Се[0, Ц. б) Так как ["'(С) [= [ср'(!) [ФО, !~ю[0, Ц, то множество /.= =((х, у, г): (х, у, х) =г(!), !о=[0, Ц) является простой гладкой кривой. Тогда 351 ! ~ [Зз — Г! [Зз= ~ ([(х (!), у (!), г (т)) ф х! +ус -[- гз сп о [ (хп (!) уп (!) гп (П) 1 [(хп) г[ + [(уп)г[ + [(гп) г[ В силу ранномерной сходимости на [О, 1] функций х,(!), у,(!), г„(!), (х )г', (У )~', (г )У к функциям х(!), У(!), г(!), хг (!)„Уу(!), гг'(!) соответственно н непрерывности функции [ последовательность Г ,г .г [ (х (1) У (г), г (!) ) )Г хг + Уг + гг . — [ (хп (!) Уп (г) гп (!) ) х Х чту [хп (г) ] + [У„(!))з+ [г„(!) [з равномерно стремится к нулю на [О, 1] и, следовательно, [] [г(з — '] [Зз~ О, и- ао.
24. Доназательство про~в водится аналогично доказательству утверждения задачи 23. 26. Указание. Сделать поворот осей координат так, чтобы плоскость ах+бр+сг=О стала координатной плоскостью и=О. 26. а) Указание гт гГ пз и [Т,ь,[= )[ з!п — ~/ — з, 4)сз з!пч —; б) 2и)г ]гйз+ Рзичрз. 22. Унан глз уп ванне.
Показать, что !Рс(х-[-9ду+ йг(г! < )гРа+ 9т+ Изг!з. 28. указание. Зп Преобразовать интеграл ~ и — с)з в ин гегрзл второго рода и применить Зп формулу Грина. 30, Указание. Применить утверждение задачи 10 и формулу Грина. 31. Указание. Применить равенство задачи 28 н утверждение задачи 11. 32.
Указание. Применить равенство задачи 28 и утверждение задачи 11. 33. Указание. Проверить, что в равенстве задачи 29 фигура 5 может иметь границей конечное число кусочно-гладких контуров, я применить это равенство к области, огргшичснной контуром ! и окружкостыо с центром в точке х, и пранзьольно малым радиусом. 34. Указание. Применить равенство задачи ЗЗ. 33.
Указание Прнмсн«ть равснство задачи 34. 36. Указгние. Преобразовать интегралы Я вЂ” ~~— Г Ои !'!' Зи ~ — й5, '] ~ и — д5 в интегралы второго рода и применить формулу Остд ' л] дп Я роградского Гаусса 38. Указание. Примешпь равенство а) задачи 36 и утверждение задачи 10. 39. Указание. Применить равенство б) задачи 36 и утясрк ление .адачн 1! 40.
Указа««с. Пр«мсннгь равенство б) задачи 36 н утверждение задачи !1. 41. Указание. Проверить, что равенства задачи 37 имеет место и тогда, ка дз границей тела г' является конечное число кусочна-гладких поверхностей, и нрнменнть это равенства к телу, ограниченному поверхностью 5 н сферой с центром в точке х, н произвольно малым радиусом. 42. Указание. Зи Применять равенство задаю 4!. 44. 4л.
43 — , где т †вект касатедьдт [х=х, Ои ной и Г., определяющей се ориентацию. 46. —, где и — вектор нормали дп ь 5, определяющий се ориентацию .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
