И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Доказать формулу Пуассона ~ '1 !' (х, у, г) !(5 =- 2п ~ г (и )I а'+ Ь'+ с!) !(и, у — ! где 5 — сфера х'+уз+я'=-! 'и 1~ С( — )Га!+Ь'+с', ргаа+Ьа+с'). 26. В прямой круговой цилиндр радиусом )т и высотой Н впишем многогранную поверхность Р„,,„(сапог Шварца) следующим образом. Параллельнымп плоскостями делим цилиндр на и! равных цилиндров высотой Н/т. Каждую из !и+1 полученных окружностей — оснований цилиндров — делим иа и равных частей 345 так, чтобы точки деленна на одной окружности находились над серединами дуг ближайшей нижней окружности (см.
рис, 53). Возьмем две соседние точки а и д на одной окружности и точку с, лежащую на ближайшей окружности над илн под серединок дуги (а, Ь). Треугольник с всршннами в точках а, Ь, с назовем Т,к,. Совокупность всех таких (равных между собой) треугольников образует многогранную поверхность Р, а) Показать, что если и- оа, т— со и т|яа «со, то площадь )Р,„( многогранника Р„неограниченно растет, хотя длины сторон треугольника Т,л„, являющегося гранью Р„,, стремятся к нулю, б) Найти предел (Р„, (, если и.
-«ои, т — «со и т)п'-«р, 27. Доказать неравенство Рис 63 с' ~~ Рйх+Яс(р+7сс!г~()7.! ьнр ')'Р'+Я'+т('. (к,у,г] ес Если функция и: Я вЂ” )с дважды дифференцируема, то символ и ъ 1 д'и Ли обозначает дхз 1=! 28. Пусть односвязная область 7)с:Щ 7.с:Х> — кусочно-гладкий контур, и — вектор внешней нормали к 7. и о — фигура, ограниченная контуром 7.. Доказать, что для функции иснС'(77) справедливо равенство ~ и " с(з = Я ( —" ) -) ~ —" ) ~ с(хс(у + ~ ~ исъис(хс(у. 29. Пусть односвязная область Вс:Щ Т.с:0 — кусочно-гладкий контур, и — вектор внешней нормали к Ь н о — фигура, ограниченная контуром 7..
Доказать, что для функций и~Си(77) и оенС'(77) справедливо равенство (вторая формула Грина на плосмости) ди ди Д~ " "~с(хну=~ аи аи и о и" — сс называе Функция и: тся гармонической в области Вс: с:Я", если иенСз(77) и Ли=О для всех х~0. 30. Пусть тУ вЂ” односвязная область в )ст. Доказать, что функция иенС'(О) является гармонической в ЕЗ тогда и только тогда, 346 когда для любого кусочно-гладкого контура Е~Р выполняется равенство ~ — с(а=О, где п — вектор внешней нормали к Р. С дк дп 31. Пусть функции и и о — гармонические в односвязной обла- сти Р~И и и(х)е о(х) для всех точек х, лежащих на кусочно- гладком контуре (.~0. Доказать, что и(х)с о(х) для всех хя5, где 5 — фигура, ограниченная Г (т.
е. гармоническая функция од- нозначно определяется в 5 своими значениями на границе 5). 32. Пусть функции и и о гармонические в односвязной области .Рс)т', ЙсР— кусочно-гладкий контур и п — вектор внешней ди да нормали к Е, Доказать, что если — = — во всех точках 1., дп дл то в области, ограниченной 1., разность и(х) — о(х) постоянна. ЗЗ. Пусть и — гармоническая функция в односвязной области Рс:У1 ЕсР— кусочно-гладкий контур и и — вектор внешней нормали к Р. Доказать, что для точки х,, лежащей в области ограниченной Е, справедливо равенство С ' д 1п ~г1 ди з и(х„) =- ~ ~ и — )и 1Г) — — ) Н5, 2я д дч дл где г — вектор из точки х, в точку х контура Р.
34. Пусть и — гармоническая функция в области Рс:)тг. Дока- зать, что для любой точки х,с:0 справедливо равенство и(хо) = 1 2п17 где С вЂ” окружность с центром в точке х, и радиусом )г, такая, что круг 5=(х; ~~х — х4.-7с)с:Р. 35. Доказать, что гармоническая в области Рс:)сг функция и, отличная от постоянной, не имеет в этой области локальных экс- тремумов. Одпосвязной областью в Я' назовем такую область Р, что для любой замкнутой поверхности 5с:Р тело Ъ', ограниченное 5, цели- ком лежиг в Р.
36. Пусть Р— односвязная область в )г', 5с:0 — кусочно- гладкая замкнутая поверхность, и †вект внешней нормали к 5 и )г — тело, ограниченное поверхностью )г. Доказать, что для функции иг=Сг(0) справедливы равенства а) Я вЂ” '" (5 — ЯЛп(хг)у)г; б) Я~и с(5 =-Я ~ ~' — ) +( ~ ~ + ' ~ ~ 1пхдуйг+ + Я ибиг(хдуй(г. 347 37. Пусть 0 — односвязная область в )с', 5с0 — кусочно- гладкая замкнутая поверхность, и — вектор внешней нормали к 5 и )г — тело, ограниченное поверхностью 5.
Доказать, что для функций и~С'(О) и й-С'(О) справедливо равенство (вторая формула Грина в пространстве) 38. Пусть Р— односвязная область в ггз. Доказать, что функ- ция не=С'(О) является гармонической в О тогда и только тогда, ногда для любой кусочно-гладкой замкнутой поверхности 5с:.О Г ди выполняется равенство ~~ — г(5:= О, дп где л — вектор внешней нормали к 5. 39. Пусть функции и и и — гармонические в односвязной обла- сти Рс)сх; 5с:.Р— кусочно-гладкая замкнутая поверхность и )г — тело, ограниченное 5.
Доказать, что если и(х)с в(х) для всех хя5, то и (х) 4-п(х) для всех хс- =)г. 40. Пусть функции и и о — гармонические в односвязной обла- сти Ос:гсз! 5сΠ— кусочно-гладкая замкнутая поверхность, и— вектор внешней нормали к 5 и (г — тело, ограниченное поверхноди ди стшо 5. Доказать, что если — = — для всех хен5, то разность дп дп и(х) — п(х) постоянна в о. 4!. Пусть и — гармоническая функция в односвязной области Ос)сз; 5с:0 — кусочно-гладкая замкнутая поверхность и и— вектор внешней нормали к 5. Доказать, что для точки х,, лежа- щей в области, ограниченной поверхностью 5, справедливо равен- 1 ГГ сох(г, и) 1 ди ство и(х„) = — ~~ (и ' + — — — с(5, 4и,)д !г)г 1г! дп,' где г — вектор из точки х, в точку х поверхности 5.
42. Пусть и — гармоническая функция в области Рс:А". Доказать, что для любой точки хсенР справедливо равенство и (х,) =- — — ~Д ис!5, 1 4ийх где 5 — сфера с центром в точке хс и радиусом гс, такая, что шар )г1(х, 1!х — хи~~()г)с:О. 43. Пусть 5 — кусочно-гладкая замкнутая поверхность, и— вектор внешней нормали к 5, )г — тело, ограниченное поверхностью 5; г — вектор из точки хс, лежащей вне 5, в точку х по- верхности 5.
Доказать, что Д~ == — ~~ сов(г, и) 4(5. Г дхдидг ! Г' !г! 2 44. Пусть 5 — кусочно-гладкая замкнутая поверхность; л— вектор внешней нормали к 5; г — вектор из точки х„лежащей вне 5, н точку х поверхности 5. Вычислить интеграл Гаусса Я~ соя(г, и) 45. Пусть область Рс:г(з! функция ияСг(0); ) с(х — кусочно-гладкая ориентированная кривая, проходящая через точку хоеп 1 ! дп ди ди них).
Найти ! пп — — ~ — с(х+ — с(гу+ — с(г, о ! сл ! д дх ду дх зз где (., =- (, () (х: ((х — хо)) ( е). 46. Пусть область .0~)гз; функция иенС!(х)), 5с:!) — кусочно- гладкая ориентированная поверхность, проходящая через точку хоенх). Найти )(" — ЯЛ -+ — ° Л + — Л(р, ди ди з о !5с1,~ дх ду дх зг где 5,=--5П(х:))х — хД(е).
ОТВЕТВЕ РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ 2. Например, множестно всех точек квадрата (О, 1)к(0, 1), обе координаты которых рациональны. 3. Пусть е) 0 н (7л), л ш !у,— система брусов таких, что К с О !", и)~ !7л)<е. Поскольку К--кат!пакт, то из системы (7л), и гм д!, ныл=.! л —.1 делнется конечноя логшнстема Р', ! ш д ~ !), такая, что К с О) 7ч. Так как. ч=! е Е" (!о!л.. ~~г !!л((е, то К вЂ” жорданоно множество объема нуль. 4. Например, о 1 л ! множество М всех точек квадрата 1=-(0, !)Х[0, !), обе координаты которых иррациональны, поскольку замыкание М есть квадрат 1, а характеристическая функция км пе иттжрнруема на ! (пронерить').
б. Указание. Использовать соотношение, д(дМ):дМ, где дМ вЂ” множество граничных точек множества М. 6. Множества М замкнуто как дополнение о~крытого множества. Если (х, у,)гпР и (х„, у„) — е(хо, до), л-л-со, зо хл-ж!а, рл-~ро, л лл. Так как х„гшМ, р,шМ, то хлшМ, !7ьшМ, т. е. (хо, уо)хаР. Итак, Р— замкнутое ограниченное множество, л с, компакт.
Из построения следует, что ллина каждого из о!резкон рхш 1 ч! гс2', меньше, чем 1)2", т. е. на любом интервале, длина которого больше, чем !г2', найдутся по крайней мере дне точки, не принадлежашие М. Отсюда следует, что нсе точки М и нее точки Р— граничные. Осталось проверить, по дР=Р не есть множество меры нуль, Прелположим, что существует система А открытых прямоугольиикоз (7!), ! — 1, 2 что ( ) !г ш Р и )Г !!г!(1!8. Положим В!з, =- ло И ( - 11!и, 17!16) М з=! г=! 349 Ва,= ( — 1/16, 17/16) Х им и обозначим В' систему прямоугольников В,'./ и В' систему прямоугольников Вэ,. Система Т открытых прямоугольников 7=А[)/Р(]Вэ покрыаас~ каадрат [О, 1]Х(0, 1]=/, следовательно, из нее можно выбрать конечную подсистему бо 1жд((), покрывающую /.
Следовательно, е для этой подсистемы выполвягтся неравенство ) ]бр]>1. Разобьем прямоа=! угольники подсистемы Вэ на три группы: первая — прямоугольники из системы А; вторая †прямоугольни нэ системы В', третья †прнмоугольни из системы В' — и обозначим соответсзвуюгцие суммы площадей этих прямоуголышков через 2', Егг, Егг' соответственно.
Имеем зг Е ~ ~1/г]с —; 2 < —.77 77 ]пг/1=--.—./7 г /=1 / о яг т е =- -- ° †. — — —, 20! с — ~' ~']гг,/1=- — — е. жу )04]= 2 + 8 5 3 8 8 8 гйы / ! ч ! 7 +Е!г+ 2"г( —. Полученное прошворечне показывает, что дР=Р не есть 8 множество меры нуль и, следовательно, Р не егть жорданово множество.
7. Множество Р есть дополнение до открытого множества (О; 1) Х(0; 1) замкнутого множества Р. Следовательно, множесгво /7 открыто и ограничено. Множество (О; 1) Х(0; 1) жорданово (см. свойство 6 жордановых множеств, с. 8), а множество Р не является жордавовым (см. задачу 6). По. этому н силу свойсгва 1 жордавовых множеств (см. с. 8) множество В также не яяляется жордановым, Пусть точки М~=(хь у~) гы/7 и Мэ=(хь уэ) ~ы/7. Отрезки [Мь А], [А, В], (В, Мг], где А=(хь 1/2) и В=(хз, 1/2), целиком лежат в В н гоставляют ломаную /-: М~АВМь целиком лежащую в Р н соединяющую точки М> н Мэ. Итак /7 связно, даже линейно связно.
8. Например, /(х, У) =О, хс=[О, 1], УФ1/2 и /(х, 1/2) — — 1, хщ[0, !]. 9. Например, /(х, у) = =х.— у. 10. Поскольку !В]>0, то множество Ву внутренних точек Р непусто. Если /(х) =0 для всех зщ/)э, то в силу непрерывности /(х) — -0 и для всех хгп щ/7, что противоречит условию, следовательно, найдется внутренняя точка хэ множества В, такая, что /(х,)эьО. Пусть для определенности /(хо) >О, тогда найдется такой гпар (6 — окрестность хэ) М=(х, ]]х — хо[]<б), что М~:Юэ и /(х)>/(х,)/2, лспМ Шар М есть жорданово подмножество /7 и ~ / (х) бх> М / (х'о) ) 141!'>О. 11 Указание. Использовать утяерждгние задачи 10 н ад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
