И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2йзсозззрйр Д дзр. 32. 2бза'и'(созо+япо)аи Д до. 33. — аз!пара!пзРсоззР(а+Ьсозу)зе(~р Д е»зР. 34. 2а'иог(и Д г(о. 35. [)Сз яп гр соз' гр+ Кз з!и гр созз ~р+ 2)т сов' ~р я п гр — /г' яп ~р) йр Д гй. игз 18 36. — 2и. 37. л/4. 38. —. 39. — 4. 40.
— л/8. 41. — а'— 2 35 — —. 42. —, 43., 44. —. 45. ле. 46. 21. 990 35 64 10 47. — !п5.г4/5 48, 49. О. 50. а'(4!п2 — 3). 51. — аз 2 15 52. — —, 53. —. 54. О. 55. 3. 56. — — 57. а) 0; б) О. 16' ' З' ' ' ' ' 8 16 аиз а", аз ла" аз паз 58. —, 59. а) — — — — + —; б) — — +а'. 60. — — 2а. дз ' ' 16 12 2 ' 16 12 ' ' 2 61, — (Зл--, '!0). 62.
— — амза. 63. — — а'л. 64. —. ез 15 5 з ла' 8 32 2 32 65. — 8и. 66. [/3 лаз. 67. — !бл, 68. — 2[/2 па'. 69. а) 0; б) — 2. 70. — —, 71. — — а'. 72. — 2лаз. 73. — лаз 82 4 з з 3'!/2 8 ' 8 В 74. — ~, 75. — — а'. 76. — !2лаз. 77. 80гг. 78.
4лаз. 79. О. 2 15 80, — 4, 81. 1, 82, 37. 83. 4 84. 123 85. 3, 86 15, 87.— 2 ,88. агсс»6 —, 89. агсс18[ — =). 90. х'созд+ у'совх. 91. х+ 7 1 8 / +уем. 92зз'»/хз+у'+ ~ +С. 93. — ~ "+'! +С. х 2 хз+ уз+ зз -94. х рг ! — у'+ у »/ 1 — хз[-»- агс18 —" + »п у + С.
95. »/! + ху »- +агс18 ~ +е" яп2у+!и!а — +С. 96. !п(хз+уз)+хз'у' 1+у— х 2 г з гхз !, ! ух!! 162. ~ гузх — — ! /+ (гзух — ' )/е. 163. Не является. 164. (гзрх — 2гху — , 'х) / (- (узгх+ р) А. 165. Зх'/+(2//!! — бгх) /!. аз 166. — (хгз-(-уге")/ — 2хуг/г. 167. — па'. 168. —, 169. О. 2 2ааз 170. — и. 171. — '. 172. Зпаз. 173.
2п/гз. 174. паЬ. 175. — 5. ~~з 176. !. 177. О. 178. О. 179. 2)Г2 — — 180. а) — " л-ай; 3 4 б) — — + — ' — + —; в) О; г) 1) — а/'; 2) гЬ; д) азЬ паЬ Ь' Ь( — Ь) 3 4 2 2 где /ь — коэффициент пропорциональности. 181. 2п ) д( Ь. 182 — 2'з 183 О 184 1 185 2пйз 186 — "' и 187 аз 2 188. —, 189.
--и!2. 190. О. 191. — -2п. 192. и/7!. Ез 3 193. и/сз(2+/т)'2. 194. 45п. 195. " ), 196. —. !о 197. —, 198. — 199. О. 200. К Р'2!о!!. 201. — (и+1). 3' ' 3' 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1. Доказать, что замыкание жорданового множества объема нуль есть жорданово множество объема нуль. 2. Привести пример ограниченного множества меры нуль, замыкание которого не является множеством меры нуль.
3. Доказать, что компакт К меры нуль есть жорданово множество обьема нуль. 4. Привести пример несчетного множества, не являющегося жордановым, замыкание которого жорданово. 5. Доказать, что множество всех внутренних точек жорданового множества жорданово. Следующее построение используется в задачах 6 и 7. Обозначим через У!, ! интервал с цен!ром в точке 1/2 и длиной 1/5. Множество [О, 11',,(/!,! состоит из двух отрезков р,, и рьз.
Интервалы (/з, ! (/з,з имеют центры в центрах отрезков р,, и рз, соответственно и длину 1/5з. Интервалы (/!, „(/,, „(/з, з 2 взаимно не пересекаются (проверить!) и множество 10, Ц~,Ц Х з=! 2 з-! Х ) 1 (/!т состоит из четыРех отРезков Рз,!, Рз,м Раж Рз,з. ПУсть г= ! построены непересекающиеся интервалы У4! для 1(з(/г, 1(/( ь 2~! <2'-'.
Множество [О, 1]' [] [ ] Гп состоит нз 2" отрезков !рх!, г--1 рь и, .,, ркк!. Тогда интервалы иьььь и„, „...,иь„,; имеют центры в центрах отрезков рм ! р, „..„р!,г! соответственно и длину 1/бь.г!. Проверить, что эти интервалы ие пересекаются ни между собой, ии с ранее построенными интервалами. Таким образом, по индукции определяется бесконечная система интервалов Уо: 1(!'<оо, 1 =.1'=-2! — '.
6. Пусть и М=[О, 1]'~,[] [] 1/!; и !". ((х, р);х~М, 1!е=М). !=-! !.—.1 Показать, что Р есть компакт и не есть жорданово множество. 7. Пусть Р=(0, 1) Х (О, 1) !Р, где Р— множество, определенное в задаче 6. Доказать, что Р есть ограниченное связное открытое множество, не являющееся жордановым (сравните с тем, что в пространстве 11! ограниченное связное открытое множество может быть только интервалом, т. е. жордановым множествоы).
8. Привести пример отличной от нуля на множество мощности континуума функции [: 1 — )г, где !'=![О, 1] Х [О, 1], такой, что ' )г(х= О для любого жорданового множества Р~Е о 9. Привести пример непрерывной, не равной тождественно нулю функции [: Р )г, где !=[О, 1] Х [О, 1], такой, что ~ [г(х= О. 1 1О. Пусть функция ): Р"-~)1 непрерывна на жордановом множестве Рс:)г", )В~=~О, и не равна тождественно нулю. Доказать, что найдется такое жорданово множество М~Р, что ~ 1Ях ~ О. м 11.
Доказать, что для непрерывной и неотрицательной на жор.дановом множестве Р~)1" функции [: Р- А' из равенства ~ [г)х=О и следует, что или ~Р]=0, или ) тождественно равна нулю на Р. 12. Доказать, что если )си Я(Р), Рс Р", !Р! >О и !'(х)>0, х~Р, то ] [с1х -О. и 13. Пусть ]ей(Р), Рсй". Пусть ха — внутренняя точка Р, ,1 — непрерывна в х„(Е.) — совокупность жордановых подмножеств Р, для каждого из которых точка х,— внутренняя, и г)(Е„) =зпр (!)х! — хЛ), хь хге=.Е . Доказать, что !пп 1 [!(х= — 1(х,).
а(еч! а ( Еа~ ! ва за 14. Установим взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел интервала (О, 1) и множеством всех нечетных натуральных чисел М и обозначим через г число,. соответствующее элементу тенМ. Положим хл, м — — — + —, пенй/, Ре-=М, де=М. р, 1 2л д2л+! Доказать, что: а) из равенства хл„„„= хл, „,„следуют равенства п,=п, Р!=Рм !7!=уз б) Пусть ул,=г, +, если зта сумма меньше 1, и Г'2, 2л ул,р.л= — г,+, — 1 в противном случае. Тогда множество Р 1'2 . 2л Е=((хл, „ул „,), и ен/!/, РАЕМ, дев М) лежит в квадрате /="[О, 1] Х [О, 1], нересекается с любой горизонтальной прямой у=ум 0<у,< 1,,и любой вертикальной прямой х=хгл 0(хл(1, не более чем в одной точке и Е=Е в) Характеристическая функция 11х множества Е неинтегрируема иа /, хотя оба повторных интеграла ! ! ! ! ~ !(х ~УайУ, ~ г/!/ ~улг/х о у о й существуют и равны нулю. 15.
Функция 1!! — К, /=[О, 1] Х [О, 1], определяется следующими условиями: 1) /(х, 1/2л)=0, если х~ [О, 1/2']() [1/2л ', 1], пе:— .й/; 2) /(5/2"+~, 1/2л) = 2л !/п, [ (7/2л+з, 1/2л) = — 2 '/и; 3) /(х, 1/2л) линейна на отрезках [(1/2"; 1/2л); (5/2 +~; 1/2")], [(5/2л+; 1/2л), (7/2л4'; 1/2л)], [(7/2л+'; 1/2"), (1/2л '; 1/2л)] (см.
рис. 51); 4) /(х, у)лл О, если уен [] (1/2л — 1/2л+', 1/2л+1/2л+') и х ен [0,1]; л=! 5) для каждого хаен;[О, 1] функция /(хм у) линейна на отрезках [1/2л — 1/2л+з, 1/2" +1/2л+ ] (обратите внимание, что для любого хаен([0, 1] функция /(хгл 1/) может быть отлична от нуля не более чем на одном отрезке нида [1,'2л — 1/2л+'; 1/2л -1-1/2л+'].
Доказать, что: а) функция /(х, у) непрерывна и неограничена на /7=-(0, 1]Х Х(0, 1]; б) длЯ каждого хаен[0, 1] и каждого Учен[0, 1] фУнкцни /(хм у) и 1(х, уо) интегрируемы на [О, 1]; 342 ! в) функции Ф(х)= ~1(х, р)г(у и о ! ! $0, 1] и ~Ф(х) с(х =- ~ !Р(у)с(О=О. о О 16. Привести пример функции, на множестве меры нуль Лебега, множестве. ! Ч'(у) =- ~ 1 (х, у) Ых непрерывны на о непрерывной и ограниченной но неинтегрируемой на этом у( У) Рис 5! 17. а) Пусть на прямоугольнике [а, Ь[Х [с, !11 задана функция 1'(х, у), такая, что )(х, у)([(х', д'), если х(хй и у(у'.
Доказать, что )(х, у) интегрируема на этом прямоугольнике. б) Пусть функция [(х, у) ограничена на круге н удовлетворяет условию и. а). Доказать, что )(х, у) интегрируема на этом круге. !8. Привести пример таких областей Р„с:14', Р!с:Я' и отображения !р: Р,— Р„, что !р !=С!(Р!), якобиан отображения !р отличен от нуля для всех 1енВ!, но гр не является диффеоморфизмом.
19. Доказать, что якобиан для сферических координат в )г" х, = (пй,з1пО,... з)пО„ и — ! х„= О„, Г[ з(пО, 343 х„= — гсозй„ь г') О, О, я[0, 2л), 1О != [О, л), а=2, ...,п — 1, и=- ! равен !." — ' Г'1 гйпа — ! Од. А=! 20. Показать, что функция /(х, у), определенная в задаче !5„ интегрируема в несобственном смысле на /=[О, ЦХ'[О, Ц. Вы- числить ~~/(х„у/!/хг/1/. 21. Показать, что характеристическая функция уа множества Р, определенного в задаче 7, интегрируема в несобственном смысле на Е='[О, Ц Х [О, Ц.
Вычислить ~~ Хо!(хс(1/. '1 22. Пусть 1=-[0, Ц х [О, Ц, Р„=(1/2", 5/2"~') Х (1/2", 5/2"'~ )()(3/2"", 1/2ч) Х (3/2"~', 1/2"), Р„ =- (1/2", 5/2"+ ) х (3,'2"+', 1/2") ()(3/2"~', 1/2") х (1/2", 5/2"+')! (см. рис. 52) и 2'", (х, р) е= Р~; / (,) ~ — 2'", (х, у) ~ Р„; О (. р)= "й(Р-()Р) л ! рис. 52 Доказать, что а) интеграл ~~~(х, !/) !/хг/!/ расходится; / б) длЯ любого хчен'[О, Ц и любого Уоен'[О, Ц фУнкции /(хо, Ут и /(х, уч) интегрируемы на [О, Ц; ! ! в) ~/(х„ //)г/р=О для любого х„!и [О, Ц и ~ /,(х, у,)!(х=О, для ч о любого у,е-=[0, Ц. 23. Пусть Е,„= ((х, //, г): (х, у, г) = г„(/), / е.=- [О, Ц)— семейство простых гладких кривых, лежащих в области Рс:!т' и таких, что: 1) последовательность г,(0) сходится к точке Л~Р при и-~- 2) последовательность г' (() на [О, 1) сходится равномерно к !р(1), причем [<р(1) [тьО, 1~ [0, 1).
Доказать, что. а) последовательность отображений г„, ь[0, 1)- кз сходится к отображению г: [О, 1) — )гз~С'[О, 1), б) для любой функции [~С(Р) имеем равенство !!гп ~!с(з= ') !'г(з, сч где простая гладкая кривая Р=((х, у, г): (х, у, г)=г((), ! =- [О, 1)). 24.
Пусть 1= [0, 1) .'< [О, 1) и 5„=((х, у, г):(х, у, г)=г„(и, о), (и, о) ~ !) — семейство простых гладких поверхностей, лежащих в области Рс: !с', таких, что последовательность о„— зпр([[г„(и, и)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
